1、第四章三角函数、解三角形4.2 三角函数的图象与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值(2015 银川二中高三一模 ,三角函数的定义域、值域、最值,选择题,理 9)若函数 f(x)=2sin x(0)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值,则 的取值范围是( )A. B.C. D.解析:依题意,0,0)的部分图象如图所示 ,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)的值为( )A.0 B.3 C.6 D.-解析:利用三角函数图象得解析式 .由图象可得周期 T=8,则 =,又 A=2,所以 f(x)=2sinx,则 f(1)+f(2)+f(8)=0,所以 f(1)+f(2)+f(2
2、015)=-f(8)=-2sin2=0,故选 A.答案:A(2015 辽宁重点中学协作体高考模拟,三角函数的图象与变换,选择题,理 3)函数 f(x)=sin 所对应的图象向左平移个单位后的图象与 y 轴距离最近的对称轴方程为( )A.x= B.x=-C.x=- D.x=解析:依题意,当 2x+=k,即 x=,kZ 时,y=f= cos 取得最值,因此所求的直线方程是 x=-,故选 B.答案:B(2015 辽宁东北育才高三第五次模拟,三角函数的图象与变换,选择题,理 9)将函数 y=sin 的图象向左平移个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( )A.y=2cos2x B.y=
3、2sin2xC.y=1+sin D.y=cos 2x解析:将函数 y=sin 的图象向左平移个单位,得到函数 y=sin=cos2x 的图象,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=cos2x+1 的图象,因为 y=cos2x+1=2cos2x,故选 A.答案:A专题 2 函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟二,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,填空题,理 13)函数 y=sin x+cos x 的单调递增区间是 . 解析:化简解析式后结合正弦函数的图象求解 .y=sinx+cosx=sin,x的单调递增区间即为 0x+与 x的交集,所以
4、单调递增区间为.答案:(2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 8)已知f(x)=3sin 2x+acos 2x,其中 a 为常数,f(x)的图象关于直线 x=对称,则 f(x)在以下区间上是单调函数的是( )A. B.C. D.解析:由题意知 f=,解得 a=,所以 f(x)=3sin2x+cos2x=2sin,当 x时,2x+,所以 f(x)在上是单调函数,故选 B.答案:B(2015 银川一中高三二模 ,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 9)若 f(x)=2cos(x+)+m,对任意实数 t 都有 f=f(-
5、t),且 f=-1,则函数 m 的值等于( )A.1 B.3C.-1 或 3 D.-3 或 1解析:依题意得 f(x)的图象关于直线 x=对称,于是有 f=2+m=-1,即 m=-3 或 m=1,故选 D.答案:D(2015 辽宁重点中学协作体高考模拟,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,解答题,理 17)已知函数f(x)=2cos(x+)的最小正周期为 ,点为它的图象的一个对称中心 .(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对应边,若 f,a=3,求 b+c 的最大值.解:(1) f(x)的最小正周期 T=, =2. 为 f(x)
6、的图象的对称中心, 2+=k+(kZ ),且 0a)上的函数 f(x)=sin x-cos x 的值域是 ,则 b-a 的最大值 M 和最小值 m 分别是( )A.m=,M= B.m=,M=C.m=,M=2 D.m=,M=解析:依题意得 f(x)=sin,在坐标平面内画出函数 y=f(x)的大致图象,结合图象可知,当函数 y=f(x)的值域是时,m=,M=2m=.故选 D.答案:D4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 3 两角和与差公式的应用(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟二,两角和与差公式的应用,填空题,理 16)底面是同一个边长为 a 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球
7、,它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面,球的半径为 R.设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ,则 tan(+)的值是 . 解析:利用几何体的性质求解 ,由题意可得三棱锥都是正三棱锥,且底面圆半径 r=a,底面圆心到正三角形的边的距离 d=r=a.设小正三棱锥的高为 h,hR,则 R2=r2+(R-h)2=a2+(R-h)2,得 h(2R-h)=a2,则tan(+)=-.答案:-4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值(2015 辽宁大连高三双基测试,三角函数式的化简、求值,填空题,理 13)若 sin =,则 cos 2= .解析:依题意得 cos2=1-2sin2=.答案:(
8、2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,三角函数式的化简、求值,选择题,理 11)坐标平面上的点集 S 满足 S=,将点集 S 中的所有点向 x 轴作投影,所得投影线段的长度为( )A.1 B. C. D.2解析:因为 2sin4y+2cos4y=2(1-2sin2ycos2y)=21,2, 所以 log2(x2-x+2)1,2,2x 2-x+24,解得 x-1,01,2, 所以投影长度为 2,故选 D.答案:D(2015 江西八所重点中学高三联考,三角函数式的化简、求值,填空题,理 15)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B
9、 的坐标为,AOC= ,若|BC|=1,则 cos2-sincos 的值为 . 解析:利用三角公式求解.由题意可得 BOC 为正三角形,则 B,又 B,所以 sin=-cos2-sincossin-cos-sin=sin=-sin.答案:4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟一,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B=,tan=-.(1)求角 C;(2)若 b-c=,求ABC 的面积.解:(1) B=, 0A, A+. tan=-, A+, A=. C=.(2) si
10、nB=,sinC=, b c=. b-c=, b=,c=.sinA=sin(B+C)=. SABC=bcsinA=.(2015 江西重点中学盟校高三第一次联考,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理 13)在ABC 中,a=3,b=2,A=30,则 cos B= . 解析:由正弦定理得,所以 sinB=,又因为 ba,所以 B30,cosB=.答案:(2015 东北三省四市教研联合体高三模拟二,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理 4)已知ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC 的面积为( )A. B.1 C. D.2解
11、析:利用正弦定理、余弦定理求解 .因为 b2+c2-a2=2bccosA=bc,所以 cosA=,因为 A(0,),所以 A=,所以ABC 的面积为 bcsinA=4,故选 C.答案:C(2015 银川二中高三一模 ,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)已知函数 f(x)=sin+2cos2x-1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间,并说明由 f(x)图象经过怎样的变换可得到 g(x)=sin 2x 的图象;(2)若在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a=1,b+c=2,f(A)=,求ABC 的面积.解:(1) f(x)=sin+2cos2x-1=sin
12、2x-cos2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin, 函数 f(x)的单调递增区间是(kZ).可将 f(x)的图象向右平移个单位得到 g(x)=sin2x 的图象.(2) f(A)=, sin,又 0A, 2A+, 2A+,故 A=.在ABC 中, a=1,b+c=2,A=, 1=b2+c2-2bccosA,即 1=4-3bc, bc=1, SABC=bcsinA=.(2015 辽宁东北育才高三第五次模拟,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)已知ABC是斜三角形,内角 A,B,C 所对的边的长分别为 a,b,c.若 csin A=acos C.(1)求角 C;(2)若
13、c=,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求 ABC 的面积.解:(1)由正弦定理,得 csinA=asinC, csinA=acosC, asinC=acosC, tanC=, C(0,), C=.(2) sinC+sin(B-A)=5sin2A,C=,且 sinC=sin(A+B), sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A, 2sinBcosA=25sinAcosA, ABC 为斜三角形, cosA0, sinB=5sinA,由正弦定理可知 b=5a,由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 21=a2+b2-2ab.由 解得 a=1,b=5. SABC=a
14、bsinC=15.(2015 东北三省三校高三二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理 15)ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列,若 sin B=,cos B=,则 a+c 的值为 . 解析:依题意得 cosB=,ac=13,b2=ac=13,由余弦定理得 b2=13=a2+c2-2accosB,即(a+c) 2-2ac(1+cosB)=13,(a+c)2-213=13,(a+c)2=63,所以 a+c=3.答案:3专题 3 测量距离、高度及角度问题(2015 银川一中高三二模 ,测量距离、高度及角度问题,解答题,理 17)如图,在海岛 A
15、 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北偏东30,俯角为 30的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60,俯角为 60的 C 处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?解:(1)在 RtPAB 中,APB=60,PA= 1, AB=(千米).在 RtPAC 中,APC=30, AC=(千米) .在ACB 中,CAB=30+60=90, BC=.=2(千米/时) .(2)DAC=90- 60=30,sinDCA= sin(180-ACB)=sinACB=.sinCDA= sin(ACB-30)=sinACBcos30- cosACBsin30=.在ACD 中,据正弦定理得,解得 AD=. 此时船距岛 A 为千米.
