1、第1课时 抛物线的简单几何性质,1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 2.通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题.,1.本课重点是抛物线的几何性质及应用. 2.本课难点是利用抛物线的几何性质解决与抛物线相关的问题.,抛物线的简单几何性质,x0,yR,x0,yR,y0,xR,y0,xR,x,y,O（0，0）,1,1.抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？ 提示：抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线.,2.观察下图，抛物线标准方程y2=2px(p0)中，开口大小与p有 怎样的关系？提示：p越大，抛物线开口越开阔.,3.
2、过抛物线标准方程y2=2px(p0)的焦点，作垂直于抛物线对 称轴的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=_. 【解析】抛物线标准方程是y2=2px(p0)，焦点坐标是 把 代入抛物线标准方程得y=p，则|AB|=2p. 答案：2p,抛物线与椭圆及双曲线的几何性质的区别 （1）抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别较大它的离心率为1，是一个定值，有一个焦点，一个顶点，一条准线，一条对称轴，没有中心，学习中要注意区分、比较记忆对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能作出图形，会利用图形分析性质.,（2）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率
3、接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率. （3）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线.,焦半径问题 【技法点拨】 抛物线的焦半径 (1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线段.,(2)抛物线的焦半径公式 抛物线y2=2px(p0), 抛物线y2=-2px(p0)， 抛物线x2=2py(p0), 抛物线x2=-2py(p0)，,【典例训练】 1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M是抛 物线上的动点，则 的最大值为_. 2.已知抛物线C:y2=2px(p0)上横坐标为4的点到焦点
4、的距离为 7，则抛物线C的方程为_.,【解析】1.设M（x0,y0），则令t=1时,t1时，方程有解0，当x0=1时, 的最大值为 答案：,2.依题意得： 解得p=6. 所以抛物线方程为y2=12x. 答案：y2=12x,【想一想】解答题2的关键点是什么？ 提示：解答题2的关键点是利用焦半径公式求出未知数，进而解决其他问题.,【变式训练】已知抛物线C：x2=2py(p0)上一点A(m,4)到其 焦点的距离为5.求p与m的值. 【解析】由抛物线方程得其准线方程： 根据抛物线定 义，点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即 解得p=2， 抛物线方程为x2=4y，将A(m,4)代入抛物线方程
5、，解得m=4. 综上，p=2，m=4.,焦点弦问题 【技法点拨】 抛物线的焦点弦 如图，AB是抛物线y2=2px(p0)过焦 点F的一条弦，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.,y,l,x,A,A1,M,M1,B1,F,O,B,|AB|=x1+x2+p； |AB|=2x0+p； AB垂直于对称轴时，AB叫通径，焦点弦中通径最短； A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 以AB为直径的圆必与准线相切.,【典例训练】 1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物 线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=_. 2.过抛物线
6、y2=10x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，则_.,【解析】1.由题意可知过焦点的直线方程为 联立有答案： 2,2.过A、B作准线的垂线，垂足分别为A、B， 设A(x1,y1), B(x2,y2)，则根据抛物线定义知 |BB|=,抛物线y2=10x，p=5，答案:,【互动探究】把题2抛物线解析式换为y2=x，则 _. 【解析】由于y2=x，则 所以 答案：4,【归纳】解答题1的关键及解答题2时的突破口. 提示：（1）解答题1的关键是设出直线的方程与抛物线的方程联立方程组. （2）解答题2的突破口是把|AF|与|BF|用焦半径公式表示进而进行化简.,【变式训练】(2012泉州高二检测)过抛物
7、线y2=6x的焦点作 直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2=4,则AB 的长是( ) （A）9 （B）7 （C）5 （D）4 【解析】选B.设y2=6x焦点为F.根据抛物线定义可知p=3,|AB|=,综合题 【技法点拨】 抛物线中恒过点问题 （1）过抛物线y2=2px（p0）的顶点任作两条互相垂直的线OA、OB，则直线AB恒过定点（2p，0）. （2）解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要考虑直线斜率不存在的情形.,【典例训练】 1.设点A和点B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动 点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示 什么曲线
8、. 2.一个正三角形顶点都在抛物线上（抛物线的顶点在原点，对 称轴是坐标轴），其中一个顶点在原点，三角形的面积是 求抛物线的方程.,【解析】1.如图 由OAOB，可知AB过定点N（4p，0）.于 是设M（x，y），当AB与x轴不垂直时， 由KOMKAB=-1可知 即 （x-2p）2+y2=4p2，当ABx轴时，点M与点N重合，也满足方程 点M的轨迹方程是（x-2p）2+y2=4p2（x0)，它表示以点 （2p，0）为圆心，半径长为2p的圆（去掉坐标原点）.,2.若抛物线的焦点在x轴正半轴上，如图，点A与点B关于x轴对称，设正三角形的边长为a，则SAOB=解得 则A的横坐标是 纵坐标是,设抛物线
9、的标准方程为y2=2px(p0)，点A在抛物线上，则解得p=1， 抛物线的标准方程是y2=2x. 同理可知，抛物线的标准方程还可以是y2=-2x,x2=2y,x2=-2y.,【规范解答】抛物线的性质在求最值中的应用 【典例】（12分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x-y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|+|PB|的最小值.,【解题指导】,【规范解答】如图，延长PA交准线l于A，焦点F（1，0），2分,|PA|+|PB|=|PA|-1+|PB| =|PF|+|PB|-1.6分 当F，P,B共线时，|PA|+|PB|最小，即转化为F到x-y+4=0的 距离减去1.
10、 此时 8分 |PA|+|PB|的最小值为 11分 综上所述，|PA|+|PB|最小值为 .12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,【规范训练】（12分）在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F的距离与到定点A(2,3)的距离之和最小. 【解题设问】点A(2,3)在抛物线的内部还是外部? _,外部,【规范答题】y2=2x， 焦点的坐标为 2分 A(2,3)， 点A在抛物线的外部.4分 连接AF交抛物线于点P,点P就是所求的点. 直线AF的方程是y=2x-1,6分 与抛物线联立得方程组,解得 8分 由于点P在线段AF上（不含A
11、，F点），P点的坐标是 10分 综上，P点的坐标是 12分,1.顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离是3，抛 物线的标准方程是( ) (A)y2=12x (B)y2=-12x或x2=12y (C)x2=12y (D)y2=12x或y2=-12x 【解析】选D.由条件知： 解得p=6，焦点在x轴的抛物线开 口向右或向左，所以抛物线标准方程是y2=12x或y2=-12x，故 选D.,2.设AB为过抛物线y2=2px（p0）的焦点的弦，则|AB|的最小 值为( ) （A） （B）p （C）2p （D）无法确定 【解析】选C.由抛物线定义可求得，垂直于对称轴的通径最 短，即当 y=p时,|A
12、B|min=2p.,3.方程(3-m)y2=(m-1)x表示抛物线，其中m不能为( ) （A）1 （B）3 （C）1或3 （D）1且3 【解析】选D.由条件知 解得m3且m1，故选D.,4.过抛物线x2=-4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B 两点，O为抛物线的顶点，则OAB的面积是_. 【解析】由抛物线方程可知|AB|=2p=4，|OF|=1， 所以OAB的面积为 答案：2,5.过抛物线y2=8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值. 【解析】由抛物线y2=8x知，p=4. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据抛物线定义知：,x1+x2=|AB|-p. 由条件知 则x1+x2=6, |AB|-p=6, 又p=4,|AB|=10. 综上，|AB|的值是10.,
