1、第十二章概率与统计12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率(2015 江西上饶一模 ,古典概型的概率,选择题,理 6)将 1,2,3,4 四个数字随机填入如图所示的 22 方格中,每个方格中恰填一数字,但数字可重复使用.试问事件“A 方格的数字大于 B 方格的数字且 C方格的数字大于 D 方格的数字 ”的概率为( )A. B. C. D.解析:根据题意,在题图中的四个方格中填入数字的方法种数共有 44=256 种.对于 A,B 两个方格,可在1,2,3,4 中的任选 2 个,大的放进 A 方格,小的放进 B 方格,有=6 种情况;对于另外两个方格,每个方格有 4 种情况,则共有 4
2、4=16 种情况 ;则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的不同的填法共有 166=96 种.则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 P=.同理 C 方格的数字大于 D 方格的数字的概率为 P=, A 方格的数字大于 B 方格的数字且 C 方格的数字大于 D 方格的数字的概率为.答案:B专题 2 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等 )(2015 江西新余一中高考模拟,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等), 选择题,理 10)已知函数 f(x)=cos,a 为抛掷一颗骰子所得的点数,则函数 f(x)在0,4 上零点的个数小于 5 或大于 6 的
3、概率为( )A. B. C. D.解析:函数 f(x)=cos 的周期为 T=. 函数 f(x)在0,4 上零点的个数小于 5 或大于 6, a=1,2,3,5,6,共计 5 个.故函数 f(x)在0,4 上零点的个数小于 5 或大于 6 的概率为.答案:B专题 3 几何概型在不同测度中的概率(2015 江西南昌十所省重点中学高考模拟,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理 9)设 k 是一个正整数,的展开式中第四项的系数为,记函数 y=x2与 y=kx 的图象所围成的阴影部分为 S,任取 x0,4,y0,16,则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 ( )A. B. C. D.解析:根据题
4、意得,解得 k=4 或 k=(舍去).解方程组解得 x=0 或 4. 阴影部分的面积为(4x-x 2)dx=.任取 x0,4,y0,16,则点(x,y)对应区域面积为 416=64,由几何概型概率求法得点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为.答案:C(2015 江西新余一中高考模拟,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理 14)向曲线 x2+y2-4x-2y+3=0 内随机掷一点,则该点落在 x 轴下方的概率为 . 解析: x2+y2-4x-2y+3=0, (x-2)2+(y-)2=4,圆心(2,),半径为 2,面积为 22=4,根据几何图形得出:AB=2,PA=PB=2,APB=,弧长 l=
5、2,扇形 ABP 的面积为lr=2=,PAB 的面积为 22, 阴影部分的面积为.根据几何概率的计算公式得出:该点落在 x 轴下方的概率为.答案:(2015 沈阳大连二模 ,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理 13)如图,设抛物线 y=-x2+1 的顶点为A,与 x 轴正半轴的交点为 B,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为 M,随机往 M 内投一点,则点 P落在AOB 内的概率是 . 答案:(2015 江西三县部分高中一模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理 10)若任取 x,y(0,1,则点P(x,y)满足 y的概率为( )A. B. C. D.解析:由题意可得,x ,y(0,1)
6、 所对应区域是边长为 1 的正方形 ,面积为 1.记“点 P(x,y)满足 y” 为事件 A,则 A 包含的区域由确定的区域的面积为S=dx=. P(A)=.答案:D12.4 离散型随机变量的均值与方差专题 2 离散型随机变量的均值与方差(2015 江西重点中学协作体一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)近年来,我国许多城市雾霾现象频发,PM2.5( 即环境空气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物)是衡量空气质量的一项指标.据相关规定,PM2.5 日均浓度值不超过 35 微克/立方米空气质量为优,在 35 微克/立方米至 75 微克/立方米之间的空气质量为良 ,某
7、市环保局随机抽取了一居民区今年上半年中 30 天的 PM2.5 日均浓度监测数据,数据统计如下:组别 PM2.5 日均浓度(微克/立方米) 频数(天)第一组 (15,35 3第二组 (35,55 9第三组 (55,75 12第四组 (75,95 6(1)估计该样本的中位数和平均数;(2)将频率视为概率,用样本估计总体,对于今年上半年中的某 3 天,记这 3 天中该居民区空气质量为优或良的天数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX.解:(1)由已知得中位数为 55+20=60,平均数为 250.1+450.3+650.4+850.2=59.(2) 上半年中某一天的空气质量为优或良的概率为, X
8、N. P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=. X 的分布列为X0 1 2 3PX 的数学期望 EX=3=2.4.(2015 江西南昌十所省重点中学高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)近年来,随着地方经济的发展,劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业,因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒.今年春节过后,沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计(如表):省份 四川 河南 湖北 安徽人数 45 60 30 15为了更进一步了解员工的来源情况,该公司采用分层抽样的方法从上述四省务工人员中随机抽取 50名参加问卷调查.(1)
9、从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,求这两名来自同一省份的概率 ;(2)在参加问卷调查的 50 名务工人员中,从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名 ,用 表示抽得四川省务工人员的人数,求 的分布列和数学期望.解:(1)由题意知,从上述四省抽取的人数分别为 15,20,10,5.设“从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,这两名人员来自同一个省份”为事件 M,从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名的取法共有=1225 种,这两名人员来自同一省份的取法共有=350. P(M)=.(2)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名务工人员中,来自四川、湖北两省的人员人
10、数分别为 15,10.的可能取值为 0,1,2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=. 的分布列为: 0 1 2P E=0+1+2=1.2.(2015 江西新余一中高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1,2,3,4,5,现从盒子中随机抽取卡片.(1)从盒子中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回 ,求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率;(2)若从盒子中有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率 ;(3)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回 ,
11、当取到记有奇数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望.解:(1)因为 1,3,5 是奇数,2,4 是偶数,设事件 A 为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数”,所以 P(A)=.(2)设 B 表示事件“有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为奇数 ”.由已知,每次取到的卡片上数字为奇数的概率为,则 P(B)=.(3)依题意,X 的可能取值为 1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以 X 的分布列为X12 3PE(X)=1+2+3.(2015 江西重点中学十校二模联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 18)某校
12、从参加20142015 学年高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数) 的频率分布直方图如图所示.(1)估计这次测试数学成绩的平均分;(2)假设在90,100段的学生的数学成绩都不相同,且都超过 94 分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任意抽取 2 个数,有放回地抽取了 3 次,记这 3 次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为 ,求 的分布列及数学期望 E.解:(1)利用中值估算抽样学生的平均分:450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05=72, 估计这次考试
13、的平均分是 72 分.(2)从 95,96,97,98,99,100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 =15,有 15 种结果,学生的成绩在90,100段的人数是 0.0051080=4(人),这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是=6,两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 P=.随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,且变量符合二项分布, P(=k)=,k=0,1,2,3, 变量 的分布列为: 0 1 2 3P E=np=3.+1+2+3(2015 江西重点中学协作体二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理 19)4 月 15 日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始成
14、员国敲定 57 个,其中,亚洲国家 34 个,欧洲国家 18 个,非洲和大洋洲各 2 个,南美洲 1 个.18 个欧洲国家中 G8 国家有 5 个( 英法德意俄 ).亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构.假设理事会由 9 人组成,其中 3 人由欧洲国家等可能产生.(1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率;(2)设 X 表示这 3 人来自于 G8 国家的人数,求 X 的分布列和期望.解:(1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率:P=.(2)X 可能的取值为 0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X 的分布列为:X0
15、1 2 3PEX=0+1+2+3.专题 3 均值与方差在决策中的应用12.5 二项分布与正态分布专题 4 正态分布下的概率(2015 江西南昌十所省重点中学高考模拟,正态分布下的概率,选择题,理 4)已知随机变量 服从正态分布 N(0,2),P(2)=0.023,则 P(-22)= ( )A.0.997 B.0.954 C.0.488 D.0.477解析:由随机变量 服从正态分布 N(0,2)可知正态密度曲线关于 y 轴对称,而 P(2)=0.023,则 P(2)-P(a-2),则实数 a 的值为 4.(2)已知事件 A,B 是相互独立事件,若 P(A)=0.15,P(B)=0.60,则 P(
16、B)=0.51(表示事件 A 的对立事件).(3)的二项展开式中,共有 4 个有理项.(4)由曲线 y=3-x2和直线 y=2x 所围成的面积为.则其中真命题的序号是( )A.(1)(2) B.(1)(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)解析:对于(1), 随机变量 XN(1,52), P(X0)=P(X2). P(X0)=P(Xa-2), a-2=2,解得 a=4,即实数 a 的值为 4,故(1)正确;对于(2),事件 A,B 是相互独立事件,P(A) =0.15,P(B)=0.60,则 P(B)=P()P(B)=1-P(A)P(B)=0.850.60=0.51(表示事件 A
17、的对立事件),故(2)正确;对于(3),的二项展开式中,T r+1=()18-r(0r18),当 r=0,6,12,18 时,6-为整数,即的二项展开式中共有 4 个有理项,故(3) 正确;对于(4),由曲线 y=3-x2和直线 y=2x 所围成的图形如下,设阴影部分的面积为 S,由得 x2+2x-3=0,解得 x=-3 或 x=1,则 S=(3-x2-2x)dx=-(-9+9-9)=,故(4)正确.综上所述,其中真命题的序号是(1)(2)(3)(4) .答案:D(2015 江西新余一中高考模拟,正态分布下的概率,选择题,理 2)设随机变量 服从正态分布 N(3,7),若 P(a+2)=P(a+2)=P(a-2), a+2 与 a-2 关于 x=3 对称, a+2+a-2=6. 2a=6. a=3.答案:C
