1、研究生习题 2：2-7. 设 ， 为其一样本，而 ，)1,0(N),65432 2654231)()(试求常数 c，使得随机变量 服从 分布。c22-7 解：设 ，所以 321)3,0(1N，所以 6542 2所以 ， )1,0(31N)1,0(3)2(21221 由于 21因此 当 时， 。3c)2(2-8. 设 为 的一个样本，求 。 （参考数据：),(1021 )3.,(2N1024.iP）2-8 解：因为 ， 所以 ，).0,(),(21021 )1,0(3.N即有 3.01ii所以 124.iP10223.4.iiP10263.iiP10263.ii.92-14. 设总体 ，求 与
2、，其中 是样本容量为 16 的样)4,1(N20P20本均值。 （参考数据：）2-14 解： 20P)0(F)210()21(1)(38.1695.由于 ， 所以 4,N )1,0(2N20P10 2P)2(954.017.21)(2-17. 在总体 中随机抽取一容量为 100 的样本，问样本平均值与总体均值的差)20,8(N的绝对值大于 3 的概率是多少？（参考数据：）2-17 解：因为 ， 所以 ),(2 )1,0(2810N所以 380P381P3P22)5.1().1)5.1( 36.09.5.(2-25. 设总体 的密度函数为其 它012)(xxp取出容量为 4 的样本 ，求：,43
3、21（1） 顺序统计量 的密度函数 ；（2） 的分布函数 ；（3）)3()(xp)3()(xF。2)3(P2-25 解：（1）由 )(1)(!1)( xpxFknxp knkk 所以 当 时，0xtdtxxx22!4)(003 2522144xx即 统计量 的密度函数 为：)3()(3xp其 它010124253 x（2） 由于 当 时，10x 86253 34)()(dttxF所以 的分布函数 )3(11034)(863x（3） )2(12)3()3( FP 2564386习题 3：3-3. 已知总体 的分布密度为： )0(0);( xexp设 是容量为 n 的样本，试分别求总体未知参数的矩
4、估计量与 MIE . ),(21n3-3 解：矩法 由于 xxdeedxpE 00);(100xxxe令 所以 E1MIE 当 时，构造似然函数0xnii xnixeL11)(所以 令 nixL1l)(ln0)(l1nidL得 即 的极大似然估计量为ninix113-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取 50L 化验，每升水中大肠杆菌的个数（ 1L 水中大肠杆菌个数服从 Poisson 分布） ，化验结果如下：大肠杆菌数 / L 0 1 2 3 4 5 6升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？3-5 解
5、：由于 1L 水中大肠杆菌个数服从 Poisson 分布所以 )0(!)(exp所以 的估计量为 即有 1)04231020(51 所以 平均每升水中大肠杆菌个数为 1 的概率为最大。3-26. 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 。设炮口速度smS*是正态分布的，求这种炮弹的炮口速度的标准差 的 95%置信区间。 （参考数据：）3-26 解：设 则 ),(2N)1()(2*nS由 1)(12122nP得 的 的置信区间为：2 )(,)(2*21*nSnS将数据 ， ，81n 53.178)(975.021 n， 代入，得28)(025.2 *S的 95%置信区间为（55.
6、2 ，444.0） ， 即 的 95%置信区间为2 （7.4，21.1）.习题 4：4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量 在正常下服从 ，现在测了 5 炉铁水，)108.,54(2N其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37如果方差没有改变，问总体均值有无变化？（显著性水平 ） （参考数据：）.4-1. 解：检验问题 01005.4：；： HH由 且 为已知，所以 ),(2N210unxP即 检验问题的拒绝域为 计算得：210unx 364.51ix有 而 ， 85.31.0.436nx 9.75.02.1u即有 成立， 故 拒绝 ，即 认为总体均值有变化。21u0H4-
7、2. 设某厂一台机器生产的纽扣，据经验其直径服从 ， 。为检验这台),(2N.5机器生产是否正常，抽取容量 n =100 的样本，并由此算得样本均值 ，问该6x机器生产的纽扣的平均直径为 ，这个结论是否成立？（显著性水平 ）26 1.0（参考数据：）4-2. 解：检验问题 0100 ：；： HH由 且 为已知，所以 ),(2N210unxP即 检验问题的拒绝域为 由 ， ， n 210unx56.2.=100得 而 ， 08.12.560nx 4.195.021.1u即有 ， 故 接受 ，即 认为这个结论是成立的。021u0H4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布，长期以来，其抗拉
8、强度平均为 52.00。现改变炼钢的配方，利用新法炼了 7 炉钢，从这 7 炉钢生产的钢筋中每2mkg炉抽一根，测得其强度分别为： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高？（显著性水平 ）05.（参考数据：）4-11. 解：检验问题 010052：；： HH由 且 为未知，所以 ),(2N )17(*0tnSxP即 检验问题的拒绝域为 计算得 ， )6(1*0tnSx 136.5271ix， n =77.2)(71*ii得 3.0.2516*0nSx而 ， 942.1)()()(95.005.11 t
9、tt即有 ， 故 接受 ，即 认为强度均值无明显偏高。nSx*61t0H4-37. 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的 粒子数 ，共观察了 100 次，得结果如下表所示：i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 i1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 100其中 是观察到有 i 个 粒子的次数。从理论上来考虑知 服从 Possion 分布i ),210(!ieiPi问：这理论考虑是否符合实际？（显著性水平 ） （参考数据：）5.4-37. 解：检验问题 服从 Possion 分布 （在显著性水平 下）：0H0.1n2.410ix由公式，
10、得 7,10!. ieiPpii并计算 的观测值，见下表： 701,98ii2iiipipnipn)(20 1 0.0150 1.50 0.16671 5 0.0630 6.30 0.26832 16 0.1323 13.23 0.57803 17 0.1852 18.52 0.12484 26 0.1944 19.44 2.21395 11 0.1633 16.33 1.73976 9 0.1143 11.43 0.51667 9 0.0686 6.86 0.66768 29 110 211 16.39 0.0238100 1 100 6.2994即 检验统计量 的观测值为： 2294.6)
11、(2ipn而 亦即 07.1)(19()( 295.0205.21 rk )7(205.1故 接受 ，即 认为理论考虑符合实际。0H4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取 11 根，并测得它们的直径（mm ）如下：10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49试用 W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平 ）05.（参考数据：）4-45. 解：数据的顺序统计量为：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.8
12、2的计算如下表：Lk )(kx)1(kn)(1(knx)(ka)(1()knkx1 10.18 10.82 0.64 0.5601 0.35852 10.32 10.77 0.45 0.3315 0.14923 10.38 10.67 0.29 0.2260 0.06554 10.41 10.64 0.23 0.1429 0.03295 10.49 10.59 0.10 0.0695 0.0070所以 ， 613.0)()1(1)knkxaL又 ， 得 5264.0x 897.)(12ii故 ， 又 当 n = 11 时，98.0)(12iixLW85.0.W即有 ， 从而 接受正态假设，亦即
13、 零件直径服从正态分布。05.4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标波动的情况，从这两个车间连续 15 天取得反映波动大小的数据如下表：0639.甲 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 1.57乙 1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 1.95在 下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动05.性情况的分布重合” 。 （参考数据：）4-47. 解： 在 下， 检验假设 . )()(
14、21210 xFHxFH：；：甲 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 1.57乙 1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 1.95符号 由上表知： ，2,1n13n查 ， 的符号检验表， 得 临界值 ，3n05.5.2S而 ， 即： ， 故 拒绝,miS0H即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同4-51. 对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单位：小时）如下表所示：甲 7 26 10
15、 8 27 30 25 35乙 3 150 42 84 72 28 101 29在显著性水平 下，用游程检验法（两种方法）检验这两种维修方案是否有一05.种维修方案显著地优于另一种方案？ （参考数据：）4-51. 解：（）基于游程总个数 R 的检验法设 甲仪器失效时间 服从分布 ，乙仪器失效时间 服从分布 。)(1xF)(2xF检验问题 )(210H：将 、 混排（ 的样本值带下划线）得：3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150即 游程总个数 R = 5 而 当 ， 时，21n0.605.,1R所以 ， 05.,故 拒绝 ，认为这两种维修方案
16、有一种维修方案显著地优于另一种方案。H习题 5：5-4合成纤维的强度 与其拉伸倍数 x 有关，测得试验数据如下：)(2mkgix2.0 2.5 2.7 3.5 4.0 4.5 5.2 6.3 7.1 8.0 9.0 10.0iy1.3 2.5 2.5 2.7 3.5 4.2 5.0 6.4 6.3 7.0 8.0 8.1（1） 求 对 的回归直线方程；x（2） 检验回归直线的显著性( )；05.（3） 求 时， 的预测值及预测区间（置信度为 ） 。600 95.01（参考数据：）5-4解：（1）计算得 ， ， ，18.42ix4.52ix71.42iy， ，37iy63iy所以 .7822xn
17、lix 49.1458yiy0369.263.22li有 , 85.0.7496xylb 1342.0582.71.4xbya故 对 的回归直线方程为： 。6.032.(2) 检验假设 . 用 F 检验法：0bH：， .5867822xRlS73113.ye得 4.08.2)()(eRSnF而 即 96.,2,05.11 )10,(5.F所以 拒绝 ，即 认为线性回归效果显著。0H(3) 当 时， 的预测值为：60x392.68.01342.0y的 的预测区间为：95.1)(x而 ， 436.0187.23.nSe 281.)()205.11tnt所以 01.26.78)45(12.4360)
18、(1)2()(210 xlntx故 所求预测区间为：（4.2992 , 6.3192）.5-5.某建材实验室在作陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量 x (kg)对28 天后的混凝土抗压强度 的影响，测得数据如下：)(2cmkgix150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260iy56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7（1）求 对 的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加 1kg 水泥时，可提高x的抗压强度是多少？（2）检验线性回归效果的显著性( )；
19、05.（3）求回归系数 b 的区间估计（置信度为 ） ；9.1（4）求 时， 的预测值及预测区间（置信度为 ） 。kgx250095.01（参考数据：）5-5. 解：解：（1）计算得 ， ， 58602ix2ix，6.72iy， ，182943iyx4.722iy所以 1305560nlix 6.yxiy有 , 304.17xlb 28.10534.720xbya故 对 的回归直线方程为： 。.81而 ， ， xxy304.28)( )1(3042)(xy所以 每立方米混凝土中增加 1kg 水泥时，可提高的抗压强度是：.)1（2）检验假设 . 用 T 检验法：0bH：由 72.136.284.
20、6572ynliy*Se.0lbxy得 0174.81436.0* xlbt而 2.)()2()2(975.0975.1ttnt即有 2所以 拒绝 ，即 认为线性回归效果显著。0H（3）由于 的 置信区间为： b1 )2(*1xlntb所以 当 时，有：5.)034.(975. x)12.,.()086.34.( )14306.8.1*97xlt（4）当 时， 的预测值为250x.7530.0y由于 的 预测区间为：01 )(,)(00xy12,)()2( 210210 xx lntlnty 所以 当 时，有：5.094.1 1430)25(8.46)()()( 202xltx即得 所求预测区
21、间为： 。)7.9,5.(5-14. 在彩色显影中，根据以往的经验，形成染料光学密度 与析出银的光学密度 之间x有下面类型的关系：)0(baeyx通过 11 次试验得到下面数据：ix0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.47iy0.10 0.14 0.23 0.37 0.59 0.79 1.00 1.12 1.19 1.25 1.29求未知参数 a、b 的估计值，并求回归方程的残差平方和。5-14. 解：两边对 取对数，有： ，xeyxbayln作变换 ， ， 得 yzlnxtaA1,lbtAz将数据整理如下表：计算得： ； ；
22、947.1itt 731.61iz；58.49)(11 iiiiizt ttztl61.30)12212iiit tttl所以 ； 4.68.34059tzlb 532.0tbzA得 t12.换 txeayAz 1,73.,故得 回归方程为： ey46.0.且 回归方程的残差平方和为： .06)(12iiyS习题 6：6-2. 现有某种型号的电池 3 批，它们分别是甲、乙、丙 3 个厂生产的，为评论其质量，各随机抽取 5 只电池为样品，经试验得其寿命（h）如下表所示：工厂 寿 命甲乙丙402639483440383043422850453250试在显著性水平 下，检验电池的平均寿命有无显著差异
23、。 （略：若差异05.是显著的，检验哪些工厂之间有显著差异，并求 、 和 的 95%置213132信区间。 ） （参考数据：）ix0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.47iy0.10 0.14 0.23 0.37 0.59 0.79 1.00 1.12 1.19 1.25 1.29iixt120 16.67 14.29 10 7.143 5 4 3.226 2.632 2.325 2.128iiyzln-2.302 -1.966 -1.429 -0.994 -0.528 -0.236 0 0.113 0.174 0.223 0
24、.2556-2. 解：检验问题 3210：H工厂 寿 命 iT2i或 i2iSn甲 40(1600 482304 381444 421764 452025 213 45369 42.6 63.2乙 266763411563090028784321024 150 22500 30 40丙 391521401600431849502500502500) 222 49284 44.4 113.2r =3 n =15 =585T394.21631iieSnTSniji2315821536476052231iiA4.1.658ATeS所以 07.)3(4.21)(rnFe而 89.3)12,(5, 95
25、.005.1 FF即： 故 拒绝 ，即 认为电池的平均寿命有显著差异95.0H方差分析表如下：方差来源 平方和 S 自由度 f 均方和 SF 值 显著性因素 615.6 2 307.8误差 216.4 12 18.0317.07 *总和 832 14或 ， ，4.21631iieSn832)(315ijiTS68eTA所以 07.1)35(4.216)(rnSFe而 89.3)12,(, 95.00.1 FF即： 故 拒绝 ，即 认为电池的平均寿命有显著差异95.0F0H6-3. 用 3 种不同的小球测定引力常数的试验结果如下表所示（单位： ）：210kgmN铂金玻璃6.6616.6836.6
26、786.6616.6816.6716.6676.6766.6756.6676.6786.6726.6646.6796.6746.672试问：不同小球对引力常数的测定有无显著影响？（显著性水平 ）01.（略：并求并求 、 和1213的 95%置信区间。 ） （参考数据：）326-3. 解：检验问题 3210：H元素 引力常数 iT2i或 i2iSn铂 6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 33.32 1110.22 6.664 0.000036金 6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 40.068 1605.45 6.678 0.00007
27、5玻璃 6.678 6.671 6.675 6.672 6.674 33.37 1113.56 6.674 0.000030r =3 n =16 =T106.758 672.014.32iieSnTSniji2315079.568.5231iiA014.ATeS所以 2.6)3(.58)(rnFe而 7.6)13,(1,19.00.1 FF即： 95.0F故 拒绝 ，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响H或 ， ，014.312iieSn 079.)(3152ijijTS68.04.79.eTA所以 2.6)31(04.58)(rnSFe而 7.6)13,(,19.0. FF即： 95.
28、0故 拒绝 ，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响H方差分析表如下：方差来源 平方和 S 自由度 f 均方和 SF 值 显著性因素 0.000568 2 0.000284误差 0.000141 13 0.0000108526.2 *总和 0.000709 156-15. 选矿用的油膏的配方对矿石回收率有很大影响，为了提高回收率，分别选取油膏的3 种成分的 2 种水平，所选因素、水平如下表所示：因素水平A机油B蓖麻油C石蜡1260%50%10%8%12%6%选用正交表 来安排试验，结果由 1 到 4 号试验的回收率顺次为)(34L72，58，78，84，试分析试验结果。6-15. 解：选用正交表 来安排试验，由 1 到 4 号试验的回收率指标，可计算得分析)2(34数据 ， ， ，进而得到优方案 ，具体如下表：jk1,jj1,jR12CBAA B C 因素 试验号 列号 1 2 3回收率 %iy12341(60%)12(50%)21(10%)212(8%)1(12%)22(6%)172587884jk21130162150142156136j658175717868R32(16) 8(4) 20(10)因素主次 A C B优方案 12
