1、2018 年 04 月 22 日 fago 的高中数学组卷一选择题（共 12 小题）1已知集合 A=（x，y）|x 2+y2=1，B=（x，y ）|y=x ，则 AB 中元素的个数为（ ）A3 B2 C1 D02设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|= （ ）A B C D23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月
2、接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4 （x +y） （2xy） 5 的展开式中的 x3y3 系数为 （ ）A 80 B40 C40 D805已知双曲线 C： =1 （a0，b 0）的一条渐近线方程为 y= x，且与椭圆 + =1 有公共焦点，则 C 的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =16设函数 f（x）=cos（x+ ） ，则下列结论错误的是（ ）Af （x）的一个周期为2By=f（x）的图象关于直线 x= 对称C f（ x+）的一个零点为 x=Df（x ）在（ ，）单调递减7执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最
3、小值为（ ）A5 B4 C3 D28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D9等差数列a n的首项为 1，公差不为 0若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则a n前 6 项的和为（ ）A 24 B3 C3 D810已知椭圆 C： =1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（ ）A B C D11已知函数 f（x ）=x 22x+a（e x1+ex+1）有唯一零点，则 a=（ ）A B C D112在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2
4、，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 = + ，则 + 的最大值为（ ）A3 B2 C D2二填空题（共 4 小题）13若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x4y 的最小值为 14设等比数列a n满足 a1+a2=1，a 1a3=3，则 a4= 15设函数 f（x ）= ，则满足 f（x ）+f（x ）1 的 x 的取值范围是 16a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成
5、 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）三解答题（共 7 小题）17ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，已知 sinA+ cosA=0，a=2，b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC ，求ABD 的面积18某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 2
6、5，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19如图，四面体 AB
7、CD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值20已知抛物线 C：y 2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，2） ，求直线 l 与圆 M 的方程21已知函数 f（x ）=x 1alnx（1）若 f（x）0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， （1
8、+ ） （1+ ）（1+ ）m，求 m 的最小值22在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ， （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 ， （m 为参数） 设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin） =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径23已知函数 f（x ）=|x+ 1|x2|（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围2018 年 04 月 22 日 fago 的高中
9、数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1已知集合 A=（x，y）|x 2+y2=1，B=（x，y ）|y=x ，则 AB 中元素的个数为（ ）A3 B2 C1 D0【分析】解不等式组求出元素的个数即可【解答】解：由 ，解得： 或 ，AB 的元素的个数是 2 个，故选：B【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题2设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|= （ ）A B C D2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）z=2i ，（1 i） （1+i）z=2i （1i） ，z=i+1则|z|= 故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式
10、，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案【解答】解：由已有中 2014 年 1 月
11、至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；年接待游客量逐年增加，故 B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确；故选：A【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题4 （x +y） （2xy） 5 的展开式中的 x3y3 系数为 （ ）A 80 B40 C40 D80【分析】 （2xy） 5 的展开式的通项公式：T r+1= （2x） 5r（ y） r=25r（1）r
12、 x5ryr令 5r=2，r=3，解得 r=3令 5r=3，r=2 ，解得 r=2即可得出【解答】解：（2xy） 5 的展开式的通项公式：T r+1= （2x） 5r（ y） r=25r（1） rx5ryr令 5r=2，r=3，解得 r=3令 5r=3，r=2，解得 r=2（x+y ） （2x y） 5 的展开式中的 x3y3 系数=2 2（1） 3 +23 =40故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知双曲线 C： =1 （a0，b 0）的一条渐近线方程为 y= x，且与椭圆 + =1 有公共焦点，则 C 的方程为（ ）A =1 B =1 C =
13、1 D =1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【解答】解：椭圆 + =1 的焦点坐标（3，0） ，则双曲线的焦点坐标为（3，0） ，可得 c=3，双曲线 C： =1 （a0，b 0）的一条渐近线方程为 y= x，可得 ，即 ，可得 = ，解得 a=2，b= ，所求的双曲线方程为： =1故选：B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力6设函数 f（x）=cos（x+ ） ，则下列结论错误的是（ ）Af （x）的一个周期为2By=f（x）的图象关于直线 x= 对称C f（ x
14、+）的一个零点为 x=Df（x ）在（ ，）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解：A函数的周期为 2k，当 k=1 时，周期 T=2，故 A 正确，B当 x= 时，cos（x + ）=cos （ + ）=cos =cos3=1 为最小值，此时 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，故 B 正确，C 当 x= 时，f（ +）=cos （ + ）=cos =0，则 f（x +）的一个零点为 x= ，故 C 正确，D当 x 时， x+ ，此时函数 f（x ）不是单调函数，故 D错误，故选：D【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是
15、解决本题的关键7执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【分析】通过模拟程序，可得到 S 的取值情况，进而可得结论【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0，要使输出 S 的值小于 91，应满足 “tN”，则进入循环体，从而 S=100，M= 10，t=2，要使输出 S 的值小于 91，应接着满足 “tN”，则进入循环体，从而 S=90，M=1 ，t=3，要使输出 S 的值小于 91，应不满足 “tN”，跳出循环体，此时 N 的最小值为 2，故选：D【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键
16、，注意解题方法的积累，属于中档题8已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r= = ，由此能求出该圆柱的体积【解答】解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径 r= = ，该圆柱的体积：V=Sh= = 故选：B【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题9等差数列a n的首项为 1，公差不为 0若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则a n前 6 项的和为（
17、 ）A 24 B3 C3 D8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出a n前 6 项的和【解答】解：等差数列a n的首项为 1，公差不为 0a 2，a 3，a 6 成等比数列， ，（a 1+2d） 2=（a 1+d） （a 1+5d） ，且 a1=1，d0，解得 d=2，a n前 6 项的和为 = =24故选：A【点评】本题考查等差数列前 6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用10已知椭圆 C： =1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C
18、的离心率为（ ）A B C D【分析】以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出【解答】解：以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，原点到直线的距离 =a，化为：a 2=3b2椭圆 C 的离心率 e= = = 故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知函数 f（x ）=x 22x+a（e x1+ex+1）有唯一零点，则 a=（ ）A B C D1【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1（x1） 2 的图象与 y=a（
19、e x1+ ）的图象只有一个交点求 a 的值分 a=0、a0、a0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论【解答】解：因为 f（x） =x22x+a（e x1+ex+1）= 1+（x1） 2+a（e x1+ ）=0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x 1） 2=a（e x1+ ）有唯一解，等价于函数 y=1（x1） 2 的图象与 y=a（e x1+ ）的图象只有一个交点当 a=0 时，f（x）=x 22x1，此时有两个零点，矛盾；当 a0 时，由于 y=1（x1） 2 在（ ，1）上递增、在（ 1，+）上递减，且 y=a（e x1+ ）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数
20、 y=1（x1） 2 的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（e x1+ ）的图象的最高点为 B（1，2a） ，由于 2a0 1，此时函数 y=1（x 1） 2 的图象与 y=a（e x1+ ）的图象有两个交点，矛盾；当 a0 时，由于 y=1（x1） 2 在（ ，1）上递增、在（ 1，+）上递减，且 y=a（e x1+ ）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数 y=1（x1） 2 的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（e x1+ ）的图象的最低点为 B（1，2a） ，由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a= ，符合条件；综上所述，a= ，故选：C【点评】
21、本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题12在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 = + ，则 + 的最大值为（ ）A3 B2 C D2【分析】如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（ cos+1， sin+2） ，根据 = + ，求出 ， ，根据三角函数的性质即可求出最值【解答】解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y
22、轴建立如图所示的坐标系，则 A（0，0 ） ，B（1，0 ） ，D（0，2） ，C（1，2） ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，设圆的半径为 r，BC=2，CD=1 ，BD= = BCCD= BDr，r= ，圆的方程为（x1） 2+（y 2） 2= ，设点 P 的坐标为（ cos+1， sin+2） ， = + ，（ cos+1， sin+2）= （1，0）+（0，2）= （，2） ， cos+1=， sin+2=2，+= cos+ sin+2=sin（+）+2，其中 tan=2，1 sin（+）1，1+3，故 + 的最大值为 3，故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算以
23、及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点 P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题二填空题（共 4 小题）13若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x4y 的最小值为 1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z=3x4y 的最小值【解答】解：由 z=3x4y，得 y= x ，作出不等式对应的可行域（阴影部分） ，平移直线 y= x ，由平移可知当直线 y= x ，经过点 B（1，1）时，直线 y= x 的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐标代入 z=3x4y=34=1，即目标函数 z=3x4y 的最小值为1故答案为：1【点评】本题主要考
24、查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14设等比数列a n满足 a1+a2=1，a 1a3=3，则 a4= 8 【分析】设等比数列a n的公比为 q，由 a1+a2=1，a 1a3=3，可得：a 1（1+q）=1，a 1（1q 2）=3，解出即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 1+a2=1，a 1a3=3，a 1（1 +q）=1，a 1（1q 2）= 3，解得 a1=1，q=2则 a4=（2） 3=8故答案为：8【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15设函数 f（x ）= ，则满足 f（x
25、 ）+f（x ）1 的 x 的取值范围是 （ ，+） 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x 的取值范围，进行求解即可【解答】解：若 x0，则 x ，则 f（x）+f（ x ）1 等价为 x+1+x +11，即 2x ，则 x ，此时 x0，当 x0 时，f（x）=2 x1，x ，当 x 0 即 x 时，满足 f（x）+f（x ）1 恒成立，当 0x ，即 x0 时，f（x ）=x +1=x+ ，此时 f（ x）+f（x ）1 恒成立，综上 x ，故答案为：（ ，+） 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键16a ， b 为空
26、间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1 的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心
27、，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD 为 x轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC|=1，|AB|= ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 D（1，0，0） ，A（0， 0，1） ，直线 a 的方向单位向量 =（0，1，0） ，| |=1，直线 b 的方向单位向量 =
28、（1，0，0） ，| |=1，设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 B（cos ，sin，0） ，其中 为 BC 与 CD 的夹角， 0，2 ） ，AB在运动过程中的向量， =（cos，sin，1） ，| |= ，设 与 所成夹角为 0， ，则 cos= = |sin|0， ， ， ，正确， 错误设 与 所成夹角为 0， ，cos= = = |cos|，当 与 夹角为 60时，即 = ，|sin|= = = ，cos 2+sin2=1，cos= |cos|= ， 0， ，= ，此时 与 的夹角为 60，正确，错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
29、基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题三解答题（共 7 小题）17ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c ，已知 sinA+ cosA=0，a=2，b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC ，求ABD 的面积【分析】 （1）先根据同角的三角函数的关系求出 A，再根据余弦定理即可求出，（2）先根据夹角求出 cosC，求出 CD 的长，得到 SABD = SABC 【解答】解：（1）sinA + cosA=0，tanA= ，0A，A= ，由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 28=4
30、+c222c（ ） ，即 c2+2c24=0，解得 c=6（舍去）或 c=4，故 c=4（2）c 2=b2+a22abcosC，16=28+42 2 2cosC，cosC= ，CD= = =CD= BCS ABC = ABACsinBAC= 42 =2 ，S ABD = SABC =【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题18某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 50
31、0 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【分析】 （1）由题意知 X 的可能取值
32、为 200，300 ， 500，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑200n500，根据 300n 500 和 200n 300 分类讨论经，能得到当 n=300时，EY 最大值为 520 元【解答】解：（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，P（X=200）= =0.2，P（X=300）= ，P（X=500）= =0.4，X 的分布列为：X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑 200n500
33、，当 300n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y=6n4n=2n；若最高气温位于区间20，25） ，则 Y=6300+2（n300） 4n=12002n；若最高气温低于 20，则 Y=6200+2（n 200） 4n=8002n，EY=2n0.4+（1200 2n）0.4+（8002n ）0.2=6400.4n ，当 200n300 时，若最高气温不低于 20，则 Y=6n4n=2n，若最高气温低于 20，则 Y=6200+2（n 200） 4n=8002n，EY=2n（0.4+0.4）+（800 2n）0.2=160+1.2nn=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520
34、 元【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题19如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值【分析】 （1）如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，ODABC 是等边三角形，可得 OBAC由已知可得：ABDCBD
35、，AD=CDACD 是直角三角形，可得 AC 是斜边， ADC=90可得 DO= AC利用 DO2+BO2=AB2=BD2可得OBOD利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（2）设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，h E则 = 根据平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点 E 是BD 的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB=2利用法向量的夹角公式即可得出【解答】 （1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，ODABC 是等边三角形，OB AC ABD 与CBD 中，AB=BD=BC，ABD=CBD ，ABD CBD，A
36、D=CD ACD 是直角三角形，AC 是斜边， ADC=90DO= ACDO 2+BO2=AB2=BD2BOD=90OBOD又 DOAC=O ，OB平面 ACD又 OB平面 ABC，平面 ACD平面 ABC（2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，h E则 = 平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， = = =1点 E 是 BD 的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB=2则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C（1，0，0） ，D（0，0，1） ，B（0， ，0） ，E =（ 1，0，1） ， = ， =（ 2，0，0） 设平面 ADE 的法向
37、量为 =（x，y，z ） ，则 ，即 ，取 =同理可得：平面 ACE 的法向量为 =（0，1， ） cos = = = 二面角 DAEC 的余弦值为 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知抛物线 C：y 2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，2） ，求直线 l 与圆 M 的方程【分析】 （1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得 A 和 B 的坐标，由 =0，则坐标原点 O 在圆
38、M 上；当直线 l 斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 =0，则坐标原点 O 在圆 M 上；方法二：设直线 l 的方程 x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则坐标原点 O 在圆 M 上；（2）由题意可知： =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 k 的值，求得 M 点坐标，则半径 r=丨 MP 丨，即可求得圆的方程【解答】解：方法一：证明：（1）当直线 l 的斜率不存在时，则 A（2，2） ，B（2 ，2 ） ，则 =（ 2，2） ， =（2， 2） ，则 =0， ，则坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 的斜率存在，设直
39、线 l 的方程 y=k（x 2） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，整理得：k 2x2（4k 2+2）x+4k 2=0，则 x1x2=4，4x 1x2=y12y22=（y 1y2） 2，由 y1y20，则 y1y2=4，由 =x1x2+y1y2=0，则 ，则坐标原点 O 在圆 M 上，综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上；方法二：设直线 l 的方程 x=my+2，整理得：y 22my4=0，A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1y2=4，则（y 1y2） 2=4x1x2，则 x1x2=4，则 =x1x2+y1y2=0，则 ，则坐标原点 O 在圆 M 上，坐
40、标原点 O 在圆 M 上；（2）由（1）可知：x 1x2=4，x 1+x2= ，y 1+y2= ，y 1y2=4，圆 M 过点 P（4，2） ，则 =（4x 1，2y 1） ， =（4 x2，2 y2） ，由 =0，则（ 4x1） （4x 2）+（ 2y1） （ 2y2）=0，整理得：k 2+k2=0，解得：k=2，k=1 ，当 k=2 时，直线 l 的方程为 y=2x+4，则 x1+x2= ，y 1+y2=1，则 M（ ， ） ，半径为 r=丨 MP 丨= = ，圆 M 的方程（ x ） 2+（y + ） 2= 当直线斜率 k=1 时，直线 l 的方程为 y=x2，同理求得 M（ 3，1）
41、，则半径为 r=丨 MP 丨= ，圆 M 的方程为（ x3） 2+（y 1） 2=10，综上可知：直线 l 的方程为 y=2x+4，圆 M 的方程（x ） 2+（y+ ） 2=或直线 l 的方程为 y=x2，圆 M 的方程为（x3） 2+（y1） 2=10【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题21已知函数 f（x ）=x 1alnx（1）若 f（x）0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， （1 + ） （1+ ）（1+ ）m，求 m 的最小值【分析】 （1）通过对函数 f（x ）=x 1alnx（x 0）求导
42、，分 a0、a0 两种情况考虑导函数 f（x ）与 0 的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知 lnxx1，进而取特殊值可知 ln（1+ ） ，k N*一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ） （1+ ）（1+ ）e，另一方面可知（1+ ） （1+ ）（1+ ）2，从而当 n3 时， （1+ ）（1+ ）（ 1+ ） （2，e ） ，比较可得结论【解答】解：（1）因为函数 f（x ）=x 1alnx，x 0，所以 f（x）=1 = ，且 f（1）=0 所以当 a0 时 f（x）0 恒成立，此时 y=f（x ）在（0，+）上单调递增，这与 f（x）0 矛盾；当 a0 时令 f（x）=0
43、，解得 x=a，所以 y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，即 f（x ）min=f（a） ，若 a1，则 f（a）f（1）=0，从而与 f（x ）0 矛盾；所以 a=1；（2）由（1）可知当 a=1 时 f（x）=x 1lnx0，即 lnxx1，所以 ln（x +1）x 当且仅当 x=0 时取等号，所以 ln（1+ ） ， kN*一方面，ln（1+ ）+ln（1+ ）+ln（1 + ） + + =1 1，即（1+ ） （1+ ） （1 + ）e；另一方面， （1+ ） （1+ ）（1+ ）（1+ ） （1+ ） （1+ ）= 2；从而当 n3 时， （1+ ） （1+
44、）（1+ ）（ 2，e） ，因为 m 为整数，且对于任意正整数 n， （1+ ） （1+ ）（1+ ）m 成立，所以 m 的最小值为 3【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题22在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ， （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 ， （m 为参数） 设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+si
45、n） =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径【分析】解：（1）分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1 与直线 l2 的普通方程为y=k（x2 ）与 x=2+ky ；联立，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2y2=4；（2）将 l3 的极坐标方程为 （cos+sin） =0 化为普通方程： x+y =0，再与曲线 C 的方程联立，可得 ，即可求得 l3 与 C 的交点 M 的极径为 =【解答】解：（1）直线 l1 的参数方程为 ， （t 为参数） ，消掉参数 t 得：直线 l1 的普通方程为：y=k（x2）；又直线 l2 的参数方程为 ， （m 为参数） ，同理可得，直线 l2
46、的普通方程为： x=2+ky；联立，消去 k 得：x 2y2=4，即 C 的普通方程为 x2y2=4；（2）l 3 的极坐标方程为 （cos+sin） =0，其普通方程为：x+y =0，联立 得： ， 2=x2+y2= + =5l 3 与 C 的交点 M 的极径为 = 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题23已知函数 f（x ）=|x+ 1|x2|（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围【分析】 （1）由于 f（x） =|x+1|x2|= ，解不等式 f（x）1可分1x2 与 x2 两类讨论即可解得不等式 f（ x）1 的解集；（2）依题意可得 mf（x ）
