1、6.4 线性多步法,一、线性多步公式的导出,二、常用的线性多步公式,利用数值积分方法求线性多步公式,例6.5 分别取 h=0.2，2，用四阶显式 Milne公式和四阶隐式 Hamming公式 求解初值问题。解 我们用单步法提供多步法的初值。由4阶经典R-K公式为Milne公式提 供初值 ，为 Hamming公式提供 。h=0.2和h=2时的 计算结果及准确解之间的误差分别列于表6-9和表6-10。从表6-9看出，两种多步法的计算精度都很高，Hamming公式化比 Milne公 式更精确。这是因为 Hamming公式的截断误差主项的系数比 Milne公式小。从 表6-10看到，当计算步长变大后，
2、显式多步法 Milne公式的计算结果误差增大， 不稳定，而隐式多步法 Hamming公式的计算结果仍然是稳定的，这说明隐式公 式的稳定性比同阶的显式公式好。,表6-9,表 6-10,经典R-K法和上述四阶线性多步法公式都是四阶精度，但每前进一步，前 者要计算4次微分方程右端方程，而后者只要计算一次新的右端函数值，计算 量减小了。,三、预测校正系统,用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预测校正系统。一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预测校正系统有两种：,用局部截断误差进一步修正预测校正公式,例6.6 取 h=0.2，用 Milne-Hammi
3、ng 预估-校正公式和修正 Hamming 公式求解初值问题解 用经典 R-K 法提供初值，计算结果列于表 6-11。将表 6-9 与表 6-11 所示的计算结果进行比较，它们的计算精度排列次序是：修正 Hamming 公 式的精度最好，其次是隐式 Hamming 公式，再次是 Milne-Hamming 预估- 校正公式，最后是 Milne 公式。,表6-11,6.5 一阶微分方程组的解法,一、一阶微分方程组,方程组的 R-K 法,二、化高阶方程为一阶方程组,6.6 边值问题的数值解法,因此，边值问题变成求合适的 ，使上述方程组初值问题的解满足原边值问题 的右端边界条件 ，从而得到边值问题的
4、解。这样，把一个两点边值问 题的数值解问题转化为一阶方程组初值问题的数值解问题。方程组初值问题的 所有数值方法在这里都可以使用。问题的关键是如何去找合适的初始斜率的试 探值 。对给定的 ，设初值问题（6.6.3）的解为 ，它是 的隐函数。 假设 随 是连续变化的，记为 ，于是我们要找的 就是方程,的根。可以用第2章的迭代法求上述方程的根。比如用割线法有,（6.6.5）,这样，可以按下面简单的计算过程进行求解。先给定两个初始斜率 ，分别作为初值问题（6.6.4）的初始条件。用一阶方程组的数值方法求解它们，分别得到区间右端点的函数的计算值 和 。如果 或 ，则以 或 作为两点边值问题的解。否则用割
5、线法（6.6.5）求 ，同理得到 ，再判断它是否满足精度要求 。如此重复，直到某个 满足 ，此时得到的 和 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程好比打靶， 作为斜率为子弹的发射， 为靶心，故称为打靶法。,为线性两点边值问题（6.6.2）的解。例 6.7 求解线性边值问题,的打靶法计算值 ，部分点上的计算值、精确值和误差列于表 6-12。,要求误差不超过 ，其解析解是 。解 对应于（6.6.4）的初值问题为,计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数 值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。,差分方法是解
6、边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（6.6.2）的差分法。将区间 分成 n 等分，子区间的 长度 ，分点 。由,6.6.2 差分方法,忽略余项，将差商分别代替（6.6.2）式中节点 处的一阶和二阶导数，实现离 散化。设 ，用 近似表示 ，建立 差分方程,这是一个三对角方程组。若 ，且步长满足 ，则方程组（6.6.8）的系 数矩阵是严格对角占优的。此时，方程组（6.6.8）的解存在惟一，用追赶法求解 此方程组时一定是数值稳定的，用 Jacobi迭代法求解此方程组时一定是收敛的。,其中 。因此，当 时，差分方
7、程的解收敛到微分方 程边值问题的解。在应用上，有时边界条件按以下方式给出：,若 ，则由常微分方程的理论得出，两 点边值问题（6.6.2）的解存在惟一。设 是差分问题（6.6.8），而 是边 值问题（6.6.2）的解 在节点 的值， ，则截断误差有下列 估计式,这里 均为已知常数。这时，边界条件中所包含的导数也要替换成 相应的差商：,其解析解是 。解 本题的 。取 ，由方程组（6.6.8）得,解此方程组得 。而解析解是。由于节点少，步长太大，所以计算精度差。 当 n=10 时， ，部分计算结果列于表 8-15。当 n=20 时，近似解误差的 最大绝对值不超过 。当 n=500 时，误差的最大绝对值不超过。因此，随着节点数的增加，精度提高。,对于非线性两点边值问题，其离散化后所得到的方程组是非线性的。 下面说明用有限差分求非线性边值问题（6.6.1）的数值解。区间划分与离 散化方法同线性情形，得到在 处的差分方程：,利用边界条件 ，将它们分别代入 k=1 和 k=n-1 的两个方程中， 并将已知量移到方程的右边，得到关于 的非线性方程组：,可以用非线性方程组迭代解法解此方程组。就差分方法而言，常微分方程的数值解法与偏微分方程的数值解法有着紧密的联系，有关内容可进一步参看偏微分方程数值解法的有关文献。,
