1、,第二篇 材料力学,工程力学(静力学与材料力学),拉压杆件的应力变形分析 与强度设计,第二篇 材料力学,工程力学 ( 静力学与材料力学),第6章,返回总目录,拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。,本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能以及强度设计，目的是使读者对弹性静力学有一个初步的、比较全面了解。,第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 结论与讨论,返回总目录,第
2、6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计,返回首页, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,返回总目录,第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。,一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。,由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,此外，起吊重物的钢索、桥梁
3、桁架结构中的杆件等，也都是承受拉伸或压缩的杆件。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,斜拉桥承受拉力的钢缆, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 应力计算, 变形计算, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 例题, 应力计算, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为,其中FNx横截面上的轴力，由截面法求得；A横截面面积。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 变形计算,
4、 拉伸与压缩杆件的应力与变形,设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l十l，其中l为杆的伸长量。,实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l与杆所承受的轴向载荷成正比。,写成关系式为,绝对变形 弹性模量, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件的拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式中“”号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。,绝对变形 弹性模量, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,当
5、拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：,绝对变形 弹性模量, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，用 x 表示。,相对变形 正应变, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。,对于各处变形不均匀的情形，,必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,这时,可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力
6、与正应变之间的关系都是相同的。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,横向变形与泊松比,杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。,实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与横向应变y之间存在下列关系：,为材料的另一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。泊松比为无量纲量。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 例 题,例题1,变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB10102 mm2，BC段杆的横截面面积ABC5102 mm2；FP60 k
7、N；铜的弹性模量Ec100 GPa，钢的弹性模量Es210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。,试求：1直杆横截面上的绝对值最大的正应力； 2直杆的总变形量, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,解：1 作轴力图由于直杆上作用有4个轴向载荷，而且AB段与BC段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。,应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为：,FNAD2FP 120 kN；FNDEFNEBFP 60 kN；FNBCFP60 kN。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,2计算直杆横截面
8、上绝对值最大的正应力,横截面上绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值最大的横截面，或者横截面面积最小的横截面上。本例中，AD段轴力最大；BC段横截面面积最小。所以，最大正应力将发生在这两段杆的横截面上：,3计算直杆的总变形量,直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和。 ：,上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,例 题 2,三角架结构尺寸及受力如图示。其中FP22.2 kN；钢杆BD的直径dl254 mm；钢梁CD的横截面面积A22.32103 mm2。,试求：杆BD与CD的横截面上的正应力。, 拉伸与压缩杆
9、件的应力与变形,首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD均为二力构件。由平衡方程,解：1受力分析，确定各杆的轴力, 拉伸与压缩杆件的应力与变形,其中负号表示压力。,解：1受力分析，确定各杆的轴力,2计算各杆的应力应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为：, 拉伸与压缩杆件的应力与变形, 拉伸与压缩杆件的强度设计,第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计,返回首页,返回总目录, 强度设计准则、安全因数与许用应力, 三类强度计算问题, 强度设计准则应用举例, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 强度设计准则、安全因数与许用应力, 拉
10、伸与压缩杆件的强度设计,所谓强度设计(strength design)是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足：,这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则(criterion for strength design)，又称为强度条件。其中称为许用应力(allowable stress)，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式确定,式中为材料的极限应力或危险应力(critical stress)，由材料的拉伸实验确定；n为安全因数，对于不同的机器或结构，在
11、相应的设计规范中都有不同的规定。, 拉伸与压缩杆件的强度设计,强度计算的依据是强度设计准则或强度条件。据此，可以解决三类强度问题。, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 三类强度计算问题, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 强度核核已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力，校核杆件或结构的强度是否安全，也就是验证设计准则是否满足。如果满足，则杆件或结构的强度是安全的；否则，是不安全的。, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 强度设计已知杆件的受力大小以及许用应力，根据设计准则，计算所需要的杆件横截面面积，进而设计处出合理的横截面尺寸。,式中FN和A分别为产生最大正应力的横截面上的轴力和面积。, 拉伸与压缩杆件的强度
12、设计, 确定许可载荷(allowable load)根据设计准则，确定杆件或结构所能承受的最大轴力，进而求得所能承受的外加载荷。,式中为FP许用载荷。, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 强度设计准则应用举例, 拉伸与压缩杆件的强度设计,螺纹内径d15 mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP20 kN。若已知螺栓的许用应力 150 MPa，,试：校核螺栓的强度是否安全。,例 题 3,解：1 确定螺栓所受轴力,应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力：FNFP20 kN,2 计算螺栓横截面上的正应力,根据拉伸与压缩杆件横截面上的正应力公式，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力, 拉伸与压缩杆件的
13、强度设计,3 应用确定设计准则进行确定校核,已知许用应力 150 MPa，而上述计算结果表明螺栓横截面上的实际应力,所以，螺栓的强度是安全的。, 拉伸与压缩杆件的强度设计,例题4,可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车中斜拉杆AC由两根50 mm50 mm5 mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力 150 Maa。当行走小车位于A点时(小车的两个轮子之间的距离很小，小车作用在横梁上的力可以看作是作用在A点的集中力)，杆和梁的自重忽略不计。,求：允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。, 拉伸与压缩杆件的强度设计,解：1受力分析,因
14、为所要求的小车在A点时所能起吊的最大重量，这种情形下，AB梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接。因而，可以得到吊车的计算模型。其中AB和 AC都是二力杆，二者分别承受压缩和拉伸。, 拉伸与压缩杆件的强度设计,解：2确定二杆的轴力,以节点A为研究对象，并设AB和AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。根据节点A的受力图，由平衡条件, 拉伸与压缩杆件的强度设计,解：3 确定最大起吊重量,对于AB杆，由型钢表查得单根10号槽钢的横截面面积为12.74 cm2，注意到AB杆由两根槽钢组成，因此，杆横截面上的正应力,将其代入强度设计准则，得到, 拉伸与压缩杆件的强度设计,解：3 确定最大起吊重量
15、,由此解出保证AB杆强度安全所能承受的最大起吊重量, 拉伸与压缩杆件的强度设计,将其代入强度设计准则，得到,由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量,对于AC杆,解：3 确定最大起吊重量, 拉伸与压缩杆件的强度设计,解：3 确定最大起吊重量,为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大重量，应取上述FW1和FW2中较小者。于是，吊车的最大起吊重量:,FW57.6 kN, 拉伸与压缩杆件的强度设计,4本例讨论,其中为单根槽钢的横截面面积。,根据以上分析，在最大起吊重量FW57.6 kN的情形下，显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计A
16、B杆的横截面尺寸。根据强度设计准则，有, 拉伸与压缩杆件的强度设计,其中为单根槽钢的横截面面积。,4本例讨论,由型钢表可以查得，5号槽钢即可满足这一要求。,这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与结构安全的前提下，最经济合理的设计。, 拉伸与压缩杆件的强度设计, 拉伸与压缩时材料的力学性能,第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计,返回首页,返回总目录, 拉伸与压缩时材料的力学性能,强度设计准则中的许用应力,其中0为材料的极限应力或危险应力。所谓危险应力介绍材料发生强度失效时的应力。这种应力不是通过计算，而是通过材料的拉伸实验得到的。,通过拉伸实验一方面可以观察到材料发生强度失效的现象，
17、另一方面可以得到材料失效时的应力值。, 材料拉伸时的应力一应变曲线, 韧性材料拉伸时的力学性能, 脆性材料拉伸时的力学性能, 强度失效概念与失效应力, 压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 材料拉伸时的应力一应变曲线, 拉伸与压缩时材料的力学性能,进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力一应变曲线(stress-strain curve)。,不同的材料，其应力一应变曲线有很大的差异
18、。, 拉伸与压缩时材料的力学性能,为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验（tensile test,compression test）。,试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。, 拉伸与压缩时材料的力学性能,脆性材料拉伸时的应力应变曲线, 拉伸与压缩时材料的力学性能,韧性金属材料材料拉伸时的应力应变曲线, 拉伸与压缩时材料的力学性能,工程塑料拉伸时的应力应变曲线, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 韧性材料拉伸时的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 弹性模量应力一应变曲
19、线中的直线段称为线弹性阶段，。弹性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量E。对于大多数脆性材料，其应力应变曲线上没有明显的直线段，铸铁的应力应变曲线即属此例。因为没有明显的直线部分，常用割线的斜率作为这类材料的弹性模量，称为割线模量。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 比例极限与弹性极限应力一应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比例极限(proportional limit)，用表示。线弹性阶段之后，应力应变曲线上有一小段微弯的曲线，这表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系，但是，如果在这一阶段，卸去试样上的载荷，试样的变形将随之消失。这表明这一阶段内的变形都是弹性变形
20、，因而包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限(elastic limit)，用表示。大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量才能加以区分。, 拉伸与压缩时材料的力学性能,p 比例极限,e 弹性极限, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 屈服应力许多韧性材料的应力一应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服(yield)，例如图610中所示曲线的BC段。这一阶段曲线的最低点的应力值称为屈服应力或屈服强度(yield stress)，用表示。对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生0.2塑
21、性应变时的应力值为其屈服应力，称为材料的条件屈服应力(offset yield stress)，用表示。, 拉伸与压缩时材料的力学性能,s 屈服强度, 拉伸与压缩时材料的力学性能,0.2,条件屈服应力 塑性应变 等于0.2 时的应力值, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 强度极限应力超过屈服应力或条件屈服应力后，要使试样继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化(strengthening)阶段。这一阶段应力的最高限称为强度极限(strength limit)，用表示。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 颈缩与断裂 某些韧性材料(例如低碳钢和铜)，应力超过强度极限以
22、后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩(neck)。出现颈缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力一应变曲线出现下降阶段，直至试样被拉断。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能,通过拉伸试验还可得到衡量材料韧性性能的指标一延伸率和截面收缩率,其中，l0为试样原长（规定的标距）；A0为试样的初始横截面面积；l1和A1分别为试样拉断后长度(变形后的标距长度)和断口处最小的横截面面积。,延伸率和截面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越好。工程中一般认为5者为韧性材料； 5者为脆性材料。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 脆性材料拉伸时的力学性能,
23、 拉伸与压缩时材料的力学性能,对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力应变曲线上，都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象，因而只有断裂时的应力值强度极限。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 强度失效概念与失效应力, 拉伸与压缩时材料的力学性能,强度指标(失效应力),韧性材料,0S,脆性材料,0b,脆性材料,韧性金属材料, 拉伸与压缩时材料的力学性能,如果构件发生断裂，将完全丧失正常功能，这是强度失效的一种最明显的形式。如果构件没有发生断裂而是产生明显的塑性变形，这在很多工程中都是不允许的，因此，
24、当发生屈服，产生明显塑性变形时，也是失效。根据拉伸实验过程中观察的现象，强度失效的形式可以归纳为,韧性材料的强度失效屈服与断裂；脆性材料的强度失效断裂。, 拉伸与压缩时材料的力学性能,因此，发生屈服和断裂时的应力，就是失效应力(failure stress)，也就是强度设计中的危险应力。韧性材料与脆性材料的强度失效应力分别为：,韧性材料的强度失效应力屈服强度(或条件屈服强度)、强度极限;,脆性材料的强度失效应力强度极限。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能,材料压缩实验，通常采用短试样。低碳钢压缩时的应力一应变曲线。与拉伸时的应力一应变曲线相比较
25、，拉伸和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉伸、压缩时的弹性模量及屈服应力相同，但屈服后，由于试样愈压愈扁，应力一应变曲线不断上升，试样不会发生破坏。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能,铸铁压缩时的应力一应变曲线，与拉伸时的应力一应变曲线不同的是，压缩时的强度极限氏却远远大于拉伸时的数值，通常是拉伸强度极限的45倍。对于拉伸和压缩强度极限不等的材料，拉伸强度极限和压缩强度极限分别用和表示。这种压缩强度极限明显高于拉伸强度极限的脆性材料，通常用于制作受压构件。, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 拉伸与压缩时材料的力学性能, 结论与讨论,第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计,
26、返回首页,返回总目录, 结论与讨论, 本章的主要结论, 应力和变形公式的应用条件, 关于加力点附近区域的应力分布, 关于应力集中的概念, 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力, 卸载、再加载时的力学行为, 拉伸和压缩超静定问题简述, 本章的主要结论, 结论与讨论,通过拉、压构件的强度分析与计算，可以看出，材料力学分析问题的思路和方法与刚体静力学相比，除了受力分析与平衡方法的应用方面有共同之处以外，还具有自身的特点：, 一方面不仅要应用平衡原理和平衡方法，确定构件所受的外力，而且要应用截面法确定构件内力；不仅要根据平衡确定内力，而且要根据变形的特点确定横截面上的应力分布，建立计算各点应力的表达式。, 另
27、一方面还要通过实验确定材料的力学性能，了解材料何时发生失效，进而建立保证构件安全、可靠工作的设计准则。, 结论与讨论, 对于承受拉伸和压缩的杆件，由于变形的均匀性， 因而比较容易推知杆件横截面上的正应力均匀分布。对于承受其他变形形式的杆件，同样需要根据变形推知横截面上的应力分布，只不过分析过程要复杂一些。, 此外，对于承受拉伸和压缩杆件，直接通过实验就可以建立失效判据，进而建立设计准则。在以后的分析中，将会看到材料在一般受力与变形形式下的失效判据，是无法直接通过实验建立的。但是，轴向拉伸的实验结果，仍然是建立材料在一般受力与变形形式下失效判据的重要依据。, 结论与讨论, 应力和变形公式的应用条
28、件, 结论与讨论,本章得到了承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式与变形公式,其中，正应力公式只有杆件沿轴向方向均匀变形时，才是适用的。怎样从受力或内力判断杆件沿轴向方向均匀变形是均匀的呢？, 结论与讨论,哪些横截面上的正应力可以应用拉伸应力公式计算？哪些横截面则不能应用。, 结论与讨论,对于变形公式,应用时有两点必须注意：,是因为导出这一公式时应用了胡克定律，因此，只有杆件在弹性范围内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；,是公式中的FNx为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时FNx才等于外力FP。,当杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形然后按代数值相加。,
29、结论与讨论,读者还可以思考：为什么变形公式只适用于弹性范围，而正应力公式就没有弹性范围的限制呢？, 结论与讨论, 关于加力点附近区域的应力分布, 结论与讨论,前面已经提到拉伸和压缩时的正应力公式，只有在杆件沿轴线方向的变形均匀时，横截面上正应力均匀分布才是正确的。因此，对杆件端部的加载方式有一定的要求。,当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。, 结论与讨论,当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公
30、式不是对杆件上的所有横截面都适用。, 结论与讨论,圣维南原理（Saint-Venant principle）：如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。, 结论与讨论, 关于应力集中的概念, 结论与讨论,几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中（stress concentration）。, 结论与讨论,应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应力)之比，称为应力集中因数(factor of stress concentration)，用K表示：, 结论与讨论, 拉伸与压缩
31、杆件斜截面上的应力, 结论与讨论,考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和一斜置小方格,受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的剪应力有关。, 结论与讨论,为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总内力, 结论与讨论,力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ, 结论与讨论,FN和FQ分别由
32、整个斜截面上的正应力和剪应力所组成。, 结论与讨论,在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面上的正应力和剪应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应力和剪应力分别为,其中，x为杆横截面上的正应力;A 为斜截面面积, 结论与讨论,拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的微元而求得。,以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力x 。, 结论与讨论,将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力和剪应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。,根据平衡方程,有,据此可以得到与前面完全相同的结果
33、。, 结论与讨论,上述结果表明，杆件承受拉伸或压缩时，横截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有剪应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的正应力和剪应力各不相同。, 结论与讨论,在0的截面（即横截面）上， 取最大值，即,在45的斜截面上， 取最大值，即,在这一斜截面上，除剪应力外，还存在正应力，其值为, 结论与讨论,由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力，实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此，当论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面上的应力。, 结论与讨论, 卸载、再加载时的力学行为, 结论与讨论, 结论与讨论, 结论与讨论,卸载再加载曲线与原来的应力一应变曲线比较(图中曲线OAK
34、DE上的虚线所示)，可以看出：K点的应力数值远远高于A点的应力数值，即比例极限有所提高；而断裂时的塑性变形却有所降低。这种现象称为应变硬化。工程上常利用应变硬化来提高某些构件在弹性范围内的承载能力。, 结论与讨论, 拉伸和压缩超静定问题简述, 结论与讨论,作用在杆件上的外力或杆件横截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定，这类问题称为静定问题。,工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满足构造及其它工程技术要求，常常在静定结构中再附加某些约束（包括添加杆件）。这时，由于未知力的个数多于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程使无法确定全部未知力。这类问题称为静不定问题。
35、, 结论与讨论,未知力个数与独立的平衡方程数之差，称为静不定次数(degree of statically indeterminate problem)。在静定结构上附加的约束称为多余约束(redundant constraint)，这种“多余”只是对保证结构的平衡与几何不变性而言的，对于提高结构的强度、刚度则是需要的。,关于静定与静不定问题的概念，本书在第3章中曾经作过简单介绍。但是，由于那时所涉及是刚体模型，所以无法求解静不定问题。现在，研究了拉伸和压缩杆件的受力与变形后，通过变形体模型，就可以求解静不定问题。, 结论与讨论,多余约束使结构由静定变为静不定，问题由静力平衡可解变为静力平衡不
36、可解，这只是问题的一方面。问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求解静不定问题提供了补充条件。, 结论与讨论,因此，求解静不定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形协调关系或变形协调条件 (compatibility relations of deformation)，进而根据弹性范围内的力和变形之间关系（胡克定律），即物理条件，建立补充方程。总之，求解静不定问题需要综合考察平衡、变形和物理三方面，这是分析静不定问题的基
37、本方法。现举例说明求解静不定问题的一般过程以及静不定结构的特性。, 结论与讨论,两端固定的等截面直杆，杆件沿轴线方向承受一对大小相等、方向相反的集中力，假设杆件的拉伸与约束刚度为EA，其中E为材料的弹性模量，A为杆件的横截面面积。要求各段杆横截面上的轴力，并画出轴力图。, 结论与讨论,首先，分析约束力，判断静不定次数。在轴向载荷的作用下，固定端A、B二处各有一个沿杆件轴线方向的约束力FA 和FB ，独立的平衡方程只有一个,因此，静不定次数n211次。所以除了平衡方程外还需要一个补充方程。, 结论与讨论,其次，为了建立补充方程，需要先建立变形协调方程。杆件在载荷与约束力作用下，AC、CD、DB等
38、3段都要发生轴向变形，但是，由于两端都是固定端，杆件的总的轴向变形量必须等于零：,这就是变形协调条件。, 结论与讨论,根据胡克定律，杆件各段的轴力与变形的关系：,此即物理方程。,应用截面法,上式中的轴力分别为 FNACFA (压) ，FNCDFNFA (拉) ，FNDBFB(压), 结论与讨论,最后将上述各式联立，即可解出两固定端的约束力：,FNACFA (压) ， FNCDFNFA (拉) ， FNDBFB(压), 结论与讨论,将上述各式联立，即可解出两固定端的约束力：,据此即可求得直杆各段的轴力，画出直杆的轴力图。, 结论与讨论,最后请大家从平衡或变形协调两方面分析这些图中的轴力图为什么是不正确的？, 结论与讨论,谢 谢 大 家,返回首页,返回总目录,
