1、2018 年 04 月 17 日 fago 的高中数学组卷一选择题（共 12 小题）1已知集合 A=x|x1 ，B=x|3 x1，则（ ）AA B=x |x0 BAB=R CA B=x|x 1 DAB=2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D3设有下面四个命题p1：若复数 z 满足 R，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z 2 满足 z1z2R，则 z1= ；p4：若复数 zR，则 R其中的真命题为（ ）Ap 1，p
2、 3 Bp 1，p 4 Cp 2，p 3 Dp 2，p 44记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和若 a4+a5=24，S 6=48，则a n的公差为（ ）A1 B2 C4 D85函数 f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若 f（1）=1，则满足1 f（x2） 1 的 x 的取值范围是（ ）A 2，2 B1，1 C0，4 D1，36 （1 + ） （1+x） 6 展开式中 x2 的系数为（ ）A15 B20 C30 D357某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积
3、之和为（ ）A10 B12 C14 D168如图程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在 和两个空白框中，可以分别填入（ ）AA 1000 和 n=n+1 BA 1000 和 n=n+2C A1000 和 n=n+1 DA 1000 和 n=n+29已知曲线 C1：y=cosx ，C 2：y=sin（2x+ ） ，则下面结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各
4、点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，直线l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB |+|DE|的最小值为（ ）A16 B14 C12 D1011设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则（ ）A2x3y5z B5z2x3y C3y 5z 2x D3y2x5z12几位大学生响应国家的创业号召，开发了
5、一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1 ，2 ，1，2，4 ，1，2 ，4，8，1 ，2，4，8，16 ， ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）A440 B330 C220 D110二填空题（共 4 小题）13已知向量 ， 的夹角为 60，| |=2，| |=1，则| +2 |= 14设 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x2y 的
6、最小值为 15已知双曲线 C： =1（a0，b 0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点若MAN=60，则 C 的离心率为 16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD、E 、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以BC， CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA ，AB 为折痕折起DBC，ECA ，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 三解答题（共 8 小题）17已知 a
7、，b，c 分别是ABC 内角 A，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求ABC 的面积18ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，已知ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长19如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值20为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个
8、零件，并测量其尺寸（单位：cm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（， 2） （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（3，+3）之外的零件数，求 P（X 1）及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ 3，+3 ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310
9、.029.2210.0410.059.95经计算得 = =9.97，s= = 0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ 3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（ ， 2） ，则 P（ 3Z +3）=0.9974，0.9974 160.9592， 0.0921已知椭圆 C： + =1（ab0） ，四点 P1（1，1） ，P 2（0，1） ，P3（1 ， ） ，P 4（1， ）中恰有三
10、点在椭圆 C 上（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点22已知函数 f（x ）=ae 2x+（a 2）e xx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） （1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a24已知函数 f（x ）=x 2+ax+4，g（x）=|x +1|+|x1|（1）当
11、 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x ）的解集包含 1，1，求 a 的取值范围2018 年 04 月 17 日 fago 的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1已知集合 A=x|x1 ，B=x|3 x1，则（ ）AA B=x |x0 BAB=R CA B=x|x 1 DAB=【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 AB 和 AB，由此能求出结果【解答】解：集合 A=x|x1，B=x|3x1=x|x0，AB=x |x0 ，故 A 正确，D 错误；AB=x |x1 ，故 B 和 C 都错误故选：A【点评】本题考查交集和并集求法及应
12、用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为 2，则黑色部分的面积 S= ，则对应概率 P= = ，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键3设有下面四个命题p1：若复数 z 满足
13、 R，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z 2 满足 z1z2R，则 z1= ；p4：若复数 zR，则 R其中的真命题为（ ）Ap 1，p 3 Bp 1，p 4 Cp 2，p 3 Dp 2，p 4【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案【解答】解：若复数 z 满足 R，则 zR，故命题 p1 为真命题；p2：复数 z=i 满足 z2=1R，则 zR，故命题 p2 为假命题；p3：若复数 z1=i，z 2=2i 满足 z1z2R，但 z1 ，故命题 p3 为假命题；p4：若复数 zR，则 =zR，故命题 p4 为真命题故选：B
14、【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题4记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和若 a4+a5=24，S 6=48，则a n的公差为（ ）A1 B2 C4 D8【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n的公差【解答】解：S n 为等差数列 an的前 n 项和，a 4+a5=24，S 6=48， ，解得 a1=2，d=4，a n的公差为 4故选：C【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5函数 f（x）在（，+）单调递
15、减，且为奇函数若 f（1）=1，则满足1 f（x2） 1 的 x 的取值范围是（ ）A 2，2 B1，1 C0，4 D1，3【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1f（x2）1 化为1 x21，解得答案【解答】解：函数 f（x ）为奇函数若 f（1）=1，则 f（1）=1，又函数 f（x）在（，+）单调递减，1f（ x2）1，f（ 1）f（x2）f（1） ，1 x21，解得：x1，3，故选：D【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档6 （1 + ） （1+x） 6 展开式中 x2 的系数为（ ）A15 B20 C30 D35【分析】直接利用二项
16、式定理的通项公式求解即可【解答】解：（1+ ） （1+x ） 6 展开式中：若（1+ ）=（1+x 2）提供常数项 1，则（1+x） 6 提供含有 x2 的项，可得展开式中 x2 的系数：若（1+ ）提供 x2 项，则（1+x ） 6 提供含有 x4 的项，可得展开式中 x2 的系数：由（1+x） 6 通项公式可得 可知 r=2 时，可得展开式中 x2 的系数为 可知 r=4 时，可得展开式中 x2 的系数为 （1+ ） （1+x） 6 展开式中 x2 的系数为：15+15=30故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用属于基础题7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和
17、左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S 梯形 = 2（2+4）=6，这些梯形的面积之和为 62=12，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8如图程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在 和两个空白框中，可以分别填入（ ）AA 1000
18、 和 n=n+1 BA 1000 和 n=n+2C A1000 和 n=n+1 DA 1000 和 n=n+2【分析】通过要求 A1000 时输出且框图中在“ 否”时输出确定“ ”内不能输入“A1000”，进而通过偶数的特征确定 n=n+2【解答】解：因为要求 A1000 时输出，且框图中在“否”时输出，所以“ ”内不能输入 “A1000” ，又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0，所以“ ”中 n 依次加 2 可保证其为偶数，所以 D 选项满足要求，故选：D【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分9已知曲线 C1：y=cosx ，C 2：y=sin（2x+ ） ，则下面
19、结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可【解答】解：把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，
20、再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y=cos2（x +）=cos（2x+ ）=sin（2x + ）的图象，即曲线 C2，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力10已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，直线l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB |+|DE|的最小值为（ ）A16 B14 C12 D10【分析】方法一：根据题意可判断当 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE的斜率为 1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可方法二：设直线
21、 l1 的倾斜角为 ，则 l2 的倾斜角为 +，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l 1l 2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，要使|AB|+|DE|最小，则 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1，又直线 l2 过点（1，0） ，则直线 l2 的方程为 y=x1，联立方程组 ，则 y24y4=0，y 1+y2=4，y 1y2=4，|DE|= |y1y2|= =8，|AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=16，方法二：设直线 l1 的倾斜角为 ，则 l2 的倾斜角为 +，根
22、据焦点弦长公式可得|AB|= =|DE|= = =|AB|+|DE|= + = = ，0sin 22 1，当 =45时，|AB|+|DE|的最小，最小为 16，故选：A【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题11设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则（ ）A2x3y5z B5z2x3y C3y 5z 2x D3y2x5z【分析】x、y、z 为正数，令 2x=3y=5z=k1lgk 0可得 x= ，y= ，z=可得 3y= ，2x= ，5z= 根据 = = ， = 即可得出大小关系另解：x、
23、y 、z 为正数，令 2x=3y=5z=k1lgk 0可得 x= ，y= ，z= = = 1，可得 2x3y ，同理可得 5z2x【解答】解：x、y、z 为正数，令 2x=3y=5z=k1lgk0则 x= ，y= ，z= 3y= ， 2x= ，5z= = = ， = lg 03y2x5z另解：x、y 、z 为正数，令 2x=3y=5z=k1lgk0则 x= ，y= ，z= = = 1，可得 2x3y ，= = 1可得 5z2x 综上可得：5z2x3y解法三：对 k 取特殊值，也可以比较出大小关系故选：D【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中
24、档题12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1 ，2 ，1，2，4 ，1，2 ，4，8，1 ，2，4，8，16 ， ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）A440 B330 C220 D110【分析】方法一：由数列的性质，求得数列b n的通项公式及前 n 项和，可知当 N 为 时（nN +） ，数列
25、a n的前 N 项和为数列b n的前 n 项和，即为2n+1n2，容易得到 N100 时，n 14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前 n 项和 Sn=2n+12n，及项数，由题意可知：2 n+1 为 2 的整数幂只需将 2n 消去即可，分别即可求得 N 的值【解答】解：设该数列为a n，设 bn= + =2n+11， （nN +） ，则 = ai，由题意可设数列a n的前 N 项和为 SN，数列b n的前 n 项和为 Tn，则Tn=211+221+2n+11=2n+1n2，可知当 N 为 时（nN +） ，数列a n的前 N 项和为数列b n的前 n 项
26、和，即为 2n+1n2，容易得到 N100 时，n14，A 项，由 =435，440=435 +5，可知 S440=T29+b5=230292+251=230，故 A 项符合题意B 项，仿上可知 =325，可知 S330=T25+b5=226252+251=226+4，显然不为 2的整数幂，故 B 项不符合题意C 项，仿上可知 =210，可知 S220=T20+b10=221202+2101=221+21023，显然不为 2 的整数幂，故 C 项不符合题意D 项，仿上可知 =105，可知 S110=T14+b5=215142+251=215+15，显然不为2 的整数幂，故 D 项不符合题意故选
27、 A方法二：由题意可知： ， ， ，根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：2 11，2 21，2 31，2 n1，每项含有的项数为：1，2，3，n，总共的项数为 N=1+2+3+n= ，所有项数的和为 Sn：2 11+221+231+2n1=（2 1+22+23+2n）n= n=2n+12n，由题意可知：2 n+1 为 2 的整数幂只需将 2n 消去即可，则1+2+（2n）=0，解得：n=1 ，总共有 +2=3，不满足 N100，1+2 +4+（2 n）=0 ，解得：n=5 ，总共有 +3=18，不满足 N100，1+2 +4+8+（2 n）=0 ，解得：n=13 ，总共有 +4=9
28、5，不满足N100，1+2 +4+8+16+（2n）=0，解得：n=29 ，总共有 +5=440，满足N100，该款软件的激活码 440故选：A【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前 n 项和，考查计算能力，属于难题二填空题（共 4 小题）13已知向量 ， 的夹角为 60，| |=2，| |=1，则| +2 |= 2 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可【解答】解：【解法一】向量 ， 的夹角为 60，且 | |=2，| |=1， = +4 +4=22+421cos60+412=12，| +2 |=2 【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形 = + = +2 ；在OAC
29、中，由余弦定理得| |= =2 ，即| +2 |=2 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题14设 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x2y 的最小值为 5 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为 A，联立 ，解得 A（ 1，1） z=3x 2y 的最小值为31 21=5故答案为：5【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15已知双曲线 C： =1（a0，b 0）的右顶点为 A，以 A
30、 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点若MAN=60，则 C 的离心率为 【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C： =1（a0，b 0）的右顶点为 A（a，0） ，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点若MAN=60，可得 A 到渐近线 bx+ay=0 的距离为：bcos30= ，可得： = ，即 ，可得离心率为：e= 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思
31、想以及计算能力16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD、E 、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以BC， CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA ，AB 为折痕折起DBC，ECA ，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 4 cm3 【分析】由题，连接 OD，交 BC 于点 G，由题意得 ODBC，OG= BC，设OG=x，则 BC=2 x，DG=5x，三棱锥的高 h= ，求出 SABC =3 ，V= ，令 f（x ）=25x 41
32、0x5，x （0， ） ，f（x）=100x350x4，f（x）f（2）=80，由此能求出体积最大值【解答】解：由题意，连接 OD，交 BC 于点 G，由题意得ODBC ，OG= BC，即 OG 的长度与 BC 的长度成正比，设 OG=x，则 BC=2 x，DG=5x，三棱锥的高 h= = = ，=3 ，则 V= = = ，令 f（x）=25x 410x5，x （0， ） ，f （x）=100x 350x4，令 f（x）0，即 x42x30，解得 x2，则 f（x）f（ 2）=80 ，V =4 cm3，体积最大值为 4 cm3故答案为：4 cm3【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查
33、空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题三解答题（共 8 小题）17已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a= ，求ABC 的面积【分析】 （I） sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b 2=2ac，再利用余弦定理即可得出（II）利用（I）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin 2B=2sinAsinC，由正弦定理可得： 0，代入可
34、得（bk） 2=2akck，b 2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB= = = （II）由（I）可得：b 2=2ac，B=90，且 a= ，a 2+c2=b2=2ac，解得 a=c= S ABC = =1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，已知ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长【分析】 （1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得 cosA= ，即可求出
35、A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出 b+c，问题得以解决【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得 SABC = acsinB= ，3csinBsinA=2a，由正弦定理可得 3sinCsinBsinA=2sinA，sinA0，sinBsinC= ；（2）6cosBcosC=1，cosBcosC= ，cosBcosCsinBsinC= = ，cos（B+C） = ，cosA= ，0A，A= ， = = =2R= =2 ，sinBsinC= = = = ，bc=8，a 2=b2+c22bccosA，b 2+c2bc=9，（b+c） 2=9+3cb=9+24=33，b+c=周长
36、 a+b+c=3+ 【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题19如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD ，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值【分析】 （1）由已知可得 PAAB，PDCD，再由 ABCD，得 ABPD，利用线面垂直的判定可得 AB 平面 PAD，进一步得到平面 PAB平面 PAD；（2）由已知可得四边形 ABCD 为平行四边形，由（ 1）知 AB平面 PAD，得到ABAD，则四边形 ABCD 为矩形，
37、设 PA=AB=2a，则 AD= 取 AD 中点O，BC 中点 E，连接 PO、OE，以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 PBC 的一个法向量，再证明 PD平面 PAB，得 为平面 PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 APBC 的余弦值【解答】 （1）证明：BAP=CDP=90，PA AB，PDCD，ABCD，ABPD，又PA PD=P，且 PA平面 PAD，PD平面 PAD，AB平面 PAD，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形，
38、由（1）知 AB平面 PAD，ABAD，则四边形 ABCD 为矩形，在APD 中，由 PA=PD，APD=90，可得PAD 为等腰直角三角形，设 PA=AB=2a，则 AD= 取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE ，以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则：D（ ） ，B（ ） ，P （0， 0， ） ，C（ ） ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 y=1，得 AB平面 PAD，AD 平面 PAD，AB PD，又 PDPA，PAAB=A ，PD平面 PAB，则 为平面 PAB 的一个法向量， cos =
39、 = 由图可知，二面角 APBC 为钝角，二面角 APBC 的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题20为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（， 2） （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（3，+3）之外的零件数，求 P（X 1）及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ 3，+3 ）之外的零件，就认为这
40、条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 = =9.97，s= = 0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ 3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01
41、） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（ ， 2） ，则 P（ 3Z +3）=0.9974，0.9974 160.9592， 0.09【分析】 （1）通过 P（X=0）可求出 P（X1）=1 P（X=0）=0.0408 ，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2） （）由（1）及知落在（ 3，+3）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（）通过样本平均数 、样本标准差 s 估计 、 可知（ 3 +3 ）=（ 9.334，10.606 ） ，进而需剔除（ 3 +3 ）之外的数据 9.22，利用公式计算即得结论【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（ 3，+3 ）之内的概率为 0.9974，则
42、落在（3，+3 ）之外的概率为 10.9974=0.0026，因为 P（X=0）= （1 0.9974） 00.9974160.9592，所以 P（X1）=1P（X=0）=0.0408，又因为 XB（16，0.0026） ，所以 E（X）=16 0.0026=0.0416；（2） （）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（ 3 +3 ）之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在（ 3 +3 ）之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程
43、的方法是合理的（）由 =9.97，s0.212，得 的估计值为 =9.97， 的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（ 3 +3 ）之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除（ 3 +3 ）之外的数据 9.22，剩下的数据的平均数为（169.979.22 ）=10.02，因此 的估计值为 10.022=160.2122+169.9721591.134 ，剔除（ 3 +3 ）之外的数据 9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134 9.2221510.022）0.008 ，因此 的估计值为 0.09 【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算
44、，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21已知椭圆 C： + =1（ab0） ，四点 P1（1，1） ，P 2（0，1） ，P3（1 ， ） ，P 4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点【分析】 （1）根据椭圆的对称性，得到 P2（0，1） ，P 3（1， ） ，P4（1 ， ）三点在椭圆 C 上把 P2（0，1 ） ，P 3（1， ）代入椭圆 C，求出a2=4，b 2=1，由此能求出椭圆 C 的方程（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率
45、存在时，设 l：y=kx+t， （t 1） ，联立，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线 l 过定点（2，1） 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P 3（ 1， ） ，P 4（1， ）两点必在椭圆 C 上，又 P4 的横坐标为 1，椭圆必不过 P1（1，1） ，P 2（ 0，1） ，P 3（1， ） ，P 4（1， ）三点在椭圆 C 上把 P2（ 0，1） ，P 3（1， ）代入椭圆 C，得：，解得 a2=4，b 2=1，椭圆 C 的方程为 =1证明：（2）当斜率不存在时，设 l：x=m，A （m，y A） ，B（m
46、， yA） ，直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1， = = =1，解得 m=2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设 l：y=kx+t， （t 1） ，A （x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t24=0，x 1x2= ，则 = = = =1，又 t1，t=2k1 ，此时= 64k，存在 k，使得0 成立，直线 l 的方程为 y=kx2k1，当 x=2 时，y=1，l 过定点（2，1） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题22已知函数 f（x ）=ae 2x+（a 2）e xx（1）讨论 f（x
