1、第3讲 计数原理及二项式定理、数学归纳法,高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理，B级要求；(2)排列与组合，B级要求；(3)二项式定理，B级要求；(4)数学归纳法的简单应用，B级要求.,1.(2018江苏卷)设nN*，对1，2，n的一个排列i1i2in，如果当sit，则称(is，it)是排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1，2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2)，f4(2)的值
2、；(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示).,真 题 感 悟,解 (1)记(abc)为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)0，(132)1，(213)1，(231)2，(312)2，(321)3， 所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2. 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5.,(2)对一般的n(n4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n，所以fn(0)1. 逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(
3、1)n1.为计算fn1(2)，当1，2，n的排列及其逆序数确定后，将n1添加进原排列，n1在新排列中的位置只能是最后三个位置.,1.两种计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.排列与组合(1)排列的定义：,考 点 整 合,4.数学归纳法,热点一 与计数原理有关的问题 【例1】 (2011江苏卷)设整数n4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b1，2，3，n，ab.,解 (1)点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.,探究提高 此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算.,【训练1】 (2018
4、南京、盐城、连云港二模)已知nN*，且n4，数列T：a1，a2，an中的每一项均在集合M1，2，n中，且任意两项不相等.(1)若n7，且a2a3a4a5a6，求数列T的个数；(2)若数列T中存在唯一的ak(kN*，且kn)，满足akak1，求所有符合条件的数列T的个数.,当2kn2时，则a1a2ak，akak1，ak1ak2an， 从集合M中任取k个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的(nk)个数，按从小到大的顺序排列，,热点二 与二项式定理有关的问题 【例2】 设f(n)(ab)n(nN*，n2)，若f(n)的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P.(
5、1)求证：f(7)具有性质P；(2)若存在n2 017，使f(n)具有性质P，求n的最大值.,探究提高 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面： (1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别. (2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质. (3)关于x的二项式(abx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，且当x给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决.,所以当nk1时，结论也成立.,探究提高 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递
6、推缺一不可.在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项.同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法.,【训练3】 (2015江苏卷)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.,下面用数学归纳法证明：,1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘. 2.解排列、组合问题的基本策略(1)两种思路：直接法；间接法.(2)排列、组合的公式应用要灵活、合理变形，尤其注意两者的综合应用.,3.对于二项式系数，应注意以下几点：(1)关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”；(2)证明不等式时，注意运用放缩法；(3)对于三项展开式问题，可以先变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但注意分类清楚、不重不漏；(4)赋值法的巧妙运用. 4.数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题.通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，要了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用.,
