1、第一部分 考点研究,第六单元 圆,第25课时 圆的基本性质,考点特训营,圆的基本性质,与圆有关的概念 性质 弧、弦、圆心角的关系 垂径定理及其推论 圆周角定理及其推论 正多边形与圆,与圆有关的概念,圆心角:顶点在圆心的角,如BOC,AOC 圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,如BAC 弦:连接圆上任意两点所得的线段,如AC, 经过圆心的弦叫做直径,如AB 圆弧:圆上任意两点间的部分,如 ,图1,性质,圆的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形,任何一条_所在的直线都是它的对称轴, _是它的对称中心 圆具有旋转不变性：围绕它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合,直径,圆心,弧、弦、
2、圆心角的关系,圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也 _ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 它们所对应的其余各对量都相等,相等,相等,垂径 定理 及其 推论,定理：垂直于弦的直径_弦，并且平分弦所对的弧,推论,推论,1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 2.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦,延伸,1.弦的垂直平分线经过_， 并且平分弦所对的两条弧 2.平分弦所对的一条弧的直径 _ 弦，并且平分弦所对的另一条弧,图2,平分,圆心,垂直于,垂径 定理 及其 推论,推论,与垂径定理有关的辅助线：连接半径
3、、作弦心距，构造直角三角形求解 总结：根据圆的对称性，如图2，在以下五个结论中：（1） _；（2） = _ ； （3）AE= _ ；（4）AB _ ； （5）CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三,BE,CD,圆周 角定 理及 其推 论,定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的 _,如图3，BAC= _BOC 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是直径.如图3，ADB=ACB=90，在圆中，一般会连接过直径端点的弦，构造直角三角形或构造直径所对的圆周角,图3,一半,直角,圆周 角定 理及 其推 论,推论2：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
4、_,如图3，BAC= _，BCD= _,ABD= _, ABC= _ 温馨提示：一条弦对着两条弧，对着两个圆周角且这两个圆周角互补;一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角,相等,BDC,BAD,ACD,ADC,正 多 边 形 与 圆,圆内接四边形的性质,1.圆内接四边形的对角 _,如图4，A+BCD= _, B+D= _ 2.圆内接四边形的任意一个角的外角 等于它的 _，如图4，DCE= _,图4,正多边形和的关系圆,如图5，设正n边形的边长为a，则边心距r= ; 正多边形的周长L=na;正多边形的面积S Lr= nar;中心角,图5,互补,180,180,内对角,A,重难点突破,一、 垂
5、径定理及其推论 练习1 如图，O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是( ) A. 3OM5 B. 4OM5 C. 3OM5 D. 4OM5,练习1题图,【解析】如解图，连接OA，作OMAB于M，O的直径为10，OM的最大值为半径5.OMAB于M，AMBM，AB6，AM3，在RtAOM中，OM 4，此时OM最短，所以OM的长的取值范围是4OM5.,练习1题解图,练习2 如图，点D、E分别是O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若O的半径为2，则DE的长等于( ) A. B. C. 1 D .,练习2题图,【解析】如解图所示，连接OB、OC，过点
6、O作BC的垂线，交BC于点H.BOC2BAC120，由垂径定理知，OH垂直平分BC，在RtBOH中，BOH60，OB2，则BH ，BC2 ，DE是ABC的中位线，则DE BC .,练习2题解图,二、圆周角定理及推论 例 如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CDBD，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF. (1)求证：EC；,例题图,【思维教练】要证EC，根据同弧所对的圆周角相等可得到EB，连接AD，由直径AB所对的圆周角为90可得ADBC，而CDBD，利用等腰三角形三线合一性质得到BC，从而得证 【自主作答】,(1)证明：如解图，连接AD， AB
7、是O的直径， ADB90，即ADBC， CDBD，AD垂直平分BC， ABAC， BC， 又BE， EC；,例题解图,(2)若DF12，cosE ，E是 的中点，求DE的长 【思维教练】由圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得，CFDB，利用(1)中BC及等角对等边转化得到DFCD，再根据cosE 的相应线段在RtABD中通过解直角三角形求出AD，最后结合E是的 中点求解DE. 【自主作答】,解：如解图，连接OE，过点AGDE于点G， CFDAEDC， FDCDBD12， cosAEDcosB ， AB20， AD 16，,E是的 中点，AB是O的直径， AOE90， AOOE10，AE
8、10， E是的中点， ADEBDE45， DGAGADsin4516 8，EG 6 ， DEDGGE14 .,练习3 如图，在平面直角坐标系中，ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是的中点，连接PA，PB，PC. (1)如图，若BPC60，求证：ACAP； (2)如图，若sinBPC ，求tanPAB的值,练习3题图,(1)证明： ， BACBPC60， 又ABAC， ABC为等边三角形，ACB60， 点P是的 中点， ， ACPBCP30，,又APCABC60， APC为直角三角形，PAC90， tanAPC ， ACAPtan60 AP；,(2)解：如解图，连接AO并延长交BC于F，交PC于E，过点E作EGAC于G，连接OC， ABAC，AFBC，BFCF， 点P是 中点， ACPPCB，EGEF， BPCBACFOC， sinFOCsinBPC ，,练习3题解图,设FC24a，则OCOA25a， OF7a，AF25a7a32a， 在RtAFC中，AC2AF2FC2，AC40a， EAGCAF，AGEAFC90， AEGACF， ，即 ，,解得EG12a， 在RtCEF中，tanECF ， PABBCP， tanPABtanPCB .,
