1、1 Eulers Method,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,1 Eulers Method,梯形公式 /* trapezoid formula */, 显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差 ，即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式
2、，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式 /* midpoint formula */,假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 /* double-step method */，而前面的三种算法都是单步法 /* single-step method */。,1 Eulers Method,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,改进欧拉法 /* modified Eulers method */,注：此法亦称为预测-校正
3、法 /* predictor-corrector method */。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,1 Eulers Method,2 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */,建立高精度的单步递推格式,单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,2 R
4、unge-Kutta Method,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开,Step 2: 将 K2 代入第1式，得到,2 Runge-Kutta Method,Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数， 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注意到， 就是改进的欧拉法。,Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i ( i = 1, ,
5、 m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,2 Runge-Kutta Method,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：,2 Runge-Kutta Method, 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,HW: p.202 #1, 2,3 收敛性与稳定性 /* Convergency and Stability */,收敛性
6、/* Convergency */,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x = xi = i h ，有,3 Convergency and Stability,稳定性 /* Stability */,例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.00004.0000 8.00001.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500
7、 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,3 Convergency and Stability,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程 /* test equation */,常数，可以是复数,3 Convergency and Stability,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,3 Convergency and Stability,例：隐式龙格-库塔法,而显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为
8、,其中2阶方法 的绝对稳定区域为,无条件稳定,HW: p.202 #6,4 线性多步法 /* Multistep Method */,(1) 基于泰勒展开的构造法,(2) 基于数值积分的构造法,将 在 上积分，得到,只要近似地算出右边的积分 ，则可通过 近似y(xi+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。,4 Multistep Method,亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */,利用k+1 个节点上的被积函数值 构造 k 阶牛顿后插多项式 , 有,Newton 插值余项,/* 显式计算公式 */,局部截断误差为：,例：k=1 时有,4
9、Multistep Method,注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , , fik 各项的系数均可查表得到 。,Misprint on p.204,常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式,4 Multistep Method,亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */,常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式,小于Bk,较同阶显式稳定,4 Multistep Method,亚当姆斯预测-校正系统 /* Adams predictor-corrector system */,Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个
10、初值；,Step 2: 用Adams 显式计算预测值；,Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。,注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta 法配合4阶Adams 公式。,4阶Adams隐式公式的截断误差为,Predicted value pi+1,Modified value mi+1,Corrected value ci+1,Modified final value yi+1,外推技术 /* extrapolation */,4 Multistep Method,Adams 4th-Order predictor-corrector Algorithm T
11、o approximate the the solution of the initial-value problemAt (N+1) equally spaced numbers in the interval a, b. Input: endpoints a, b; integer N; initial value y0 . Output: approximation y at the (N+1) values of x. Step 1 Set h = (b a) / N ; x0 = a; y0 = y0; Output ( x0, y0 ); Step 2 For i = 1, 2,
12、3Compute yi using classical Runge-Kutta method; Output ( xi , yi ); Step 3 For i = 4, , N do steps 4-10Step 5 ; /* predict */Step 6 ; /* modify */Step 7 ; /* correct */Step 8 ; /* modify the final value */Step 9 Output ( xi+1 , yi+1 );Step 10 For j = 0, 1, 2, 3Set xi = xi+1 ; yi = yi+1 ; /* Prepare for next iteration */ Step 11 STOP.,应为( ci+1 pi+1 ), 但因ci+1 尚未算出，只好用( ci pi )取代之。,
