1、,内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式 重点：等距变换的解析表达式,1.4 等距变换,1.4等距变换-定义,设 a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是 R3 中的任意两点，它们之间的距离为,如果 T: R3 R3 是一一对应，且对任意 a、b R3 有 d(a, b) = d(T(a), T(b) )，则称 T 是 R3 的等距变换，也叫合同变换、保长变换或欧氏变换,1.4等距变换-正交矩阵,如果一个 3 阶矩阵 T 满足 TT t = E ，则 T 是一个 3 阶正交矩阵，其中 T t 表示 T 的转置矩阵，E 表示 3 阶单位矩阵所有 3 阶正交矩阵
2、关于矩阵的乘法构成群，叫三阶正交矩阵群，记为 O(3) ,由线性代数知，对任意 3 阶矩阵 A 以及任意的向量 a、b R3，有 (aA) b = a (bAt)，这里，aA 表示 13 矩阵 a 与 33 矩阵 A 的积， bAt 等也作同样的解释,1.4等距变换-解析表达式,定理. 变换 T: R3 R3 是等距变换的充要条件是存在 TO(3) 以及 pR3，使 T(r) = rT + p 对任意的 r = (x, y, z)R3 成立,看证明,1.4等距变换-等距变换群,欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫等距变换群,上面的定理说明等距变换一定是形如 rT + p 的变换
3、，并且TO(3) ，因此 T 的行列式等于 1 ,当 T 的行列式等于 +1 时，对应的等距变换叫刚体运动，简称运动；当 T 的行列式等于 1 时，对应的等距变换叫反向刚体运动,刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫运动群,1.4等距变换-切向量,设 PR3，C 是过 P 点的曲线，我们把 C 在 P 点的切向量叫 R3 在 P 点的切向量过 P 点可以作很多曲线，因此就有很多切向量 R3 在 P 点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3，叫做 R3 在 P 点的切空间,注意到 R3 在 P 点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以对任意 vTP R3 有如下形式v = r
4、 (t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) ,切向量也可以看成是 R3 的点，这样，R3 与 TP R3 就自然等同起来了,1.4等距变换-幺正标架,R3 的一个标架 P; e1, e2, e3 是由 R3 的一个点 P（叫标架的原点）和 P 点的 3 个线性无关的有序切向量 e1, e2, e3 所构成如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架为正交标架或幺正标架,显然，O; i, j, k 是 R3 的一个幺正标架,O,e1,e3,e2,P,1.4等距变换-正标架,设 P; e1, e2, e3 是另一个标架，其中 ei = aii + bij + cik, i =1,2,3 令,如果 det A 0 ，则称 P; e1, e2, e3 是正标架或右手标架或右手系,P; e1, e2, e3 是正标架的充分必要条件是混合积 (e1, e2, e3) 0 ,
