1、2018 届学科网二轮透析高考数学 23 题对对碰【二轮精品】 第一篇主题 8 等差数列、等比数列与传统文化【主题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前 n 项和公式，考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法 ，考查运算求解能力、函数与方程思想，难度为基础题或中等难度，分值为 5 分.【主题回扣】1.等差数列（1）定义： 1nad( 为常数) na是等差数列 来源:学科网(2)通项公式：a na 1(n1)d；(3)求和公式：S n na 1 d；n（a1 an）2 n（n 1）2(4)性质：若 m，n，p，qN *，且 mnpq
2、，则 ama na p aq；a na m( nm)d；S m，S 2mS m，S 3mS 2m，成等差数列.（5）判断等差数列的常用方法定义法an1 a nd(常数)( nN *)a n是等差数列通项公式法anpnq(p，q 为常数，n N*) an是等差数列中项公式法2an1 a na n2 (nN *) an是等差数列前 n 项和公式法SnAn 2Bn (A，B 为常数，nN *)a n是等差数列2.等比数列（1）定义： 1naq ( 为非零常数) n是等比数列；(2)通项公式：a na 1qn1 (q0) ；(3)求和公式：q1，S nna 1；q1，S n ；a1（1 qn）1 q
3、a1 anq1 q(4)性质：若 m，n，p，qN *，且 mnpq，则 amana paq；a na mqnm ；S m，S 2mS m，S 3mS 2m，(S m0)成等比数列.（5）判 断等比数列的常用方法定义法q (q 是不为 0 的常数， nN *) an是等比数列an 1an通项公式法ancq n (c，q 均是不为 0 的常数，nN *)a n是等比数列 来源:学科网中项公式法a a nan2 (anan1 an2 0，nN *) an是等比数列2n 1【易错提醒】1.等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导
4、致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量来源:学+科+网 Z+X+X+K2.易混淆几何平均数与等比中项，正数 a，b 的等比中项是 .ab3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算如等差数列a n与bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知 ，求 时，无法正确赋值求解SnTn n 12n 3 anbn4易忽视等比数 列中公比 q0 导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解5运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论一定分 q1 和 q1 两种情况进行讨论【主题考向】考向一 等差
5、数列与等比数列的基本量的求解【解决法宝】等差（比）数列的通项公式、前 项和公式中一共包含 （或 ） 与 这五个量，n1,adq,naS如果已知其中的三个，就可以求其余的两个其中 和 （或 ）是两个基本量，所以等差数列与等比数1adq列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现注意方程思想的应用讨论等差数列前 项和的最n值时，不要忽视 为整数的条件和 的情形等比数列前 项和公式时，注意分类讨论n0nan例 1 【四川南充市 2018 届综合测试（一） 】公差不为 0 的等差数列 的部分项 构成等比a12
6、3,kka数列 ，且 ， ， ，则 为（ ）nka12k364kA20 B22 C24 D28【分析】利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解 .4【解析】考向二 等差数 列、等比数列定义的应用【解决法宝】1.等差数列的判定：定义法： 1nad（ 为常数）(nN*) 是等差数 列；na等差中项法： 12na 是等差数列；n通项公式法： pq（ ,为常数） 是等差数列；n前 n 项和公式法：2nSb（ 为常数） 是等差数列其中用来证明方法的有来源:学科网aZXXK2.等比数列的判定：学=科网定 义法： 1naq（ 0,n） 是等比数列；na等比中项法：21（ n） 是等比数列；通项公式法： (a
7、,b)n 是等比数列；n前 n 项和公 式法：(0,b1),)nS 是等比数列，其中用来证 明方法的有na例 2 【甘肃省兰州市 2018 届高三一诊】若等比数列 的前 项和为 ，其中 ， 是常数，则 的值为（ ）A. B. C. D. 1【分析】先判断 不为 0，有题中条件求出 ，根据等比数列定义即可列出 的关系式，即可求a321,aba,出 的值.b【解析】考向 三 等差数列与等比数列的性质的应用【解决法宝】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差数列与等比数列性质的类比、联系与区别等差数列（等比数列）中若出现的
8、是通项与数列和的关系 ，则优先考虑：（1）等差数列性质：已知 ,mnpqN，则 ； ；（2）等比数列性质：已知qpnmqpnmaadmnn)(,N， ，则 ； ；利用性质可简化计算.qpmna例 3 【安徽省黄山市 2017 届摸底考试】设等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，并且满足条件：nqnT， ， ，给出下列结论：（1） ；（2） ；（3）1a2016720167a0120168a是数列 中的最大项；（4）使 成立的最大自然数等于 4031，其中正确的结论为（ ）206Tn nTA （2） （3） B （1） （3） C （1） （4） D （2） （4）【分析】利用等比数列的性质即
9、可判断各结论的正误.【解析】例 4 【甘肃省武威市 2018 届二练】已知等差数列 的前 项和分别为 ，若对于任意的自然,nab,nST数 ，都有 ，则 （ ）n234nST31539210abA B C D191772041【分析】利用等差数列的性质与前 n 项和公式，即可求出结果.【解析】考向四 数列与传统文化【解决法宝】认真阅读题目，先将与数列有关的传统文化题目转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题，最后对实际问题作出解释.例 5【河南省三门峡一高 2018 届下学期第一次月考】 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织
10、 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11来源:学科网【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，设为 ，且 a2+a5+a8=15，S 7=28，利用等差数列通n项公式和前 n 项和，即可求出基本量 ，利用通项公式即可求出 即为第九日所织尺数.da,1 9【解析】【主题集训】一、选择题：1 【2018 年湖南省十四校联考】我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下 1 尺，重
11、 4 斤；在最细的 一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每 一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为 ，则 的值为（ ）A. 4 B. 12 C. 15 D. 182.【河南百校 联考 2017 届高三 9 月质检，3】在等差数列 中， ，公差为 ，则“ ”是“na1d4成等比数列”的（ ）123,aA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3 【山西省晋中市 2018 届高三 1 月高考适应性考试】等比数列 中， ， 是函数 的两个零点，则 等于（ ）39A. B. C. D. 44 【湖南省怀化市 2018 届高三上学期期末】在等差数列 中，若
12、 ， ，则 的值是（ ）A. 15 B. 30 C. 31 D. 645.【河北省张家口市一高 2018 届 3 月考】数列 是等差数列，若 ，且它的前 项和 有最 大值，那么当 取得最小正值时， （ ）A. B. C. D. 116.【福建省莆田市 2018 届 3 月质量检测】等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）A. B. C. 14 D. 157 【山东潍坊 2017 届高三上学期期中，6】中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天
13、健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 .”问此人第 4 天和第 5 天共走了（ ）A60 里 B48 里 C.36 里 D24 里8 【福建省漳州市 2018 届高三上学期期末】等差数列 和等比数列 的首项均为 ，公差与公比均nanb1为 ，则 （ ）3123bbaA. B. C. D. 64839 【吉林省长春市 2018 届质量监测（二） 】已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若，则A. B. C. D. 10 1610.【安徽省宿州市 2018 届第一次质量检测】在等差数列 中， ，若它的前 项和 有最大na761nnS值，则当 时， 的
14、最大值为（ ）0nSA. 11 B. 12 C. 13 D. 1411.【辽宁盘锦市高中 2017 届 11 月月考，3】等比数列 中，已知对任意正整数 ，nan，则 等于（ ）1232naam221aA B C D(4)n ()3n41n2()nm12.【广东省珠海一中等六校 2018 届高三第三次联考】设等差数列 的前 项和为 ，若 , 则 ( )A. 63 B. 45 C. 36 D. 2713.【福建省宁德市 2018 届高三上学期期末】已知等差数列 的前 和为 ，若 ， nanS1239a，则 为（ ）学科=网63S12aA. B. C. D. 452615 【河南百校联考 2017
15、 届高三 9 月质检，11】在各项均为正数的等比数列 中，若na，则 的最小值为（ ）43218aa54aA12 B C D2316316 【河北省武邑中学 2018 届第一次质量检】已知公差不为 0 的等差数列 满足 成等比数列，为数列 的前 项和，则 的值为_ 325317.【安徽百校论坛 2017 届高三上学期第 2 联考，16】已知函数 满足 ，且 ，na123nna1则数列 的前 20 项和为 21na18.【云南省昆明市一中 2018 届第六次月考】若等比数列 的前 项和 （其中 ， 是常 =41+数） ，则 _学&*科网=19.【福建省莆田市 2018 届 3 月质检】已知数列
16、满足 ， ，则 1=1+1=2+1_6=20.【河北省衡水市武邑中学 2018 届高三下学期开学】已知等比数列 的各项均为正数， 是其前nanS项和，且满足 ， ，则 _n31228Sa4164S21 【天津市耀华中学 2018 届 12 月月考】已知等差数列 中，公差 ，且 ， ， 成等比数列， 1 3 9求 _1+3+92+4+10=22.【山东省烟台市 2018 届上学期期末自主练习】方程 的解称为函数 的不动点，若()= ()有唯一不动点，且数列 满足 ， ，则 _.()=+223.【湖南省株洲市二中等十四校 2018 届第一次联考】已知数列 满足： ，.设 是等差数列，数列 是各项均为正整数的递增数列，若 ，=213(1)(2) ()则 _
