1、8.4 线性多步法,数值分析,第八章 常微分方程数值解,8.5 收敛性与稳定性讨论,在前面所讨论的方法中,在计算 时只用到前一步 的信息(单步法)，为提高截断误差的阶，每个时间步必须增加计算右端函数 的次数。当 的结构比较复杂时，计算量较大。现在指出另一个提高截断误差阶的办法，即构造这样的方法: 在计算 公式中,充分利用前几步得到的信息 及，但每进一步，只计算一次 的值。这样的方法称为多步方法，若函数值 以线性组合的形式出现于公式中，则称方法为线性多步方法。,8.4 线性多步法,初值问题:,-(1),称为Euler二步法.,1. (l 步) 线性多步法的一般格式为：,-(2),当 1 0 时，
2、为隐式公式; 1 = 0 则为显式公式。,-(3),2. 线性多步方法的构造,构造多步法有多种途径，常用的有基于Taylor展开 的构造方法(待定系数法)和基于数值积分的构造方法。,根据公式要达到的精度(p 阶),即 ,确定,基于Taylor展开的构造方法:,具体做法:,(参考 P314 例9.5.1),3. 几个重要的线性多步法,Adams(阿当姆斯)方法, Milne(米纳)方法, Hamming(哈明)方法, Simpson(辛普生)方法.,多步方法的特点：(1) 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2) 多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组
3、合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。,8.5 收敛性与稳定性分析,用上式的差分方程来逼近微分方程的初值问题是否 合理,就要看差分方程的解是否收敛到初值问题的 精确解.,-(1),定义8.5.1,方法收敛的条件,( P310 例9.4.1: 板书 ),单步法的稳定性,我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算 步骤无误差。,设,是初值有误差后的计算值，则,则对于显式 Euler 公式,可以看出，当初始误差充分小，以后各步的误差也充分小。,有：,例子：,- (2),试验方程：,(其中 ),定义,( P311 例9.4.2:并考虑 为负实数情形 板书 ),1. Euler公式,2. 隐式Euler公式,(并考虑 为负实数情形 板书 ),3. 梯形方法,(并考虑 为负实数情形 板书 ),4. 经典 Runge-Kutta方法 （可略）,于是,习题 9.2、9.4、9.8、9.10、9.11、9.13、9.15、9.16、9.17(3)、9.18,Over!,
