1、第六章数列6.1 数列的概念与表示专题 2 数列的通项公式(2015 江西师大附中、鹰潭一中模拟,数列的通项公式,选择题,理 8)定义:在数列a n中,若满足=d(nN *,d 为常数),称a n为“ 等差比数列”.已知在“等差比数列”a n中,a 1=a2=1,a3=3,则等于( )A.42 0152-1 B.42 0142-1C.42 0132-1 D.42 0132解析:由题意,d=3-1=2,=1, =1+2(n-1)=2n-1.利用累乘法可得=42013 2-1.答案:C(2015 江西重点中学协作体二模,数列的通项公式,填空题,理 14)已知数列 an满足 an+1=(nN *),
2、若a1=,则 a2 015= . 解析: an+1=(nN *),a1=, a2=3,a3=-2,a4=-,a5=,a6=3, 数列a n满足 an=an+4. 2015=5034+3, a2015=a3=-2.答案:-26.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的概念与运算(2015 江西重点中学协作体二模,等差数列的概念与运算,选择题,理 5)已知函数 f(x)=x2-2x+4,数列an是公差为 d 的等差数列,若 a1=f(d-1),a3=f(d+1),则a n的通项公式为( )A.2n-2 B.2n+1 C.2n+3 D.n+2解析: f(x)=x2-2x+4, a1=f(d-
3、1)=(d-1)2-2(d-1)+4=d2-4d+7,a3=f(d+1)=(d+1)2-2(d+1)+4=d2+3. a3-a1=4d-4,即 2d=4d-4,解得 d=2. a1=3, an=3+2(n-1)=2n+1.答案:B专题 2 等差数列的性质(2015 江西重点中学协作体一模,等差数列的性质,选择题,理 6)已知数列 an各项均为正数,且满足log3an+1=log3an+1(nN *),且 a2+a4+a6=3,则 log3(a5+a7+a9)的值是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析: log3an+1=log3an+1(nN *), log33an=log3an+1,得
4、an+1=3an,则数列a n为等比数列,公比 q=3.则 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=333=34,则 log3(a5+a7+a9)=log334=4.答案:C(2015 江西重点中学协作体二模,等差数列的性质,选择题,理 3)已知等比数列 an的各项都是正数,且 3a1,a3,2a2 成等差数列,则=( )A.1 B.3 C.6 D.9解析:设各项都是正数的等比数列 an的公比为 q(q0),由题意可得 2a3=3a1+2a2,即 q2-2q-3=0,解得 q=-1(舍去 ),或 q=3.故=q 2=9.答案:D专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值(2015 江西上饶一
5、模 ,等差数列前 n 项和公式与最值,填空题,理 15)已知等差数列 an的首项为 a1,公差为 d,其前 n 项和为 Sn,若直线 y=a1x 与圆(x-2) 2+y2=4 的两个交点关于直线 x+y+d=0 对称,则 Sn= .解析: 直线 y=a1x 与圆(x-2) 2+y2=4 的两个交点关于直线 x+y+d=0 对称, 直线 x+y+d=0 过圆( x-2)2+y2=4 的圆心(2,0), 2+d=0,解得 d=-2.又直线 x+y+d=0 的斜率是- 1, a1=1, Sn=na1+d=2n-n2.答案:2n-n 2(2015 江西三县部分高中一模,等差数列前 n 项和公式与最值,
6、选择题,理 7)已知数列 an中,a1=2,an+1-2an=0,bn=log2an,那么数列b n的前 10 项和等于 ( )A.130 B.120 C.55 D.50解析:在数列a n中,a 1=2,an+1-2an=0,即=2. 数列a n是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, an=22n-1=2n. bn=log22n=n. 数列b n的前 10 项和为 1+2+10=55.答案:C(2015 江西重点中学十校二模联考,等差数列前 n 项和公式与最值,选择题,理 3)已知等差数列 an前 n 项和为 Sn,a4=2,S10=10,则 a7 的值为( )A.0 B.1 C.2 D.3
7、解析:设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d.由 a4=2,S10=10,得解得 a7=4+6=0.答案:A6.3 等比数列及其前 n 项和专题 3 等比数列前 n 项和公式(2015 沈阳四校联考模拟 ,等比数列前 n 项和公式,选择题,理 4)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若=3,则=( )A.2 B. C. D.3解析:设公比为 q,则=1+q 3=3. q3=2, .答案:B6.4 数列求和专题 1 分组求和与并项求和(2015 沈阳四校联考模拟 ,分组求和与并项求和,解答题,理 21)已知单调递增的等比数列 an满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4
8、 的等差中项.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn=an+loan,Sn=b1+b2+bn,求 Sn.解:(1)设等比数列 an的首项为 a1,公比为 q. a3+2 是 a2,a4 的等差中项, 2(a3+2)=a2+a4.代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8, a2+a4=20.解得 数列a n单调递增, 舍去 an=2n.(2) an=2n, bn=an+loan=an-n, Sn=2n+1-2-.(2015 江西重点中学十校二模联考,分组求和与并项求和,选择题,理 11)已知数列 an共有 9 项,其中,a1=a9=1,且对每个 i1,2,8, 均有,记 S=+,则 S
9、的最小值为( )A.5 B.5 C.6 D.6解析:令 bi=(1i8),则对每个符合条件的数列a n满足 bi=1,且 bi,1i8.反之,由符合上述条件的八项数列b n可唯一确定一个符合题设条件的九项数列 an.由题意知 bi(1i8)中有 2k 个-,2k 个 2,8-4k 个 1,且 k 的所有可能取值为 0,1,2.对于三种情况,当 k=2 时,S 取到最小值 6.答案:专题 3 裂项相消求和(2015 江西上饶一模 ,裂项相消求和,解答题,理 17)已知数列 an的前 n 项和 Sn=2an-32n+4(nN *).(1)证明:数列是等差数列;(2)设 bn=,求数列 bn的前 n
10、 项和 Tn.(1)证明: Sn=2an-32n+4(nN *), n=1 时,a 1=S1=2a1-6+4,解得 a1=2.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2an-32n+4-(2an-1-32n-1+4),化为 an=2an-1+32n-1,变形为, 数列是等差数列,首项为=1, 公差为.(2)解:由(1)可得=1+(n-1)=, bn=, 数列b n的前 n 项和 Tn=+.(2015 江西师大附中、鹰潭一中模拟,裂项相消求和,解答题,理 17)在ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c,满足 b2+c2=bc+a2.(1)求角 A 的大小;(2)已知等差数列a n的
11、公差不为零,若 a1cos A=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求的前 n 项和 Sn.解:(1) b2+c2-a2=bc, , cosA=. A(0,), A=.(2)设a n的公差为 d, a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列, a1=2,且=a 2a8. (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且 d0,解得 d=2, an=2n. , Sn=+=1-.(2015 沈阳四校联考模拟 ,裂项相消求和,解答题,理 19)数列 an的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列b n满足 b1+S4=0,b9=a1.(1)求数列a n,bn的通项
12、公式;(2)若 cn=,求数列c n的前 n 项和 Wn.解:(1) an 是 Sn 和 1 的等差中项, Sn=2an-1.当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1, an=2an-1.当 n=1 时,a 1=1. 数列a n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, an=2n-1. Sn=2n-1.设b n的公差为 d,b1=-S4=-15,b9=a1=-15+8d=1, d=2. bn=2n-17.(2)cn=, Wn=+.6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相结合问题(2015 江西南昌十所省重点中学高考模拟,数列与不等式相结
13、合问题,填空题,理 16)等比数列 an的公比 0+成立的正整数 n 的最大值为 . 解析:设首项为 a1,公比为 q,依题意有 (a1q16)2=a1q23, a1q9=1.则 a10,且 a1=q-9. an为等比数列, 是以为首项,为公比的等比数列.则不等式等价为. 0q1-n(1-qn), q-18q1-n, -181-n,即 n19. nN *, n 的最大值为 18.答案:18(2015 沈阳大连二模 ,数列与不等式相结合问题,解答题,理 17)已知两个数列 an,bn,其中a n是等比数列,且 a2=,a5=-,bn=(1-an).(1)求b n的通项公式;(2)设b n的前 n
14、 项和为 Sn,求证:S n.解:(1) an是等比数列 ,且 a2=,a5=-, q3=-, q=-. an=a2qn-2=. bn=.(2)证法一:S n=b1+b2+b3+bn=+.n 为奇数时,S n=;n 为偶数时,S n=.综上,S n.证法二:S n=b1+b2+b3+bn=+.当 n3 时,S n=+.当 n=1 时,S 1=;当 n=2 时,S 2=;综上:S n.(2015 江西三县部分高中一模,数列与不等式相结合问题,解答题,理 19)已知数列 an满足 a2=5,且其前 n 项和 Sn=pn2-n.(1)求 p 的值和数列a n的通项公式;(2)设数列b n为等比数列,公比为 p,且其前 n 项和 Tn 满足 T5S5,求 b1 的取值范围.解:(1)由题意,得 S1=p-1,S2=4p-2.因为 a2=5,S2=a1+a2,所以 S2=4p-2=p-1+5,解得 p=2.所以 Sn=2n2-n.当 n2 时,由 an=Sn-Sn-1,得 an=(2n2-n)-2(n-1)2-(n-1)=4n-3.验证知 n=1 时,a 1 符合上式,所以 an=4n-3,nN *.(2)由(1),得 Tn=b1(2n-1).因为 T5S5,所以 b1(25-1)252-5,解得 b1.又因为 b10,所以 b1 的取值范围是(- ,0).
