1、线性代数试卷 1一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1、五阶行列式 中项 带的符号为正时， ， ijD1423154ijij。2、 为单位阵，则三阶矩阵 (,)(1,)BCI 2TIBC。3使向量组 线性相关的数 123(,0)(1,)(,5)kk。4 的秩为 。210A5设三阶方阵 ，其中 是三维列向量， ，()123,123, 3A则行列式 。 2,1226 阶方阵 满足 ，则 nA240I1()AI。7 ，则行列式 。12*28与向量 正交的向量集合为 。(,3)T9 的特征值为 1，则 。201xAx10二次型 的矩阵为 ， 的秩为 212313123(,)ff。二、计算题（每小
2、题 10 分，共 60 分）1计算1231231nnaaDaa2求齐次线性方程组的基础解系 12341340xx3解矩阵方程： ,其中 ，求 。2XBA1020,1BX4设向量 ，问： 取何值2311,2,aa（1） 可由 唯一线性表示。23,1（2） 不能由 线性表示。,（3） 可由 非唯一线性表示，且求出表示式。23,15向量组 234(0),(,1),(0,1),(1,2)TTTT（1）求此向量的一个极大线性无关组。（2）把其余向量表成极大线性无关组的线性组合。61023A（1）求 及 的特征值2BAI（2）求可逆矩阵 及 对角阵，使 。P1PA三、证明题（10 分）设 是齐次线性方程组
3、 的一个基础解系，2,s1 0mnlAX证明是223 1, ,ss1 s-1s-1的基础解系的条件是： （ 为数）AX0()0线性代数试卷 2一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1 ，元素 的代数余子式为 。2056173D43a2三维列向量 ，则三阶矩阵 。(,02)T3TI3使向量组 线性无关的 1(1,)(1,)kk。4向量组 的秩为 2，则 123(,3),(0,),(,)TTTaa。5 阶方阵 满足 ，则 。nA2I1()AI6三阶方阵 ，其中 为三维列向1212(,),(,)B12,量， ，则行列式 。2,B7 为 阶方阵，齐次线性方程组 有非零解的条件是 nAX0()rA。
4、8与向量 正交的向量集合为 。12(,0),(1,)TT9矩阵 有一个特征值为 2，则 。103aAa10二次型 的矩阵为 ，22123133(,)fxxx的秩为 。123(,)fx二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1计算（1） ， （2）41411xx2解矩阵方程 ，其中 ，求 。1AXI0231AX3求齐次线性方程组的基础解系 12340xx4非齐次线性方程组 123123368xxba问 取何值时？（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，,b并求其解。5设向量组 ，求向量组23414201,3的秩及一个极大无关组。1234a,6 20()1ABAIX（1）求 的特征值及
5、特征向量（2）求矩阵 的特征值2BI（3）求可逆矩阵 ，使 ， 为对角阵。P1A三、证明题（10 分）1设 线性无关，证明23,1 223,1线性无关。32 为 阶方阵， ，又设 是非齐次线性方An()rnA12,程组 的两个不同的解，证明 为非齐次Xb()k12X线性方程组 的通解。其中 为任意常数。线性代数试卷 3一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1五阶行列式 的一项 带负号，则 ， ijaD21435ijaij。2 则 。01,32AB1A3 ，行列式 。10212()T4 的秩为 2，则 。1kAk5向量组 ，则 。2301,16齐次线性方程组 仅有零解，则 的 个列向量线性
6、mnlAXmnA。7 阶方阵 ，且 ，则 。nA2460I1()AI8 与 ，则 102102xBx9向量 与 正交，则 。1(,3)T(4,1)Taa10二次型 的矩阵为 ，22213fxxx通过可逆线性变换 ,使 化为标准型 。X=PY12(,)f二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1 60000xyabDyx2矩阵 ，满足 ，求327A2AX3求齐次线性方程组 的一个基础解系123412340xx4设向量组 3(,0),(,01),(,12),TTT1(,2)T（1）求此向量组的一个极大无关组及秩。（2）求向量 在 下的线性表示式。423,15非求齐次线性方程组 ，问 取何值时方
7、程组有：1231230xaxa（1）唯一解；（2）无解；（3）无穷多组解，并求解。6设矩阵 ，31A（1）求 的特征值及特征向量（2）求 的特征值12BI（3）求可逆矩阵 ，使 ， 为对角矩阵。P1A三、证明题（10 分）设 4 维列向量 线性无关， 为 4 阶矩阵，证明：234,1A线性无关的充分必要条件是 为可逆矩阵234,1AA线性代数试卷 4一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1五阶行列式 的一项 带负号，则 ，ijaD21435ijai。j2 则 。312,AB1A3矩阵 ，则 。012I+4矩阵 的秩为 2，则 。2053tAt5向量组 线性无关，则 2314,30aa。6
8、为 阶方阵， ，则 。An25AI1A7 阶方阵 的 个行向量线性无关，则齐次线性方程组nAn的解为 。0X8与向量 正交的向量集为 。12(,0)(1,)9矩阵 与 相似， 的一个特征值为 4，则矩阵 的一个特AB2BI征值为 。10二次型 的矩阵为 212311232(,)fxxx， 的秩为 。123(,)f二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1计算行列式11122233naDanna 2解矩阵方程： , ，求 。2TAX104X3求向量组 的一个极大线性无关组及23312015,4该向量组秩。4求齐次线性方程组 的通解及基础解系1234123406505xx5设向量组 ，问 为何
9、值231,450ab1,a时（1） 可由 唯一线性表示。23,1（2） 不能由 线性表示。,（3） 能由 非唯一线性表示，并求出表示式。23,16设矩阵 ，043aA（1）求 的特征值。（2）确定 ，使矩阵相似于对角矩阵 ，并由此求对角矩阵 及可a逆矩阵 ，使 。P1A三、证明题（5 分2=10 分）（1）设 为齐次线性方程组 的基础解系。证明：23,1 0mnlAX也是 的基础解系。22331,21（2） 为 3 阶可逆矩阵， ，其中 为 的伴随矩阵。A*TA*A写出求 的逆的公式。证明行列式 。1线性代数试卷 5一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）16 元排列 631254 的逆序数
10、为 。2 ，则矩阵 。1A2TIA3 为三阶行列式 ， 。,B4,B2TB4 ，则 。240I15 ，则 。1A1A6向量组 线性相关，则 123(,),(0,),(1,)TTTaa。7 的秩为 。10235A8 为 矩阵，非齐次线性方程组 有无穷多组解，则mnAXb及 的关系为 。()rb9 与矩阵 相似，则 的特征值为 21034AB1。10求与向量 正交的向量为 。12(,0),(0,1)TT二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1 432100xDaxa2设列向量 (,0)T（1）矩阵 ，且求 。TA3（2）求行列式 。2I3设向量组 ，2341010,112（1）求该向量的一个
11、极大线性无关组。（2）并求其余向量在此极大无关组的线性表示式。4 求通解及一个基础解系124341240xx5设非齐次线性方程组 123123023xxaxxb问 取何值时，该方程组（1）有唯一的解；（2）无解；（3）有,ab无穷多组解，并求解。6三阶方阵102xA（1）当 时，求 的特征值及特征向量。2x（2）讨论 取何值时， 不可相似于对角矩阵及 可相似于对角矩A阵三、证明题（5 分2=10 分）（1）设 为 阶方阵， ，证明 为可逆矩阵且,ABn0ABIA。（2）设向量组 线性无关，证明23,1线性无关的条件是数233,ttt1 1满足： 。23,t130线性代数试卷 6一、填空题（3
12、分10=30 分）1五阶行列式 中一项 的符号为 。5ijaD3512453a2 ， 为二阶单位阵，则 。01AI TIA3 ，行列式 。203A12()(4)AII4已知满足 ，则 。250I1()5向量组 线性无关，则 的值为 123(,),(,)TTTaa。6矩阵 的秩为 。0312A7 为 阶方阵，求齐次线性方程组 仅有零解，则对应的n 0AX非齐次线性方程组 有 解。bX8 为 阶方阵，且 ，则 有一个特征值为 。A(4)0I的一个特征值为 。2()9向量 与 正交，则 。(,12)Tk(3,21)Tk10二次型 的矩阵为 ，其标准形为 313fxx。二、计算题（10 分6=60 分
13、）1计算行列式10257634D2解矩阵方程：设 ，且 ，求 。10AXAX3求向量组 的一个2345101012,0431极大线性无关组及该向量组秩。4设向量组 ，求 由231058,1012线性表示式23,15求齐次线性方程组 124323412340470xxaxx取何值时a（1）方程组有唯一解；（2）方程组有无穷多解，求有无穷多解的通解和一个基础解系。6设矩阵 ，与对角矩阵 相似201kA24（1）求正数 。k（2）求可逆矩阵 ，使 。P1A三、证明题（5 分2=10 分）1 为三阶非零矩阵，且 ，其中 为 的伴随矩阵，A*T*A为 的转置阵，证明：TA1A2 为齐次线性方程组 的一个基础解系， 23,10X，数 满足何2233, ,t m1 1,tm条件， 也是 的基础解系。23,1AX0
