1、13.3.3 最大值与最小值学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点 函数的最大值与最小值如图为 y f(x)， x a， b的图象.思考 1 观察 a， b上函数 y f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案 极大值为 f(x1)， f(x3)，极小值为 f(x2)， f(x4).思考 2 结合图象判断，函数 y f(x)在区间 a， b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案 存在， f(x)min f(a)， f(x)max f(x3).思考 3 函数 y f(x)在 a， b上的最大(小)值一定是某极值吗？答案
2、 不一定，也可能是区间端点的函数值.梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数 y f(x)在闭区间 a， b上的最值的步骤求函数 y f(x)在( a， b)内的极值；将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.定义在闭区间 a， b上的函数 f(x)一定有最大值和最小值.( )2.函数 f(x)在 a， b上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a).( )3.定义在开区间( a， b)上的函数 f(x)没有
3、最值.( )4.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.( )2类型一 求函数的最值命 题 角 度 1 不 含 参 数 的 函 数 求 最 值例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)2 x312 x， x2,3；(2)f(x) xsin x， x0,2.12考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值解 (1) f(x)2 x312 x，所以 f( x)6 x2126( x )(x )，2 2令 f( x)0，解得 x 或 x .2 2因为 f(2)8， f(3)18， f( )8 ，2 2f( )8 ；2 2所以当 x 时， f(x)取得最小值8 ；2 2当 x3 时， f(x)取得
4、最大值 18.(2)f( x) cos x，令 f( x)0，又 x0,2，12解得 x 或 x .23 43计算得 f(0)0， f(2)， f ，(23 ) 3 32f .(43 ) 23 32所以当 x0 时， f(x)有最小值 f(0)0；当 x2 时， f(x)有最大值 f(2).反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验 f( x)0 的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练 1 求函数 f(x)e x(3 x2)， x2,5的最值.考点 利用导数求函数的最
5、值题点 不含参数的函数求最值解 f(x)3e xe xx2，3 f( x)3e x(e xx22e xx)e x(x22 x3)e x(x3)( x1).在区间2,5上， f( x)e x(x3)( x1)0 时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f( x) 0 f(x) 7 a b b 16 a b由表可知，当 x0 时， f(x)取得极大值 b，也是函数 f(x)在1,2上的最大值， f(0) b3.又 f(1)7 a3， f(2)16 a3 f(1)， f(2)16 a293，解得 a2.综上可得， a2， b3 或 a2， b29.反思与感
6、悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟踪训练 3 设 f(x) x3 x22 ax.当 00，所以 f(x)在(， x1)，( x2，)上单调递减，在( x1， x2)上单调递增.当 01.故实数 m 的取值范围是(1，).反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化. f(x)恒成立 f(x)max； f(x)恒成立 f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值
7、即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.跟踪训练 4 已知 2xlnx x2 ax3 对一切 x(0，)恒成立，求 a 的取值范围.考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 由 2xlnx x2 ax3，则 a2ln x x .3x设 h(x)2ln x x(x0).3x则 h( x) ，令 h( x)0，得 x1，x 3x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0， h(x)单调递增. h(x)min h(1)4. a h(x)min4. a 的取值范围是(，4.1.函数 y xsin x， x 的最大值是_
8、. 2， 考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 解析 因为 y1cos x，当 x 时， y0，则函数在区间 上为增函数， 2， 2， 所以 y 的最大值为 ymaxsin.2.函数 f(x) x2ln x 的最小值为_.12考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围7答案 12解析 f( x) x ，且 x0.令 f( x)0，得 x1；令 f( x)0，所以当 x1 时，函数 f(x)取极小值，也是最小值，则 f(1)111 t3，所以 t4，又函数 f(x)在两端点处的函数值为 f(0)4， f(2)84246，所以函数在0,2上的最大值为 6.4.已知函数 y x
9、22 x3 在区间 a,2上的最大值为 ，则 a_.154考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数答案 12解析 当 a1 时，最大值为 4，不符合题意.当17.1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、填空题1.函数 y 的最大值为_.lnxx考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值答案 1e2.f(x) x312 x8 在3,3上的最大值为 M，最小值为 m，则 M m_.考点 利用导数求
10、函数的最值题点 不含参数的函数求最值答案 32解析 因为函数 f(x) x312 x8，所以 f( x)3 x212.令 f( x)0，解得 x2 或 x0)上的最小值为_.考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值答案 0解析 求导得 f( x)ln x1，当 x1 时， f( x)0，所以 f(x) xlnx 在区间1， t1( t0)上是增函数，所以它的最小值为 f(1)0.5.已知函数 f(x)2ln x (a0)，若当 x(0，)时， f(x)2 恒成立，则实数 a 的ax2取值范围为_.考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值答案 e，)解析 由 f(x)2，
11、得 a2 x22 x2lnx.设 g(x)2 x22 x2lnx，则 g( x)2 x(12ln x)，令 g( x)0，得 x12e或 x0(舍去)，因为当 0 x 时， g( x)0；当 x12e时， g( x)0.所以当 x12e时， g(x)取得最大值 g( )e，故 ae.106.已知 a0，若函数 f(x) 在1,1上的最大值为 2，则实数 a 的值为_.x 12x2 a考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数答案 1解析 求导得 f( x) ，2x 1a xx2 a2令 f( x)0，可得 x1 或 x a，又 f(1)0， f(a)1 ， f(1) ，1a 41 a若 1
12、2，则有 a1；若 2，则也有 a1，1a 41 a因此 a1.7.设 aR，函数 f(x) ax33 x2，若函数 g(x) f(x) f( x)， x0,2在 x0 处取得最大值，则 a 的取值范围为_.考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数答案 ( ，65解析 因为 f( x)3 ax26 x，所以 g(x) ax33 x23 ax26 x ax2(x3)3 x(x2).当 g(x)在区间0,2上的最大值为 g(0)时， g(0) g(2)，即 020 a24，解得 a .65反之，当 a 时，对任意 x0,2，65g(x) x2(x3)3 x(x2)65 (2x2 x10) (2
13、x5)( x2)0，3x5 3x5而 g(0)0，故 g(x)在区间0,2上的最大值为 g(0).综上所述， a 的取值范围是 .( ，658.已知函数 f(x)， g(x)均为 a， b上的可导函数，在 a， b上连续且 f( x)0).y2 t .1t 2t2 1t 2(t 22)(t 22)t当 0 时， y0，可知 y 在 内单调递增.22 (22， )12故当 t 时， MN 有最小值.22二、解答题11.已知函数 f(x) x3 ax23 x.(1)若 f(x)在1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 x3 时 f(x)有极值，求 f(x)在1， a上的最大值和最小值.
14、考点 含参数的函数最值问题题点 含参数的函数求最值解 (1) f( x)3 x22 ax3，当 x1，)时， f( x)0 恒成立， a min3(当且仅当 x1 时取最小值).32(x 1x) a3.即实数 a 的取值范围是(，3.(2)由题意知， f(3)0，即 276 a30， a5， f(x) x35 x23 x， f( x)3 x210 x3.令 f( x)0，得 x13， x2 (舍去).13当 10，即当 x3 时， f(x)取极小值 f(3)9.又 f(1)1， f(5)15， f(x)在1,5上的最小值是 f(3)9，最大值是 f(5)15.12.已知函数 f(x) xlnx
15、.(1)求 f(x)的最小值；(2)若对所有 x1 都有 f(x) ax1，求实数 a 的取值范围.考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x)1ln x，令 f( x)0，解得 x ；1e令 f( x)1 时， g( x)0，故 g(x)在(1，)上是增函数，所以 g(x)的最小值是 g(1)1.因此 a g(x)min g(1)1，故 a 的取值范围为(，1.13.已知函数 f(x) ax3 x2 b(xR).32(1)若曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 y6 x8，求 a， b 的值；(2)若 a0， b2，当
16、x1,1时，求 f(x)的最小值.考点 含参数的函数最值问题题点 含参数的函数求最值解 (1) f( x)3 ax23 x，由 f(2)6，得 a1.由切线方程为 y6 x8，得 f(2)4.又 f(2)8 a6 b4，所以 b2，所以 a1， b2.(2)因为 f(x) ax3 x22.32所以 f( x)3 ax23 x3 x(ax1).令 f( x)0，解得 x0 或 x ，分以下两种情况讨论：1a若 1，即 01，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：1ax (1,0) 0 (0， 1a) 1a (1a， 1)f( x) 0 0 14f(x) 极大值 极小值 f(1
17、) a， f 2 .12 (1a) 12a2而 f f(1)2 (1a) 12a2 (12 a) a 0，32 12a2所以 f(x)min f(1) a.12综合，得 f(x)min f(1) a.12三、探究与拓展14.设函数 f(x) ax33 bx(a， b 为实数， a0)，当 x0,1时，有 f(x)0,1，则b 的最大值是_.考点 含参数的函数最值问题题点 含参数的函数求最值答案 32解析 f(x) ax33 bx(a， b 为实数， a0)， f( x)3 ax23 b，令 f( x)0，可得 x ， ba若 1，则 f(x)max f(1)1， b ； ba (0， 12若
18、0 1， ba则 f(x)max f 1， f(1)0 ，( ba) b . b 的最大值是 .(12， 32 3215.已知函数 f(x) (k 为常数，e2.71828是自然对数的底数)，曲线 y f(x)在lnx kex点(1， f(1)处的切线与 x 轴平行.(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间；(3)设 g(x)( x2 x)f( x)，其中 f( x)为 f(x)的导函数，证明：对任意 x0， g(x)150；当 x(1，)时， h(x)0，所以当 x(0,1)时， f( x)0； x(1，)时， f( x)0， g(x)0， h(x)单调递增；当 x(e 2 ，)时， h( x)0， (x)单调递增， (x) (0)0，故当 x(0，)时， (x)e x( x1)0，即 1.exx 1所以 1 x xlnx1e 2 0， g(x)1e 2 .
