1、学优中考网 24.3 正多边形和圆教学内容1正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距2在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系3正多边形的画法教学目标了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容重难点、关键1重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系2难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间
2、的关系教学过程一、复习引入请同学们口答下面两个问题1什么叫正多边形？2从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1各边相等，各角也相等的多边形是正多边形2实例略正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形 ABCDEF，连结 AD、CF 交于一点，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定 B、C、D、E、F 都在这个圆上
3、因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆我们以圆内接正六边形为例证明如图所示的圆，把O分成相等的 6段弧，依次连接各分点得到六边 ABCDEF，下面证明，它是正六边形AB=BC=CD=DE=EFAB=BC=CD=DE=EF又A= BCF= （BC+CD+DE+EF）=2BC12B= CDA= （CD+DE+EF+FA）=2CDA=B同理可证：B=C=D=E=F=A学优中考网 又六边形 ABCDEF 的顶点都在O 上根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形 ABCDEF 是O 的内接正六边形，O 是正六边
4、形 ABCDEF 的外接圆为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心外接圆的半径叫做正多边形的半径正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距例 1已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积分析：要求正六边形的周长，只要求 AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接 OA，过 O 点作 OMAB 垂于 M，在 RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得 AB 的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的解：如图所示，由于 ABCD
5、EF 是正六边形，所以它的中心角等于 =60，OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径360因此，所求的正六边形的周长为 6a在 RtOAM 中，OA=a，AM= AB= a 利用勾股定理，可得边心距12OM= = a221()a3所求正六边形的面积=6 ABOM=6 a a= a21123现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形例 2利用你手中的工具画一个边长为 3cm 的正五边形分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为 3的正五边形的半径解：正五边形的中心角AOB= =72，3605如图，AOC=30，OA= ABsin36=1.5sin36
6、2.55（cm）12画法（1）以 O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；（2）在O 上顺次截取边长为 3cm 的 AB、BC、CD、DE、EA（3）分别连结 AB、BC、CD、DE、EA则正五边形 ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示三、巩固练习教材 P115 练习 1、2、3 P116 探究题、练习四、应用拓展例 3在直径为 AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点 C 在半圆圆周上，其它两边分别为 6 和 8，现要建造一个内接于ABC的矩形水FDECBAOM学优中考网 池 DEFN，其中 D、E 在 AB 上，如图 24-94 的设计方案是使 A
7、C=8，BC=6（1）求ABC 的边 AB 上的高 h（2）设 DN=x，且 ，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？NFAB（3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 185 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树hFD ECBANG分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值 （3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题解：（1）由 ABCG=ACBC 得 h= =4.88610CAB（2）h
8、= 且 DN=x NF=hDNF(4.)x则 S 四边形 DEFN=x （ 4.8-x）=- x2+10x104.85=- （x 2- x）=- （x- ） 2- =- （x-2.4） 2+125126035x- （ x-2.4） 20 - （x-2.4） 2+1212 且当 x=2.4 时，取等号当 x=2.4 时，S DEFN最大（3）当 SDEFN最大时，x=2.4，此时，F 为 BC 中点，在 RtFEB 中，EF=2.4，BF=3BE= =1.8223.4DEBM=1.85，BMEB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案当 x=2.4 时，DE=5AD=3.2，由圆的对称性知
9、满足条件的另一设计方案，如图所示:此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树五、归纳小结（学生小结，老师点评）学优中考网 本节课应掌握：1正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距2正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系3画正多边形的方法4运用以上的知识解决实际问题六、布置作业1教材 P117 复习巩固 1 综合运用 5、7 P118 82选用课时作业设计课时作业设计一、选择题1如图 1 所示，正六边形 ABCDEF 内接于O，则ADB 的度数是（ ） A60 B45 C30 D
10、225(1) (2) (3)2圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 P，则APB 的度数是（ ） A36 B60 C72 D1083若半径为 5cm 的一段弧长等于半径为 2cm 的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）A18 B36 C72 D144二、填空题1已知正六边形边长为 a，则它的内切圆面积为_2在ABC 中，ACB=90，B=15，以 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB 于 D，如图 2 所示，若 AC=6，则 AD 的长为_3四边形 ABCD 为O 的内接梯形，如图 3 所示，ABCD，且 CD 为直径，如果O 的半径等于 r，C=60，那图中O
11、AB 的边长 AB 是_；ODA 的周长是_；BOC 的度数是_三、综合提高题1等边ABC 的边长为 a，求其内切圆的内接正方形 DEFG 的面积2如图所示，已知O的周长等于 6 cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积3如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC、BE 相交于 M（1）求证：四边形 CDEM 是菱形；（2）设 MF2=BEBM，若 AB=4，求 BE 的长学优中考网 答案:一、1C 2C 3D二、1 a2 2 3r 3r 604三、1设 BC 与O 切于 M，连结 OM、OB，则 OMBC 于 M，OM= a，6连 OE，作 OEEF 于 N，则 OE=OM= a，EOM=45，OE= a，336EN= a，EF=2EN= a， S 正方形 = a26126162设正六边形边长为 a，则圆 O 半径为 a，由题意得：2 a=6 ，a=3如右图，设 AB 为正六边形的一边，O 为它的中心，过 O 作 ODAB，垂足为 D，则 OD=r6，则DOA= =30，AD= AB= ，1806123在 RtABC 中，OD=r 6= cm，32S=6 ar6= 3 6= cm212733略.课后教学反思：_学优中考网 学优中考，网
