1、线性代数应用题集锦郑 波重庆文理学院数学与统计学院2011 年 10 月目 录案例一. 交通网络流量分析问题 1案例二. 配方问题 4案例三. 投入产出问题 6案例四. 平板的稳态温度分布问题 8案例五. CT 图像的代数重建问题 .10案例六. 平衡结构的梁受力计算 12案例七. 化学方程式配平问题 14案例八. 互付工资问题 16案例九. 平衡价格问题 18案例十. 电路设计问题 20案例十一. 平面图形的几何变换 22案例十二. 太空探测器轨道数据问题 24案例十三. 应用矩阵编制 Hill 密码 25案例十四. 显示器色彩制式转换问题 27案例十五. 人员流动问题 29案例十六. 金融
2、公司支付基金的流动 31案例十七. 选举问题 33案例十八. 简单的种群增长问题 34案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 36案例二十. 最值问题 38附录 数学实验报告模板 39这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了. 案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间
3、拥堵。图 1 某地交通实况图 2 某城市单行线示意图【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). 500 1 23 4400300100200300x1x2x3x4图 3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当 x4 = 350 时, 确定 x1, x2, x3 的值.(4) 若 x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理? 【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. 【模型建立】 根据
4、图 3 和上述假设, 在, , , 四个路口进出车辆数目分别满足500 = x1 + x2 400 + x1 = x4 + 300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组 1243501xx其增广矩阵(A, b) =10513 初 等 行 变 换 101063由此可得 142306x即. 142306x为了唯一确定未知流量, 只要增添 x4 统计的值即可. 当 x4 = 350 时, 确定 x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.若 x4 = 200, 则 x1 = 100, x2 = 400, x3 =
5、100 A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0; x = Ab Matlab 执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产 1.9966105 元的煤, 电厂要生产 1.8415105 元的电恰好满足需求. 【模型分析】令 x = , A = , b = , 其中 x 称为总产值列yz0.65312601向量, A 称为消耗系数矩阵, b 称为最终产品向量, 则Ax = =0.65312xyz0.6.5312yzx根据需求, 应该有 x Ax = b, 即(E A)x =
6、 b. 故 x = (E A)1b. Matlab 实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产 1 元的产品要消耗 0.25 元乙企业的产品和 0.25 元丙企业的产品 . 乙企业每生产 1 元的产品要消耗 0.65 元甲企业的产品, 0.05 元自产的产品和 0.05 元丙企业的产品. 丙企业每生产 1 元的产品要消耗 0.5 元甲企业的产品和 0.1 元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为 100 万元, 120 万元, 60 万元, 同时各自的固定资产折旧分别为 20 万元 , 5 万元和 5 万元. (1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗
7、和折旧后的新创价值. (2) 如果这三个企业接到外来订单分别为 50 万元, 60 万元, 40 万元, 那么他们各生产多少才能满足需求? 案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度. 图 8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图 9 所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周 8 个节点处的温度(单位C), 求中间 4 个点处的温度 T1, T2, T3, T4. T1 T2T3 T4100 80908060 506050图 9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略
8、垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143423(90)486()50TTTT【模型求解】将上述线性方程组整理得. 1234234190T在 Matlab 命令窗口输入以下命令 A = 4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4; b = 190;140;140;100; x = Ab; xMatlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见 T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3
9、 = 70.8333, T4 = 60.4167. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16. Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有 30 个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设 4 条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的 5倍, 例如学号为 16308209 的同学计算本题时, 选择 Tl = 40, Tu = 10, Tr = 0, Td = 45. TuT1T5TlTlTdT2T6T7T10 TrTrTuT26T
10、30TdT27TuTrTdTl图 10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组. (2) 用 Matlab 软件求解该线性方程组. (3) 用 Matlab 中的函数 mesh 绘制三维平板温度分布图. 案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到 3 维对象在 2 维平面上的投影 , CT 则通过不同角度的X 射线得到 3 维对象的多个 2 维投影, 并以此重建对象内部的 3 维图像. 代数重建方法就是从这些 2 维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部 3 维图像的方法.图 11 双层螺旋 CT 图 12 CT 图像这里我们考虑一个更简单的
11、模型, 从 2 维图像的 1 维投影重建原先的 2 维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以 33 图像为例来说明. 表 4 消耗与产出情况33 图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5竖直方向上的叠
12、加值x1 + x4 + x7 = 1.5x2 + x5 + x8 = 0.5x3 + x6 + x9 = 1.5每个网格中的数字 xi 代表其灰度值 , 范围在0, 1内. 0 表示白色, 1 表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有 6 个方程, 9 个未知数) 12345639x显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加 5 个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0, x3 + x5 + x7 = 1, x6
13、 + x8 = 0.5, x9 = 1, 和上面的 6 个方程放在一起构成一个含有 11 个方程, 9 个未知数的线性方程组. 【模型准备】设 33 图像中第一行 3 个点的灰度值依次为 x1, x2, x3, 第二行 3 个点的灰度值依次为 x4, x5, x6, 第三行 3 个点的灰度值依次为 x7, x8, x9. 沿竖直方向的叠加值依次为 1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为 1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为 1, 0, 1, 0.5, 1. 确定 x1, x2, , x9 的值. 【模型建立】由已知条件可得(含有 11 个方程, 9 个未知数的)
14、线性方程组1234569x【模型求解】在 Matlab 命令窗口输入以下命令 A = 1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1; b = 1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1; x = Ab; xMatlab 执行后得W
15、arning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0.5, x6 = 0.5, x7 = 0.5, x8 = 0, x9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定
16、方程组的近似解作为重建的图像数据. Matlab 实验题给定一个 33 图像的 2 个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为 0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为 0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6. (1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用 Matlab 求解. (2) 将网格数据乘以 256, 再取整, 用 Matlab 绘制该灰度图像. 案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情. 图 13 埃菲尔铁塔全景 图
17、14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图 15 所示的双杆系统中, 已知杆 1 重 G1 = 200 牛顿, 长 L1 = 2米, 与水平方向的夹角为 1 = /6, 杆 2 重 G2 = 100 牛顿, 长 L2 = 米, 与水平方向的夹角为 2 = /4. 三个铰接点 A, B, C 所在平面垂直于水平面. 求杆 1, 杆 2在铰接点处所受到的力.A BC杆 1 杆 2/6 /4图 15 双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图 16 所示. 【模型建立】对于杆 1:水平方向受到的合力为零, 故
18、N1 = N3, 竖直方向受到的合力为零, 故 N2 + N4 = G1, 以点 A 为支点的合力矩为零, 故(L 1sin1)N3 + (L1cos1)N4 = ( L1cos1)G1. 2A BC杆 1 杆 2CN1N2N4N3 N7N8N5N6G1 G2图 16 两杆受力情况对于杆 2 类似地有N5 = N7, N6 = N8 + G2, (L2sin2)N7 = (L2cos2)N8 + ( L2cos2)G2.1此外还有 N3 = N7, N4 = N8. 于是将上述 8 个等式联立起来得到关于 N1, N2, , N8 的线性方程组 : 1324180N【模型求解】在 Matlab
19、 命令窗口输入以下命令 G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4; A = 1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1; b = 0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0
20、.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0; x = Ab; xMatlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962 【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图 16 中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157- 158. Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有 13 条梁(图中标号的线段 )和 8 个铰接点(图中标
21、号的圈) 联结在一起. 其中 1 号铰接点完全固定, 8 号铰接点竖直方向固定, 并在 2 号, 5 号和 6 号铰接点上, 分别有图示的 10 吨, 15 吨和 20 吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是 45.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组. (2) 用 Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况. 图 17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成
22、物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式. 图 18 污水处理【模型准备】某厂废水中含 KCN, 其浓度为 650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应: KCN + 2KOH + Cl2 = KOCN + 2KCl + H2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式: KOCN + KOH + Cl2 = CO2 + N2 + KCl + H2O. (注: 题目摘自福建省厦门外国语学校 2008-2009 学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x1KOCN x2KOH x3Cl2 = x4CO2 x5N2 x6KCl x7H2O,则, 即162471
23、52736x124715273600x【模型求解】在 Matlab 命令窗口输入以下命令 A = 1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0; x = null(A,r); format rat, xMatlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T. 取 k = 2 得 x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T. 可见配平后的化学方程式如
24、下2KOCN + 4KOH + 3Cl2 = 2CO2 + N2 + 6KCl + 2H2O. 【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组 Ax = 中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数 s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数 n. 当 r(A) = n 1 时, Ax = 的基础解系中含有 1 个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数 k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为 2, 故取 k = 2. 当
25、 r(A) n 2 时, Ax = 的基础解系中含有 2 个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85. Matlab 实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4 K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O Al(OH)3+ CO 2+ Na 2SO4 案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过
26、程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工 , 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准. 图 19 农忙互助 图 20 装修互助【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作 10 天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工资一般的市价在 6080 元之间, (3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等. 表 5 工作天数在谁家 工人 木工 电工 油漆工木工家 2 1 6电工家 4 5 1油漆
27、工家 4 4 3求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班. 【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为 x, y, z 元, 则由下表表 6 各家应付工资和各人应得收入在谁家 工人 木工 电工 油漆工 各家应付工资木工家 2x 1y 6z 2x + y + 6z 电工家 4x 5y 1z 4x + 5y + z油漆工家 4x 4y 3z 4x + 4y + 3z各人应得收入 10x 10y 10z可得, 即2610453xyzx860457yz【模型求解】在 Matlab 命令窗口输入以下命令 A = -8,
28、1,6;4,-5,1;4,4,-7; x = null(A,r); format rat, xMatlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为 x = k(31/36, 8/9, 1)T. 因而根据“每人的日工资一般的市价在 6080 元之间 ”可知60 k A = 1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8; x = null(A,r); format short, xMatlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.
29、 这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别 0.9394 亿元, 0.8485 亿元, 1 亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等. 【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据. Matlab 实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示: 表 8 行业产出分配表产出分配煤炭 石油 电力 钢铁 制造 运输 购买者0 0 0.2 0.1 0.2 0.2 煤炭0 0 0.1 0.1 0.2 0.1 石油0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 电
30、力0.4 0.1 0.2 0 0.1 0.4 钢铁0 0.1 0.3 0.6 0 0.2 制造0.1 0.7 0.1 0 0.4 0 运输每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 求使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格. 参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50. 案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律. 图 22 USB 扩展板【模型准备】假设图 23 中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路.
31、用记录输入电压和输入电流(电压 v 以伏特为单位 , 电流 i 以安培为单位), 用1vi记录输出电压和输入电流. 若 = A , 则称矩阵 A 为转移矩阵.2 2i1i输入终端 v1 输出终端 v2i1 i2电路图 23 具有输入和输出终端的电子电路图图 24 给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为 R1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路 R2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是和1020/1v1 v2i1 i2R1 v3i2 i3R2串联电路 并联电路图 24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是 .180.5【
32、模型假设】假设导线的电阻为零. 【模型建立】设 A1 和 A2 分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量 x先变换成 A1x, 再变换到 A2(A1x). 其中A2A1 = = 0/R1122/R就是图 22 中梯形网络的转移矩阵. 于是, 原问题转化为求 R1, R2 的值使得 = . 122/80.5【模型求解】由 = 可得 . 122/80.521/R根据其中的前两个方程可得 R1 = 8, R2 = 2. 把 R1 = 8, R2 = 2 代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图 22 中梯形网络中取 R1 = 8, R2 = 2 即为所求. 【模型分析】若要求的转
33、移矩阵改为 , 则上面的梯形网络无法实现. 80.54因为这时对应的方程组是 . 根据前两个方程依然得到 R1 = 8, R2 = 12/R2, 但把 R1 = 8, R2 = 2 代入上第三个方程却不能使等式成立 . 参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130. 练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流 i1, i2, i3 所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示: E1E2R1R2R3R4R5i1i2
34、i3 图 25 简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等. 图 26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换. 【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为(x, y) (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转 角度)为(x
35、, y) (xcos ysin, xsin + ycos)放缩变换(沿 x 轴方向放大 s 倍, 沿 y 轴方向放大 t 倍)为 (x, y) (sx, ty)【模型求解】R 2 中的每个点(x, y)可以对应于 R3 中的 (x, y, 1). 它在 xOy 平面上方 1 单位的平面上. 我们称(x, y , 1)是(x, y) 的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y) (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积 = 实现. 10ab1旋转变换(x, y) (xcos ysin, xsin + ycos)可以用齐次坐标写
36、成(x, y, 1) (xcos ysin, xsin + ycos, 1).于是可以用矩阵乘积 = 实现. cosin0i01cosini1放缩变换 (x, y) (sx, ty)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) (sx, ty, 1). 于是可以用矩阵乘积 = 实现. 01stxyst【模型分析】由上述求解可以看出, R2 中的任何线性变换都可以用分块矩阵乘以齐次坐标实现, 其中 A 是 2 阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的1AO齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个 3 阶变换矩阵来实现. 参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复
37、兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141. Matlab 实验题在 Matlab 命令窗口输入以下命令clear all, clc,t = 1,3,5,11,13,15*pi/8;x = sin(t); y=cos(t); fill(x,y,r);grid on;axis(-2.4, 2.4, -2, 2)运行后得图 25. 图 26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写 Matlab 程序, 先将上面图形放大 0.9 倍; 再逆时针旋转 ; 最后进3行横坐标加 0.8, 纵坐标减 1 的图形平移. 分别绘制上述变
38、换后的图形. 案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量 x1, , xk, 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图 28 火星探测器【模型准备】令 Xk = x1, , xk. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵 Gk = XkXkT. 一旦接收到数据向量 xk+1, 必须计算出新矩阵 Gk+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着 k 的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算 Gk 的负担不会因为 k 的增加而加重. 【模型求解】因为Gk = XkXk
39、T = x1, , xk = , T1TkixGk+1 = Xk+1 = Xk, xk+1 = XkXkT + xk+1 = Gk + xk+1 , T1T1kT1T1所以一旦接收到数据向量 xk+1, 只要计算 xk+1 , 然后把它与上一步计算得到1的 Gk 相加即可 . 这样计算 Gk 的负担不会因为 k 的增加而加重. 【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设 xk 的维数是 n, 则 Xk = x1, , xk是 nk 的矩阵, Gk = XkXkT 是 nn 的矩阵. 直接计算 Gk =
40、XkXkT 需要做 n2k 次乘法. 因而计算的负担会随着 k 的增加而增加. 但是对于每一个 k, 计算 xk 始终只要做 n2 次乘法. TMatlab 实验题用 Matlab 编写一个程序用于处理这个问题. 参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 123. 案例十三. 应用矩阵编制 Hill 密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍. 信信 源源噪声噪声信信 宿宿 信信 道道 攻击攻击 解解 密密 请求重传请求重传 加加 冗冗 编编 码码 加加
41、 密密 识识 错错 纠纠 错错 图 29 保密通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为 加密, 反之为解密. 1929 年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息 action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法. 【模型假设】(1) 假定每个字母都对应一个非负整数, 空格和 26 个英文字母依次对应整数 026(见下表).
42、 表 9 空格及字母的整数代码表空格 A B C D E F G H I J K L M0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26(2) 假设将单词中从左到右, 每 3 个字母分为一组, 并将对应的 3 个整数排成 3 维的行向量, 加密后仍为 3 维的行向量, 其分量仍为整数. 【模型建立】设 3 维向量 x 为明文, 要选一个矩阵 A 使密文 y = xA, 还要确保接收方能由 y 准确地解出 x. 因此 A 必须是一个 3 阶可逆矩阵. 这样就
43、可以由 y = xA 得 x = yA1. 为了避免小数引起误差 , 并且确保 y 也是整数向量, A 和 A1 的元素应该都是整数. 注意到, 当整数矩阵 A 的行列式= 1 时, A1 也是整数矩阵. 因此原问题转化为 (1) 把 action 翻译成两个行向量: x 1, x2. (2) 构造一个行列式 = 1 的整数矩阵 A(当然不能取 A = E).(3) 计算 x1A 和 x2A. (4) 计算 A1. 【模型求解】(1) 由上述假设可见 x1 = (1, 3, 20), x2 = (9, 15, 14). (2) 对 3 阶单位矩阵 E = 进行几次适当的初等变换 (比如把某一行
44、0的整数被加到另一行, 或交换某两行), 根据行列式的性质可知, 这样得到的矩阵A 的行列式为 1 或1. 例如 A = , |A| = 1. 123(3) y1 = x1A = (1, 3, 20) = (67, 44, 43), 0y2 = Ax2 = (9, 15, 14) = (81, 52, 43). 123(4) 由(A , E) = 可得01 初 等 行 变 换 1021A1 = . 02这就是说, 接收方收到的密文是 67, 44, 43, 81, 52, 43. 要还原成明文, 只要计算(67, 44, 43)A1 和(81, 52, 43)A1, 再对照表 9“翻译”成单词
45、即可.【模型分析】如果要发送一个英文句子, 在不记标点符号的情况下, 我们仍然可以把句子(含空格) 从左到右每 3 个字符分为一组(最后不足 3 个字母时用空格补上). 【模型检验】(67, 44, 43) A1 = (1, 3, 20), (81, 52, 43)A1 = (9, 15, 14). 参考文献杨威, 高淑萍, 线性代数机算与应用指导, 西安: 西安电子科技大学出版社 , 2009. 页码: 98-102. Matlab 实验题按照上面的加密方法, 设密文为 : 112, 76, 57, 51, 38, 18, 84, 49, 49, 68, 41, 32, 83, 55, 37
46、, 70, 45, 25, 问恢复为原来的信息是什么 ? 案例十四. 显示器色彩制式转换问题彩色显示器使用红(R)、绿(G)和蓝(B) 光的叠成效应生成颜色. 显示器屏幕的内表面由微粒象素组成, 每个微粒包括三个荧光点 : 红、绿、蓝. 电子枪位于屏幕的后方, 向屏幕上每个点发射电子束. 计算机从图形应用程序或扫描仪发出数字信号到电子枪, 这些信号控制电子枪设置的电压强度 . 不同 RGB 的强度组合将产生不同的颜色. 电子枪由电磁石帮助瞄准以确保快速精确地屏幕刷新. 图 30 彩色显示器的工作原理颜色模型规定一些属性或原色, 将颜色分解成不同属性的数字化组合. 这就色彩制式的转换问题.【模型
47、准备】观察者在屏幕上实际看到的色彩要受色彩制式和屏幕上荧光点数量的影响. 因此每家计算机屏幕制造商都必须在 (R, G, B)数据和国际通行的 CIE色彩标准之间进行转换, CIE 标准使用三原色, 分别称为 X, Y 和 Z. 针对短余辉荧光点的一类典型转换是= .0.6129.503563.478B计算机程序把用 CIE 数据(X, Y, Z)表示的色彩信息流发送到屏幕. 求屏幕上的电子枪将这些数据转换成(R, G, B) 数据的方程.【模型建立】令 A = , = , = , 则 A = . 现在要0.61295035.63.4.78RGBXYZ根据 CIE 数据( X, Y, Z)计算对应的(R, G, B)数据, 就是等式 A = 中 A 和 已知, 求 . 如果 A 是可逆矩阵, 则由 A = 可得 = A1. 【模型求解】在 Matlab 命令窗口输入以下命令 A = 0.61,0.29,0.15;0.35,0.59,0.063;0.04,0.12,0.787; if det(A)=0, A 不可逆 elseif A 可逆, A 的逆矩阵如下, B = inv(A), endMatlab 执行后得B =2.
