1、1课时分层作业(十二) 圆锥曲线的统一定义(建议用时：40 分钟)基础达标练一、填空题1若直线 ax y10 经过抛物线 y24 x 的焦点，则实数 a_.解析 抛物线 y24 x 的焦点是(1,0)，直线 ax y10 过焦点， a10， a1.答案 12已知椭圆的准线方程为 y4，离心率为 ，则椭圆的标准方程为_12解析 由题意 4， a4 e2.a2c ae e ，ca 12 c1， b2 a2 c23.由准线方程是 y4 可知，椭圆的焦点在 y 轴上，标准方程为 1.y24 x23答案 1y24 x233已知抛物线 y22 px 的准线与双曲线 x2 y22 的左准线重合，则抛物线的焦
2、点坐标为_解析 双曲线的左准线为 x1，抛物线的准线为 x ，所以 1，所以 p2.p2 p2故抛物线的焦点坐标为(1,0)答案 (1,0)4已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物线 C： y28 x 的焦12点重合， A， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB|_. 【导学号：71392114】解析 抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2，又 ， a4， b2 a2 c212，ca 12从而椭圆方程为 1.x216 y212抛物线 y28 x 的准线为 x2，2 xA xB2，将 xA2 代入椭圆方程可得| yA|3，由图象可知| AB|2
3、| yA|6.答案 65若椭圆 1( a b0)的左焦点到右准线的距离等于 3a，则椭圆的离心率为x2a2 y2b2_解析 由题意知， c3 a，即 a2 c23 ac，a2c e23 e10，解得 e .3 52 (e 3 52 1舍 去 )答案 3 526已知抛物线 y216 x 的焦点恰好是双曲线 1 的右焦点，则双曲线的渐近线x212 y2b2方程为_解析 由抛物线方程 y216 x 得焦点坐标为(4,0)，从而知双曲线 1 的右焦x212 y2b2点为(4,0)， c4，12 b216， b2.又 a2 ，双曲线渐近线方程为3y x，即 y x.ba 33答案 y x337已知椭圆
4、1 上有一点 P，它到左、右焦点距离之比为 13，则点 P 到两x2100 y236准线的距离之和为_. 【导学号：71392115】解析 设 P(x， y)，左、右焦点分别为 F1， F2，由椭圆方程，可得a10， b6， c8， e ，则 PF1 PF22 a20.ca 45又 3PF1 PF2， PF15， PF215.设点 P 到两准线的距离分别为 d1， d2，可得 d1 ， d2 .故点 P 到两准PF1e 254 PF2e 754线的距离分别为 ， ， 25.254754 254 754答案 258已知点 P 在双曲线 1 上，并且 P 到双曲线的右准线的距离恰是 P 到双曲线x
5、216 y293的两个焦点的距离的等差中项，那么 P 的横坐标是_解析 记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为 a， b， c，离心率为 e，点 P 到右准线l 的距离为 d，则 a4， b3， c5， e ，右准线 l 的方程为 x .如果 P 在双ca 54 a2c 165曲线右支上，则 PF1 PF22 a ed2 a.从而， PF1 PF2( ed2 a) ed2 ed2 a2d，这不可能；故 P 在双曲线的左支上，则 PF2 PF12 a， PF1 PF22 d.两式相加得2PF22 a2 d.又 PF2 ed，从而 ed a d.故 d 16.因此， P 的横坐标为 16 .ae 1
6、454 1 165 645答案 645二、解答题9已知椭圆的一个焦点是 F(3,1)，相应于 F 的准线为 y 轴， l 是过 F 且倾斜角为60的直线， l 被椭圆截得的弦 AB 的长是 ，求椭圆的方程165解 设椭圆离心率为 e， M(x， y)为椭圆上任一点，由统一定义 e，得 e，MFd (x 3)2 (y 1)2|x|整理得( x3) 2( y1) 2 e2x2. 直线 l 的倾斜角为 60，直线 l 的方程为 y1 (x3)， 3联立得(4 e2)x224 x360.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由韦达定理得 x1 x2 ，244 e2 AB e(x1 x2) e
7、， e ，244 e2 165 12椭圆的方程为( x3) 2( y1) 2 x2，14即 1.(x 4)24 (y 1)2310已知定点 A(2， )，点 F 为椭圆 1 的右焦点，点 M 在椭圆上运动，求3x216 y212AM2 MF 的最小值，并求此时点 M 的坐标. 【导学号：71392116】解 a4， b2 ， c 2，3 a2 b2离心率 e .12A 点在椭圆内，设 M 到右准线的距离为 d，4则 e，即 MF ed d，右准线 l： x8，MFd 12 AM2 MF AM d. A 点在椭圆内，过 A 作 AK l(l 为右准线)于 K，交椭圆于点 M0.则 A， M， K
8、 三点共线，即 M 与 M0重合时， AM d 最小为 AK，其值为 8(2)10.故 AM2 MF 的最小值为 10，此时 M 点坐标为(2 ， )3 3能力提升练1已知点 F1， F2分别是椭圆 x22 y22 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么| 1 2|的最小值是_PF PF 解析 椭圆 x22 y22 的标准方程是 y21，x22 a ， b1.2 1 22 ，PF PF PO | |2| |.PF1 PF2 PO b| | a，PO 1| | ，PO 2| 1 2|的最小值是 2.PF PF 答案 22过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A，
9、B 两点，且以 AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线 C 为_解析 设圆锥曲线的离心率为 e， M 为 AB 的中点， A， B 和 M 到准线的距离分别为d1， d2和 d，圆的半径为 R， d ， R .由题意知 Rd，则d1 d22 AB2 FA FB2 e(d1 d2)2e1，圆锥曲线为双曲线答案 双曲线3设椭圆 C： 1( ab0)恒过定点 A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小x2a2 y2b2值为_解析 A(1,2)在椭圆上， 1，1a2 4b25 b2 ，则椭圆中心到准线距离的平方为 4a2a2 1 (a2c)2 a4c2 a4a2 b2 a4a2 4a2a2 1
10、.a4 a2a2 5令 a25 t0，f(t) t 994 .(t 5)2 (t 5)t 20t 5当且仅当 t 时取“” ，20t 2，a2c 9 45 5 min 2.(a2c) 5答案 254已知双曲线 1( a0， b0)的右准线 l2与一条渐近线 l 交于点 P， F 是双x2a2 y2b2曲线的右焦点(1)求证： PF l；(2)若| PF|3，且双曲线的离心率 e ，求该双曲线的方程. 54【导学号：71392117】解 (1)证明：右准线为 l2： x ，由对称性不妨设渐近线 l 为 y x，则 Pa2c ba，又 F(c,0)，(a2c， abc) kPF .abc 0a2c c ab又 kl ， kPFkl 1.ba ab ba PF l.(2)| PF|的长即 F(c,0)到 l： bx ay0 的距离， 3，即 b3，又 e ，|bc|a2 b2 ca 54 ， a4.故双曲线方程为 1.a2 b2a2 2516 x216 y29
