1、第 2 课：一元二次函数性质及其综合考查一.一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质）二.高考题热身1.（06 江西卷）若不等式 x2ax10 对于一切 x（0， 成立，则 a 的取值范围是12（ ）A0 B. 2 C.- D.-352.(06 陕西卷) 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a0),若 x1f(x2) D.f(x1)与f(x 2)的大小不能确定3 （全国II）3.过点（1，0）作抛物线 的切线，则其中一条切线为y（A） （B） （C） （D）0xy3010y3.设 ， ，曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为a2()fbxc()fx(,)Pfx，则点到曲线
2、对称轴距离的取值范围是（ ）0,4()fB. 1. 1,0a.0,2ba1.0,2ba4 （05 全国卷）设 ，二次函数 的图像为下列之一（ ）b1xy则 的值为（A） （B） （C ） （D）a112512515. (05 重庆卷) 不等式组 的解集为 ( )(log2|x(A) (0, )； (B) ( ,2)； (C) ( ,4)； (D) (2,4)。3336(04 年重庆理 7)一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要20,a条件是：（ ） A B C D1aa7. 2已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 ( ) 22()xmxn4mnA 1 B C D 4188.
3、（04 年广东 2）已知 ( )2|3,|6,xAA. B. C. D.3,3129. 设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围为 （ ）1)(xxf 1)(fxA B C D0,00,0,9.（04 北京文 7） 函数 在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是fa()23（ ）A. B. C. D. a(,a(,)1210.（04 年湖北文 3）已知函数 的解析式可能为 （ )xfxf则处 的 导 数 为在）A B C D)1(3)(2xf )1(2xf 2)1(xf 1(xf11. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3，5 时，f(x)=2|x4|，则（ ）
4、Af(sin 6)f(cos1) Cf (cos 3)f(sin2)12 （04 福建文 3）命题 p：若 a、bR，则| a|+|b|1 是|a +b|1 的充分而不必要条件；命题 q：函数 y= 2|1x的定义域是（，1 3，+ .则（ ）A “p 或 q”为假 B “p 且 q”为真 Cp 真 q 假 Dp 假 q 真13. .已知关于 的方程 (2 m8) x + 16 = 0 的两个实根 满足 2 12x、 13，则实数 m 的取值范围_.2x 17|14.（04 江苏卷 17）已知 为常数，若 ， ，ba, 34)(2xf 40)(baf则 = 2 。ba515.设函数 f(x)=
5、x2+mx+n, 若不等式 的解集为x|2x3 或 x=6,216)(xggf0求 m,n 的值.三.典型例题例 1作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x1)； 解：(1)当 x2 时，即 x-2 0 时，当 x2 时，即 x-20 时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图 6)例 2. 的 取 值 范 围 。之 间 ， 求和的 两 根 都 在的 方 程若 关 于 kkxx 31032解析： 0)() xfxf 程轴 交 点 的 横 坐 标 就 是 方， 其 图 象 与令，( 1y 的 解 ， 由 的 图 象 可 知 ， 要 使 二 根 都 在 ， 之 间 ， 只 需 ，
6、 3(02bffka(0)k同 时 成 立 ， 解 得 ， 故 ，例 3 （福建卷）已知 是二次函数，不等式 的解集是 且 在区间()fx()0fx(,5)(fx上的最大值是 12。 （I）求 的解析式； （II）是否存在实数 使得方程1,4()f ,m在区间 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范7()0fx,1m围；若不存在，说明理由。解：（I） 是二次函数，且 的解集是()fx()0fx(,5)可设 在区间 上的最大值是5(.a14(1)6.fa由已知，得 612,a2,()5)10().fxxR（II）方程 等价于方程37()0f37设 则2,hx2()6(3).hx当 时
7、， 是减函数；当 时， 是增函数。 1(0,)()x,0,()hx30,45,7方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间 内()h1(3) (,3)4没有实数根，所以存在惟一的自然数 使得方程 在区间 内有,m37()0fx1m且只有两个不同的实数根。例 4：已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=bx ，其中 a、b、c 满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco两函数的图象交于不同的两点 A、B； (2)求线段 AB 在x 轴上的
8、射影 A1B1 的长的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解: (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco由 消去 y 得 ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac) 24ac=4(a 2+ac+c2)=4( a+ c243)a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3(2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2= ,x1x2= 头htp:/w
9、.xjkygcom126t:/.jba|A1B1|2=(x1x 2)2=(x1+x2)24x 1x2()4(aca23()4()cabc,a+b+c=0,a0,cacc,解得 (2, )1 的对称轴方程是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2, )时，为减函数1)(42f a2|A1B1|2(3,12),故| A1B1|( ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3,例 5：已知 f(x)=x2+c,且 ff(x)=f(x 2+1) (1)设 g(x)=ff(x),求 g(x)的解析式；(2)设(x)=g(x)f(x), 试问 头htp:/w.xjkygcom12
10、6t126.hp:/wxjkygco 是否存在实数 ,使 (x)在( , 1)内为减函数，且在(1，0) 内是增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点拨与提示：由 ff(x)= f(x2+1)求出 c，进而得到函数的解析式，利用导数研究函数的单调性.解: (1)由题意得 ff(x) = f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x) =f (x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1 f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x 2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f( x)=x4+(
11、2)x 2+(2)若满足条件的 存在，则 (x)=4x3+2(2)x函数 (x)在( ,1)上是减函数， 当 x1 时，(x) 0即 4x3+2(2)x 0 对于 x(,1) 恒成立2(2)4 x2, x1,4x 24 2(2) 4, 解得 4又函数 (x)在(1,0)上是增函数 当1x0 时，(x) 0即 4x2+2(2)x 0 对于 x(1,0) 恒成立2(2)4 x2, 1 x0, 44x 20 2(2)4,解得 4故当 =4 时，(x )在(,1)上是减函数，在(1,0) 上是增函数，即满足条件的 存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 6. 已知 ，t ，8 ，对
12、于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式tf2log恒成立，求 x 的取值范围。解:t ，8，f(t) ，3 原题转化为： 0 恒成立，为 m 的一次12)(x函数（这里思维的转化很重要）当 x2 时，不等式不成立。x2。令 g(m)，m ，3问题转化为 g(m)在 m ，3上恒对于 0，则： ；解得：2)(x 1)3(21gx2 或 x1例 8. (见备考指南 148 页例 3)解 关 于 的 不 等 式 ： a210()解： （ ） 当 时 ， 原 不 等 式 化 为0x（ ） 当 时 ， 原 不 等 式 化 为2a) 若 ， 则 原 不 等 式 化 为a(10不 等 式 解 为 或x1
13、若 ， 则 原 不 等 式 化 为 a0()（ ） 当 时 ， ， 不 等 式 解 为ia1()x当 时 ， ， 不 等 式 解 为i a当 时 ， ， 不 等 式 解 为01综上所述，得原不等式的解集为； ；当 时 ， 解 集 为 或axa当 时 ， 解 集 为 x01|当 时 ， 解 集 为01axa； ；当 时 ， 解 集 为1当 时 ， 解 集 为 a1例 9. 若方程 上有唯一解，lg()lg()mx233在 ，求 m 的取值范围。解：原方程等价于x22004令 ，在同一坐标系内，画出它们的图象，yy143，其中注意 ，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程0x有唯一解，由下图可见，当 m=1，或 时，原方程有唯一解，因此 m 的取值0m范围为3，0 1。例 10设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x，y= x，均不相交.试证明对一切都有 .xR214abxc证明：由题意知，a0设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则又二次方程 ax2+bx+c=x 无实根，故 1=(b+1)2-4ac0， 2=(b-1)2-4ac0所以(b+1) 2+(b-1)2-8ac0，即 2b2+2-8ac0，即 b2-4ac-1，所以|b 2-4ac|1
