1、第六章数列6.1 数列的概念与表示77 数列的概念1.(2015 广西柳州一中一模,文 16,数列的概念,填空题) 若数列 an满足 a1=2,an+1= (nN *),则该数1+1-列的前 2 015 项的乘积 a1a2a3a2 015= . 解析:由递推关系式,得 an+2= =- ,则 an+4=an.1+11-+1 1 an是以 4 为周期的一个周期数列.由计算,得 a1=2,a2=-3,a3=- ,a4= ,a5=2,12 13 a1a2a3a4=1. a1a2a2 010a2 011a2 015=3.答案:316.(2015 江西上饶一模,文 16,数列的概念,填空题) 设数列a
2、n的前 n 项和为 Sn(nN *),关于数列a n有下列四个命题: 若 an+1=an(nN *),则a n既是等差数列又是等比数列; 若 Sn= +bn(a,bR ),则a n是等差数列;2 若 Sn=1-(-1)n,则a n是等比数列; 若a n是等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(nN *)也成等差数列.其中正确的命题是 (填上正确的序号) . 解析:对于 ,当 an+1=an0 时, an既是等差数列又是等比数列,否则不成立, 错误.对于 ,如 an=n2,bn=1 时,S n= +bn=n4+1,an不是等差数列, 错误.2对于 ,当 Sn=1-(-1)n 时,S n
3、+1=1-(-1)n+1, an+1=Sn+1-Sn=2(-1)n,an=2(-1)n-1. =-1 为常数.+1 an是等比数列, 正确.对于 ,当a n是等差数列时,S n=na1+ n(n-1)d,12S2n-Sn=nan+1+ n(n-1)d,12S3n-S2n=na2n+1+ n(n-1)d,12 (S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n(a2n+1-an+1)=n2d,(S2n-Sn)-Sn=n(an+1-a1)=n2d. (S3n-S2n)-(S2n-Sn)=(S2n-Sn)-Sn,即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列, 正确.综上,正确的命题是 .答案: 16.(
4、2015 山西朔州怀仁一中一模 ,文 16,数列的概念,填空题) 设数列a n满足 a1=5,且对任意整数 n,总有(a n+1+3)(an+3)=4an+4 成立,则数列 an的前 2 015 项的和为 . 解析: 数列a n满足 a1=5,且对任意整数 n,总有(a n+1+3)(an+3)=4an+4 成立, 8(a2+3)=24,解得 a2=0,3(a3+3)=4,解得 a3=- ,53(a4+3)=- ,解得 a4=-5,43 83-2(a5+3)=-16,解得 a5=5. 数列a n是以 4 为周期的数列,且 a1+a2+a3+a4=- ,532 015=5034+3. S2 01
5、5=503 +5+0- =-835.(-53) 53答案:-83578 数列的通项公式1.(2015 吉林实验中学二模,文 17,数列的通项公式,解答题)在等差数列a n中,a 2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列a n+bn是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求 bn的前 n 项和 Sn.解:(1)设等差数列 an的公差是 d.依题意 a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而 d=-3.所以 a2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1.所以数列a n的通项公式为 an=-3n+2.(2)由数列a n+bn是首项为 1,公比为 c 的等
6、比数列,得 an+bn=cn-1,即- 3n+2+bn=cn-1,所以 bn=3n-2+cn-1.所以 Sn=1+4+7+(3n-2)+(1+c+c2+cn-1)= +(1+c+c2+cn-1).(3-1)2从而当 c=1 时,S n= +n= ;(3-1)2 32+2当 c1 时,S n= .(3-1)2 +1-1-2.(2015 山西太原一模,文 15,数列的通项公式 ,填空题) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,a1=-1,Sn=2an+n(nN *),则 an= . 解析: Sn=2an+n, 当 n2 时,S n-1=2an-1+n-1.两式相减得 Sn-Sn-1=2an+n-(
7、2an-1+n-1),即 an=2an-2an-1+1,即 an=2an-1-1,即 an-1=2an-1-1-1=2(an-1-1),故数列a n-1是公比 q=2,首项为 a1-1=-1-1=-2 的等比数列,则 an-1=-22n-1=-2n,故 an=1-2n.答案:1-2 n3.(2015 广西桂林、防城港联合调研 ,文 17,数列的通项公式,解答题) 在等差数列a n中,已知 a4=10,且a3,a6,a10 成等比数列.(1)求 an;(2)设 bn= (nN *),求数列b n的前 n 项和 Sn.2解:(1)设等差数列 an的公差为 d,又 a4=10,可得 a3=10-d,
8、a6=10+2d,a10=10+6d,由 a3,a6,a10 成等比数列,得(10+2d) 2=(10-d)(10+6d),解得 d=0 或 d=1.若 d=0,则 a1=an=10,若 d=1,则 a1=a4-3d=10-31=7,an=a1+(n-1)d=n+6.故 an=10 或 an=n+6.(2)由 bn= (nN *),2若 an=10,则 bn=210=1 024,故 Sn=1 024n.若 an=n+6,则 bn=2n+6, =2, 数列b n是首项为 b1=27=128,公比为 2 的等比数列,+1=2+72+6故 Sn= =2n+7-128.128(1-2)1-24.(20
9、15 黑龙江大庆二模,文 17,数列的通项公式,解答题) 已知公差不为 0 的等差数列a n满足 S7=77,且 a1,a3,a11 成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn= ,求数列b n的前 n 项和为 Tn.2解:(1)设等差数列 an的公差为 d(d0),因为 S7= =77,所以 7a4=77,7(1+7)2则 a1+3d=11, 因为 a1,a3,a11 成等比数列,所以 =a1a11,整理得 2d2=3a1d,23又 d0,所以 2d=3a1. 联立 ,解得 a1=2,d=3.所以 an=3n-1.(2)因为 bn= ,所以 bn=23n-1= 8n,2 12所
10、以数列b n是以 4 为首项,8 为公比的等比数列,由等比数列前 n 项和公式得,T n= .4(1-8)1-8=23+2-475.(2015 江西赣州一模,文 12,数列的通项公式 ,选择题) 已知数列 an满足 an+an+1=(-1 n,Sn 是其前)(+1)2n 项和,若 S2 015=-1 007,则 a1=( )A.0 B.1 C.2 D.3解析:由已知得:a 2+a3=-2,a4+a5=4,a2 012+a2 013=2 012,a2 014+a2 015=-2 014,把以上各式相加得:S 2 015-a1=-2 014+1 006=-1 008, S2 015=a1-1 00
11、8=-1 007,即 a1=1.答案:B6.(2015 甘肃张掖 4 月模拟,文 17,数列的通项公式,解答题)已知等差数列a n中 a3=7,其前 n 项和Sn=pn2+2n,nN *.(1)求 p 的值及 an;(2)在等比数列b n中,b 3=a1,b6=4a10-3,若等比数列a n的前 n 项和为 Tn.求证:数列 为等比数列.+16解:(1)由题意可得:a 3=S3-S2=5p+2=7, p=1. a1=S1=3. 2d=a3-a1=4, 公差 d=2.由此可得:a n=2n+1.(2)由题意可得: b3=b1q2=a1=3,b6=b1q5=4a10-3=81,联立方程组解得:q=
12、3,b 1= .13 数列b n是以 b1= 为首项,3 为公比的等比数列.13 Tn= (3n-1).13(1-3)1-3=16 Tn+ 3n= 3n-1.16=16 12又 T1+ =3,16=12,+16-1+16 是以 为首项,3 为公比的等比数列 .+16 1215.(2015 山西太原二模,文 15,数列的通项公式,填空题) 已知数列 an满足 a1=1,an-an+1=nanan+1(nN *),则 an= . 解析: an-an+1=nanan+1(nN *), =n.-+1+1=1+11 +1=(1- 1-1)+( 1-1- 1-2) (13-12)+(12-11)+11=(
13、n-1)+(n-2)+3+2+1+11= +1= ,(-1)(-1+1)2 2-+22 an= .22-+2答案:22-+211.(2015 江西吉安一模,文 11,数列的通项公式,选择题) 如果数列 an中,相邻两项 an 和 an+1 是二次方程 +2nxn+cn=0(n=1,2,3)的两个根,当 a1=2 时,则 c100 的值为 ( )2A.-9 984 B.9 984 C.9 996 D.-9 996解析: an 和 an+1 是二次方程 +2nxn+cn=0(n=1,2,3)的两个根,2 an+an+1=-2n.则(a n+1+an+2)-(an+an+1)=-2, an+2-an
14、=-2. 数列a 2k-1与 a2k都是公差为-2 的等差数列.由 a1=2,a1+a2=-2,解得 a2=-4,则 a2n=-4-2(n-1)=-2n-2,a2n-1=2-2(n-1)=-2n+4, a100=-250-2=-102,a101=-251+4=-98, c100=a100a101=-102(-98)=9 996.答案:C17.(2015 黑龙江绥化重点中学二模 ,文 17,数列的通项公式,解答题) 等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a7=-9,S9=- .992(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= ,数列b n的前 n 项和为 Tn,求证: Tn-
15、.12 34(1)解:设数列a n的公差为 d, a1+a7=-9,S9=- ,992 解得21+6=-9,91+36=-992, 1=-32,=-1. an=- -(n-1)=- .32 2+12(2)证明: Sn= =- ,(-32-2+12)2 (+2)2 bn= =- =- .12 1(+2) 12(1- 1+2) 数列b n的前 n 项和为Tn=-12(1-13)+(12-14)+(13-15)+( 1-1- 1+1)+(1- 1+2)=-12(1+12- 1+1- 1+2)= - .12( 1+1+1+2)34 34 Tn- .3417.(2015 江西上饶二模,文 17,数列的通
16、项公式,解答题) 已知正项等比数列 an满足:ln a1+ln a3=4,ln a4+ln a6=10.(1)求数列a n的通项公式;(2)记 Sn=ln a1+ln a2+ln an,如果数列b n满足: bn= ,设 cn=(b1+b2+bn) ,求 cn 的最大值.12 (23)解:(1)由题意可得,a 1a3=e4,a4a6=e10,公比 q6=e6(q0)q=e,a1=e, an=en.(2)由(1)可知,S n=1+2+n= ,bn= ,(+1)2 1(+1)=1 1+1记 cn=(b1+b2+bn) ,(23)=+1(23)则 cn+1-cn= cn+1. 数列c n是单调递减数
17、列 ,cnc 1= ,即 cn 的最大值为 .13 1318.(2015 江西红色六校一模,文 18,数列的通项公式,解答题) 已知数列a n的前 n 项和是 Sn,且Sn+ an=1(nN *).13(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=log4(1-Sn+1)(nN *),Tn= + ,求使 Tn 成立的最小的正整数 n 的值.112+123 1+1 1 0072 016解:(1)当 n=1 时 ,a1=S1,由 S1+ a1=1a1= ,13 34当 n2 时,S n+ an=1, 13Sn-1+ an-1=1, 13 - ,得 an+ an- an-1=0,即 an= an-1
18、,13 13 14 an是以 为首项, 为公比的等比数列.34 14故 an= =3 (nN *).34(14)-1 (14)(2)由(1)知 1-Sn+1= an+1= ,13 (14)+1bn=log4(1-Sn+1)=log4 =-(n+1),(14)+1,1+1= 1(+1)(+2)=1+1 1+2Tn= +112+123 1+1= +(12-13)+(13-14) ( 1+1- 1+2)= ,12 1+2n2 014,12 1+21 0072 016故使 Tn 成立的最小的正整数 n 的值为 2 014.1 0072 01617.(2015 江西六校联考二模,文 17,数列的通项公式
19、,解答题) 数列b n(nN *)是递增的等比数列,且b1+b3=17,b1b3=16,又 an=log4bn+2.(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)若 +a2+a3+ama 66,求 m 的最大值.21解:(1)由 b1+b2=17,b1b3=16,知 b1,b3 是方程 x2-17x+16=0 的两根,注意到 bn+1bn,得 b1=1,b3=16, 等比数列b n的公比为 =4.31 bn=4n-1,an=log4bn+2=log44n-1+2=n-1+2=n+1.(2)由(1)知数列a n是首项为 2,公差为 1 的等差数列,则 +a2+a3+am= +a1+a2+a3+am-
20、a121 21=22+m2+ 1-2= +2m+2,(-1)2 2-2由 a66=67. 2+2m+ 67 .2-2整理得-13m10, m 的最大值是 10.16.(2015 广西南宁一模,文 16,数列的通项公式,填空题) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,满足 an+3SnSn-1=0(n2,nN *),a1= ,则数列 an的通项公式 an= . 13解析:由 an+3SnSn-1=0 得 an=-3SnSn-1,当 n2 时,a n=-3SnSn-1=Sn-Sn-1, a1= , SnSn-10.13等式两边同时除以 SnSn-1 得 =3,11-1即 是以 3 为首项,3 为公
21、差的等差数列,1则 =3+3(n-1)=3n,1即 Sn= ,则 an=-3SnSn-1=- ,n2,13 13(-1) a1= 不满足 an=- ,n2,13 13(-1) 数列的通项公式 an=13,=1,- 13(-1),2.答案: 13,=1,- 13(-1),218.(2015 黑龙江大庆一模,文 18,数列的通项公式,解答题) 已知各项均为正数的数列 an前 n 项和为Sn,首项为 a1,且 an 是 和 Sn 的等差中项.12(1)求数列a n的通项公式;(2)若 an= ,求数列b n的前 n 项和 Tn.(12)解:(1)由题意知 2an=Sn+ ,an0,12当 n=1 时
22、,2a 1=a1+ ,a1= .12 12当 n2 时,S n=2an- ,Sn-1=2an-1- ,12 12两式相减得 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,整理得 =2,-1所以数列a n是以 为首项,2 为公比的等比数列.12所以 an= 2n-1=2n-2.12(2)由 =22n-4 得 bn=4-2n,2=2-所以 bn+1-bn=-2(nN *).所以数列b n是以 2 为首项,-2 为公差的等差数列,所以 Tn=-n2+3n.8.(2015 广西梧州一模,文 8,数列的通项公式 ,选择题) 在数列 an中,a nan+1= ,a1=1,则 a98+a101=( )12A.6
23、 B.1 C.2 D.32解析: 在数列a n中,a nan+1= ,a1=1,12 an+1= .12 a2= ,12a3= =1,1212a4= .12 an=1,为 奇数 ,12,为 偶数 . a98+a101= +1= .12 32答案:D17.(2015 江西南昌零模,文 17,数列的通项公式,解答题) 已知函数 f(x)= ,数列 an是首项等于 1 且3+1公比等于 f(1)的等比数列;数列 bn首项 b1= ,满足递推关系 bn+1=f(bn).13(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)设 cn= ,求数列c n的前 n 项和 Tn.解:(1)函数 f(x)= ,则 f(
24、1)= .3+1 14由于数列a n是首项等于 1 且公比等于 f(1)的等比数列,所以 an= .(14)-1数列b n首项 b1= ,满足递推关系 bn+1=f(bn).13则 bn+1= ,整理得 =3.3+1 1+11所以 是以 为首项,3 为公差的等差数列 .1 11=13解得 bn= .13(2)cn= =3n , (14)-1则 Tn=c1+c2+cn=3 +6 +3n . (14)0 (14)1 (14)-1Tn=3 +6 +3n . 14 (14)1 (14)2 (14)则 - 得 Tn=3 =4- .34 1-(14)1-1434 4+34所以 Tn= .1633+434-
25、117.(2015 江西重点中学协作体二模 ,文 17,数列的通项公式,解答题) 已知a n为等差数列,数列b n满足对于任意 nN *,点(b n,bn+1)在直线 y=2x 上,且 a1=b1=2,a2=b2.(1)求数列a n与数列b n的通项公式;(2)若 cn= 求数列 cn的前 2n 项的和 S2n.,为 奇数 ,为 偶数 ,解:(1)由点(b n,bn+1)在直线 y=2x 上,有 =2,+1所以数列b n是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,即数列b n的通项公式为 bn=2n.又 a1=b1=2,a2=b2=4,则 d=a2-a1=4-2=2,所以数列a n是以 2 为首项
26、,2 为公差的等差数列,即数列a n的通项公式为 an=2n.(2)cn=,为 奇数 ,为 偶数 ,所以 S2n=(a1+a3+a2n-1)+(b2+b4+b2n)=(2+4-2)2 +4(1-4)1-4=2n2+ (4n-1).4317.(2015 江西新八校联考一模 ,文 17,数列的通项公式,解答题) 数列a n中a1=2,an+1=an+cn,nN *,c0,a1,a2,a3 成等比数列.(1)求 c;(2)求数列a n通项公式.解:(1)通过题意可得 a1=2,a2=2+c,a3=2+3c, a1,a2,a3 成等比数列, (2+c)2=2(2+3c). c=2 或 c=0(舍).(
27、2)当 n2 时,由 an+1=an+cn 得a2-a1=2,a3-a2=22,an-an-1=(n-1)2, an-a1=n(n-1).又 a1=2, an=n2-n+2(nN *).7.(2015 广西防城港、桂林一模 ,文 7,数列的通项公式,选择题) 已知a n是等差数列,b n是正项等比数列,若 a11=b10,则( )A.a13+a9=b14b6B.a13+a9=b14+b6C.a13+a9b 14+b6D.a13+a9b 14+b6解析:设a n是公差为 d 的等差数列 ,bn是公比为 q 的正项等比数列,即有 a13+a9=2a11=2b10,b14b6= ,210则 a13+
28、a9-b14b6=(2-b10)b10,当 b102 时,a 13+a9b 14b6;当 0b14b6.又 b14+b6=b1q13+b1q5,由 a13+a9-(b14+b6)=2b1q9-b1q13-b1q5,=-b1q5(q8-2q4+1)=-b1q5(q4-1)20,则有 a13+a9b 14+b6.综上可得,A,B,C 均错,D 正确.答案:D15.(2015 江西宜春高安四校一模 ,文 15,数列的通项公式,填空题) 数列a n中相邻两项 an 与 an+1 是方程 x2+3nx+bn=0 的两根,已知 a10=-13,则 b21 等于 . 解析: an 与 an+1 是方程 x2
29、+3nx+bn=0 的两根, an+an+1=-3n,anan+1=bn.由 an+an+1=-3n,an+1+an+2=-3(n+1), an+2-an=-3,可得 n 为奇数、偶数时分别成等差数列,由 a10=-13, a22=-13+6(-3)=-31. a21=-321-(-31)=-32. b21=a21a22=-31(-32)=992.答案:99217.(2015 山西太原五中二模,文 17,数列的通项公式,解答题) 已知数列a n的奇数项是首项为 1,公差为d 的等差数列,偶数项是首项为 2,公比为 q 的等比数列.数列a n前 n 项和为 Sn,且满足S3=a4,a3+a5=2
30、+a4.(1)求 d 和 q 的值;(2)求数列a n的通项公式和前 n 项和 Sn.解:(1)由题意得 a1=1,a2=2,又 S3=a4,a3+a5=2+a4, 1+2+3=4,3+5=2+4. 1+2+1+=2,1+1+2=2+2,即 4+=2,2+3=2+2,解得 d=2,q=3.(2)当 n 为奇数时,S n=(a1+a3+an)+(a2+a4+an-1)=+12(1+)2 +2(1-12)1-=+141+1+(+12-1)2+2(1-3-12)1-3= -1.(+1)24 +3-12当 n 为偶数时,S n=(a1+a3+an-1)+(a2+a4+an)=2(1+-1)2 +2(1
31、-2)1-=41+1+(2-1)2+2(1-32)1-3= -1.24+322.(2015 甘肃嘉峪关一中三模 ,文 2,数列的通项公式,选择题) 等差数列a n的前 n 项和为 Sn,已知a5=8,S3=6,则 a9=( )A.8 B.12 C.16 D.24解析:设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d,则 解得 a1=0,d=2,5=1+4=8,3=31+3=6,所以 a9=a1+8d=0+82=16.答案:C19.(2015 甘肃嘉峪关一中三模 ,文 19,数列的通项公式,解答题) 公差不为零的等差数列a n中,a 3=7,又a2,a4,a9 成等比数列.(1)求数列a n的通项公式
32、.(2)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和 Sn.2解:(1)设数列的公差为 d,则 a3=7,又 a2,a4,a9 成等比数列 . (7+d)2=(7-d)(7+6d). d2=3d. d0, d=3. an=7+(n-3)3=3n-2,即 an=3n-2.(2) bn= , bn=23n-2,2 =8.+1=23+123-2 数列b n是等比数列. b1= =2, 数列b n的前 n 项和 Sn= .21 2(8-1)717.(2015 黑龙江哈尔滨六中四模 ,文 17,数列的通项公式,解答题) 已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,已知 S10=55,且 a2,a4,a8 成
33、等比数列 .(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn= ,求 b3+b7+b11+b4n-1 的值.解:(1)由 10=55,24=28,得 101+45=55,(1+3)2=(1+)(1+7),解得 a1=d=1,故 an=a1+(n-1)d=n.(2) Sn= , bn= ,则 b4n-1=2n.(+1)2 =+12 b3+b7+b11+b4n-1=2+4+6+2n= =n2+n.(2+2)213.(2015 黑龙江哈尔滨三中四模 ,文 13,数列的通项公式,填空题) 在等比数列a n中,a 1=8,a4=a3a5,则a7= . 解析:设等比数列a n的公比为 q, a1=8,a4=a
34、3a5, 8q3=8q28q4,化为(2q) 3=1,解得 q= .12 a7=8 .(12)6=18答案:1818.(2015 江西三县部分高中一模 ,文 18,数列的通项公式,解答题) 若数列a n满足 a1=2,an+1= .3+1(1)设 bn= ,问:b n是否为等差数列?若是,请说明理由并求出通项 bn;1(2)设 cn=anan+1,求c n的前 n 项和.解:(1) an+1= ,bn= ,3+1 1 bn+1-bn= =3.1+11 bn是公差为 3 的等差数列.又 b1= , bn=3n- .11=12 52(2) bn= , an= .1 26-5由 an+1= ,得 3
35、an+1an+an+1=an.3+1 anan+1= (an-an+1).13 cn= (an-an+1).13 cn的前 n 项和为Sn= (a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)13= (a1-an+1)13= .13(2- 26+1)=46+110.(2015 吉林实验中学六模,文 10,数列的通项公式,选择题) 已知 a1=1,an+1= ,则数列a n的通项3+1为 an= ( )A. B.2n-112-1C. D.3n-213-2解析: an+1= , 3an+1an=an-an+1.3+1两边同除以 an+1an 得 3= ,1+11由 a1=1, =1.11 数列 是
36、首项为 1,公差为 3 的等差数列.1 =1+3(n-1)=3n-2.1 an= .13-2答案:C16.(2015 山西太原外国语学校 4 月模拟,文 16,数列的通项公式,解答题) 已知数列a n满足+ (32n-1),nN *.11+22 =38(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=log3 ,求 + . 112+123 1+1解:(1) (32-1)=3,11=38当 n2 时, =(11+22+)(11+22+-1-1)= (32n-1)- (32n-2-1)=32n-1,38 38当 n=1 时, =32n-1 也成立, an= . 32-1(2) bn=log3 =-(2
37、n-1), .1+1= 1(2-1)(2+1)=12( 12-1- 12+1) +112+123 1+1= .12(1-13)+(13-15)+( 12-1- 12+1)= .12(1- 12+1)= 2+111.(2015 黑龙江绥化一模,文 11,数列的通项公式,选择题) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,a1=1,当n2 时,a n+2Sn-1=n,则 S2 015 的值为( )A.2 015 B.2 013 C.1 008 D.1 007解析: 当 n2 时,a n+2Sn-1=n, an+1+2Sn=n+1,两式相减得 :an+1+2Sn-(an+2Sn-1)=n+1-n,即 a
38、n+1+an=1,n2,当 n=2 时,a 2+2a1=2,解得 a2=2-2a1=0,满足 an+1+an=1,则当 n 是奇数时,a n=1,当 n 是偶数时,a n=0,则 S2 015=1 008.答案:C14.(2015 甘肃张掖二模,文 14,数列的通项公式,填空题) 数列 an满足 a1=3, =5(nN *),则 an= .1+11解析: 所给的数列的递推式为 =5,1+11 数列 是一个公差是 5 的等差数列.1 a1=3, .11=13 数列的通项是 +5(n-1)= +5n-5=5n- .1=11 13 143 an= .315-14答案:315-146.2 等差数列80
39、 等差数列的性质1.(2015 山西太原一模,文 3,等差数列的性质 ,选择题) 在单调递增的等差数列 an中,若 a3=1,a2a4= ,34则 a1= ( )A.-1 B.0 C. D.14 12解析:在等差数列a n中,a 3=1,a2a4= ,34则由等差数列的通项公式 a3=a1+2d=1,(a1+d)(a1+3d)= ,34 d= ,a1=0.12答案:B4.(2015 江西吉安一模,文 4,等差数列的性质 ,选择题) 在等差数列 an中,首项 a1=0,公差 d0,若ak=a1+a2+a3+a7,则 k=( )A.22 B.23 C.24 D.25解析: 数列a n为等差数列,
40、且首项 a1=0,公差 d0,又 ak=(k-1)d=a1+a2+a3+a7=7a4=21d,故 k=22.答案:A9.(2015 江西鹰潭二模,文 9,等差数列的性质 ,选择题) 已知各项不为 0 的等差数列a n满足 a3-2 +3a7=0,数列 bn是等比数列 ,且 b6=a6,则 b1b7b10 等于( )26A.1 B.2 C.4 D.8解析:根据等差数列的性质得 :a3+a7=2a5,a5+a7=2a6,a3-2 +3a7=0 变为:2a 5+2a7-2 =0,即有 2a6= ,26 26 26解得 a6=2,a6=0(舍去),所以 b6=a6=2.则 b1b7b10=b2b6b1
41、0= =8.36答案:D8.(2015 黑龙江大庆一模,文 8,等差数列的性质,选择题) 若a n为等差数列,S n 是其前 n 项和,且 S11= ,则223tan a6 的值为( )A. B.- C. D.-3 3 333解析: S11= =11a6= .11(1+11)2 223 a6= . tan a6=- .23 3答案:B6.(2015 江西上饶三模,文 6,等差数列的性质 ,选择题) 已知数列 an为等差数列,前 n 项和为 Sn,若a7+a8+a9= ,则 cos S15 的值为( )6A.- B. C. D.-12 12 32 32解析: 数列a n为等差数列, a7+a8+
42、a9= ,6 3a8= . a8= .6 18 S15= =15a8= .15(1+15)2 56 cos S15=cos =- .56 32答案:D5.(2015 江西新余二模,文 5,等差数列的性质 ,选择题) 等差数列 an中的 a1,a4 025 是函数 f(x)= x3-134x2+6x-1 的极值点,则 log2a2 013 为( )A.2 B.3 C.4 D.5解析:f(x)=x 2-8x+6, a1,a4 025 是函数 f(x)= x3-4x2+6x-1 的极值点,13 a1,a4 025 是方程 x2-8x+6=0 的两实数根,则 a1+a4 025=8.而a n为等差数列
43、, a1+a4 025=2a2 013,即 a2 013=4,从而 log2a2 013=log24=2.答案:A4.(2015 山西太原山大附中高三月考 ,文 4,等差数列的性质,选择题) 在等差数列a n中,有 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列的前 13 项和为( )A.24 B.39 C.52 D.104解析: 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,利用等差数列的性质可得,6a 4+6a10=48. a1+a13=a4+a10=8. S13= =52.13(1+13)2答案:C16.(2015 甘肃兰州一中三模,文 16,等差数列的性质,填空题) 已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为 a2 a3 a4,则该三角形的面积为 . 解析: an是等差数列, a=0,Sn=n2. a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为 ,由余弦定理 ,得 cos =- ,12 =120. 该三角形的面积 S= 35sin 120= .12 1534答案:15345.(2015 甘肃庆阳一诊,文 5,等差数列的性质 ,选择题) 在等差数列 an中,a 2+a6= ,则 sin =( )32 (24-3)A. B. C.- D.-32 12 32 12解析:
