1、第六章数列6.2 等差数列及其前 n 项和专题 2 等差数列的性质(2015 江西八所重点中学高三联考,等差数列的性质,选择题,理 4)数列 an的前 n 项和 Sn=2n2-3n(nN *),若 p-q=5,则 ap-aq=( )A.10 B.15 C.-5 D.20解析:利用通项与求和的关系求解 .由数列a n的前 n 项和 Sn=2n2-3n(nN *),得 an=Sn-Sn-1=4n-5,n2,且 a1=-1 也符合,所以 ap-aq=4(p-q)=20,故选 D.答案:D(2015 辽宁重点中学协作体高考模拟,等差数列的性质,选择题,理 4)已知数列 an的首项 a1=1,且 an-
2、an+1=anan+1(nN *),则 a2 015=( )A. B. C. D.解析:依题意得 an+1=,所以对nN *,an0,所以=1,数列是以=1 为首项、1 为公差的等差数列,=1+ (n-1)1=n,即 an=,a2015=,故选 D.答案:D专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值(2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,等差数列前 n 项和公式与最值,解答题,理 18)已知数列an为等差数列,首项 a1=1,公差 d0.若,成等比数列, 且 b1=1,b2=2,b3=5.(1)求数列b n的通项公式 bn;(2)设 cn=log3(2bn-1),求和 Tn=c1c2-c2c
3、3+c3c4-c4c5+c2n-1c2n-c2nc2n+1.解:(1)=a 1a5(1+d)2=1(1+4d)d=2. =a1=1,=3, q=3,=1+(bn-1)2=2bn-1=13n-1, bn=.(2)cn=log3(2bn-1)=n-1,Tn=c2(c1-c3)+c4(c3-c5)+c6(c5-c7)+c2n(c2n-1-c2n+1)=-2(c2+c4+c2n)=-21+3+5+(2n-1)=-2n2.(2015 银川二中高三一模 ,等差数列前 n 项和公式与最值,选择题,理 3)设 an是首项为 a1,公差为-1的等差数列,S n 是其前 n 项的和,若 S1,S2,S4 成等比数
4、列,则 a1=( )A.2 B.-2 C. D.-解析:因为 S1,S2,S4 成等比数列 ,故=S 1S4,即(2a 1-1)2=a1(4a1-6),解得 a1=-,故选 D.答案:D(2015 银川一中高三二模 ,等差数列前 n 项和公式与最值,选择题,理 4)等差数列 an中,已知 a1=-12,S13=0,使得 an0 的最小正整数 n 为( )A.10 B.9 C.8 D.7解析:依题意得 S13=13a7=0,故 a7=0,d=2,所以 an=-12+2(n-1)=2n-14.由 an=2n-140,得 n7.因此,使得 an0 的最小正整数是 8,故选 C.答案:C(2015 东
5、北三省三校高三第一次联考,等差数列前 n 项和公式与最值,选择题,理 4)设 Sn 是公差不为零的等差数列a n的前 n 项和,且 a10,若 S5=S9,则当 Sn 最大时,n=( )A.6 B.7 C.10 D.9解析:因为=7,故由 a10 及二次函数对称性可知当 n=7 时,S n 最大.故选 B.答案:B6.3 等比数列及其前 n 项和专题 2 等比数列的性质(2015 银川高中教学质量检测,等比数列的性质,选择题,理 4)在各项均为正数的等比数列 an中,a2a10=9,则 a5+a7( )A.有最小值 6 B.有最大值 6C.有最大值 9 D.有最小值 3解析:利用等比数列的性质
6、,结合基本不等式求解 .因为a n是各项均为正数的等比数列,a 5a7=a2a10=9,所以 a5+a72=2=6,当且仅当 a5=a7=3 时取等号,故选 A.答案:A(2015 辽宁东北育才高三第五次模拟,等比数列的性质,选择题,理 10)已知数列 an为等比数列,且 a2 013+a2 015=dx,则 a2 014(a2 012+2a2 014+a2 016)的值为( )A. B.2 C.2 D.42解析:依题意,a 2013+a2015=(22)=,又因为数列 an为等比数列 ,故 a2014(a2013+2a2014+a2016)=+2a2013a2015+=(a2013+a201
7、5)2=2,故选 C.答案:C专题 3 等比数列前 n 项和公式(2015 江西八所重点中学高三联考,等比数列前 n 项和公式,填空题,理 16)用 g(n)表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9,g(9)=9,10 的因数有 1,2,5,10,g(10)=5,那么 g(1)+g(2)+g(3)+g(22 015-1)= . 解析:利用归纳推理得数列的通项公式 ,结合等比数列的求和公式求解.由题意可得 g(1)=1,g(2)+g(22-1)=g(2)+g(3)=4,g(22)+g(22+1)+g(23-1)=g(4)+g(5)+g(6)+g(7)=16=42
8、,g(23)+g(23+1)+g(24-1)=g(8)+g(9)+g(14)+g(15)=64=43,则 g(22014)+g(22014+1)+g(22015-1)=42014,所以 g(1)+g(2)+g(3)+g(22015-1)=1+4+42+42014=.答案:6.4 数列求和专题 1 分组求和与并项求和(2015 银川高中教学质量检测,分组求和与并项求和,填空题,理 15)在数列 an中,a 1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n N*),则 a1+a2+a51= . 解析:利用分组求和法求解.当 n 为正奇数时,a n+2-an=0,又 a1=1,则所有奇数项都
9、是 1;当 n 为正偶数时,an+2-an=2,又 a2=2,则所有偶数项是首项和公差都是 2 的等差数列,所以 a1+a2+a51=(a1+a3+a51)+(a2+a4+a50)=26a1+25a2+2=676.答案:676专题 3 裂项相消求和(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟二,裂项相消求和,解答题,理 17)等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a7=-9,S9=-.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=,数列 bn的前 n 项和为 Tn,求证: Tn-.(1)解:设数列a n的公差为 d,则由已知条件可得解得所以 an=-.(2)证明:由(1)可知 Sn
10、=-.故 bn=-=-,Tn=-+=-.又因为,所以 Tn-.(2015 辽宁大连高三双基测试,裂项相消求和,解答题,理 17)数列 an满足 an+1=,a1=1.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的前 n 项和 Sn,并证明:+ +.解:(1)证明: an+1=, ,化简得=2+,即=2,故数列是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.(2)由(1)知=2n-1,所以 Sn=n2.证法一:+=+=1-.证法二:(用数学归纳法)当 n=1 时,左边=1,右边=,不等式成立.假设当 n=k 时,不等式成立,即+ +.则当 n=k+1 时,则+.又 =1-1+=0, +, 原不等式成立.(2
11、015 江西八所重点中学高三联考,裂项相消求和,解答题,理 17)已知 f(x)=2sinx,集合 M=x|f(x)|=2,x0,把 M 中的元素从小到大依次排成一列,得到数列a n,nN *.(1)求数列a n的通项公式;(2)记 bn=,记数列 bn的前 n 项和为 Tn,求证: Tn0, an=2n-1(nN *).(2)证明: bn=(nN *),bn=, Tn=b1+b2+bn+, Tn,得证.(2015 银川二中高三一模 ,裂项相消求和,填空题,理 16)已知数列 an的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且Sn=2Sn-1+1(n2,且 nN *),数列b n是等差数列,且 b
12、1=a1,b4=a1+a2+a3,设 cn=,数列 cn的前 n 项和为Tn,则 T10= . 解析:因为 Sn=2Sn-1+1,Sn+1=2Sn+1,两式相减得 an+1=2an,故数列a n为首项为 1、公比为 2 的等比数列,故 an=2n-1.又 b1=1,b4=1+2+4=7,故 d=2,故 bn=1+2(n-1)=2n-1,故 cn=,故 T10=+.答案:(2015 东北三省三校高三二模,裂项相消求和,解答题,理 17)已知数列 an前 n 项和为 Sn,满足Sn=2an-2n(nN *).(1)证明:a n+2是等比数列,并求 an的通项公式;(2)数列b n满足 bn=log2(an+2),Tn 为数列的前 n 项和,若 Tna 对正整数 n 都成立,求 a 的取值范围.解:(1)证明:由题设 Sn=2an-2n(nN *),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n2) .两式相减得 an=2an-1+2,即 an+2=2(an-1+2).又 a1+2=4,所以a n+2是以 4 为首项,2 为公比的等比数列 .所以 an+2=42n-1,an=42n-1-2=2n+1-2(n2) .又 a1=2,所以 an=2n+1-2(nN *).(2)因为 bn=log2(an+2)=log2(2n+1)=n+1,所以 Tn=+=,所以 a.
