1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 37 空间直角坐标系、空间向量及其运算一、解答题1.（2012北京高考理科16）如图 1，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE=2，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2.（ 1） 求 证 ： A1C 平 面 BCDE；（ 2） 若 M 是 A1D 的 中 点 ， 求 CM 与 平 面 A1BE 所 成 角 的 大 小 ；（ 3） 线 段 BC 上 是 否 存 在 点 P
2、， 使 平 面 A1DP 与 平 面 A1BE 垂 直 ？ 说 明 理 由 .【解题指南】 （1）利用线面垂直的判定定理证明；（2） （3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解.【解析】 （1） /,DEBCADEAC， 1,DEC，11,AC与又 1与.（2）由（1）可知， 1,BCDA两两互相垂直，分别以它们为 x 轴、y 轴、z 轴ABCD EC BEDA1M图 1 图 2建立空间直角坐标系，则 1(0,23)A, (01,3)(0,13)(1,20)MCBE1(3,02)AB，设平面 BE的法向量为 1nxyz，由11130nExyz，令 1x，得 13(,)2，设所求线面角为 ，则
3、3sin2nCM，2i，0,2， 4.（3）假设存在这样的点 P，设点 P 的坐标为(m,0,0)， 04m3,(0,)D, 1(,023),APm1(0,23)AD,设 22(,)nxyz为平面 1P的法向量，由212230nAxzDy，令 23z，得6(,3)nm，又 11ADPBE与垂直， 12n630m，解得 2m（舍去）.所以不存在点 P.2.（2012辽宁高考理科T18）如图，直三棱柱 /ABC， 90BAC，/,ABC点 M， N 分别为 /AB和 /C的中点.()证明： MN平面 /AC;()若二面角 /为直二面角，求 的值.【解题指南】 （1）由中点联想到中位线，据中位线和底
4、边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求 的值【解析】 （1）连接 ,ABC,由已知得 M 为 AB的中点，又 N 为 BC的中点，所以MN 为三角形 的中位线，故 N C,又MNAA平 面 ， 平 面 ，因此（2）以 A 为坐标原点 O，分别以直线 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间,BAC直角坐标系 ，oxyz设 1，则 ,从而BC(0,)(,0)(,)(0,1)(,)(0,1)ABC所以 (,0)(,1)22MN设 是平面 的一个法向量，由 得(,)mxyzA 0mAMN102xzy取 1，则 1,，故 (1,)m设 (,)nabc是平面 MNC的一个法向量，由0n
5、NCM得 取 1，则 3,c，故 (3,1)n因为 A为直二面角，所以 0(,1)(3,)02m.3.（2012天津高考理科17）如图，在四棱锥 PABCD中， P丄平面 ABCD， 丄 A， B丄 C，BCA=2PAD， 1.D CBAP()证明 PC丄 A；（）求二面角 -的正弦值；（）设 E 为棱 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 03，求 AE 的长.【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.【解析】方法一：如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B)0,21(，P（0,0,2） ，（）易得 ),2-10(=C),0(AD于是 0.ADPC，所以 PCAD.（） 设平面 PCD 的一个法向量 ),(zyxn=则, 不妨令 1z，可得 )1,2(=n，可取平面 PAC 的一个法向量 )0,1(m，于是从而 所以二面角 A-PC-D 的正弦值为 630.（）设点 E 的坐标为（0,0,h）,其中 2,0h，由此得 1(,),2BEh=-由(2,10)CD=-故 ，2BECD3cos,|1A所以 23032=+h，解得 0=h，即 10=AE.关闭 Word 文档返回原板块。
