1、学优中考网 第一章 证明（二） 复习学案一、梳理知识：1、全等三角形（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的 、 相等。（3）判定：“SAS” 、 、 、 、 。2、等腰三角形（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。（2）性质：等腰三角形的 相等。 （“等边对等角” ）等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )等腰三角形是 图形。（3）判定：定义 “ ” （4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。性质：三角都等于 具有等腰三角形的一切性质。判定：定义 有一个角 是等边三角形。 3、直角三角形（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。（2）性质：“勾
2、股定理” 。直角三角形两锐角 。直角三角形斜边上的中线等于 。在直角三角形中，30角所对直角边等于 。（3）判定：定义 两锐角 的三角形是直角三角形“勾股定理逆定理” 。4、角平分线（1）定义： 。（2）性质：角平分线上的点 相等。三角形的三条角平分线 ，且到 相等。（3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。（4）角平分线的作法：5、线段的垂直平分线学优中考网 AB CDEF（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。（2）性质：线段垂直平分线上一点 相等。三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。（4）线段的垂直平分线的作
3、法：6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理二、典型例题：一、选择题1、到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的（ ）A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点2、已知等腰三角形的两边长分别为 4和 2，则其周长是（ ）A. 6 B. 10 C. 10或 8 D. 8 3、如图，从等腰ABC 底边 BC 上任意一点分别作两腰的平行线 DE、DF，分
4、别交 AC、AB 于点 E、F，则 AFDE 的周长等于这个等腰三角形的( )A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的 2 倍 D. 一条腰长4、如图，ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若 BF=AC，则ABC 的大小是（ ）A.45 B.50 C.55 D.605、如图，在，90，15，的中垂线交于，为垂足，若10，则等于（ ）学优中考网 10 8 5 256、如图，已知在中，30，3，则 AC的长等于（ ） 2 32 23 37、下列说法中正确的是 （ ）A平均数一定在数据中出现 B众数一定在数据中出现C中位数一定在数据中出现 D以上都正确
5、8、等边三角形的高为 2 3，则它的边长为（ ）A.4 B.3 C.2 D.59、下列由线段 a、 b、 c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）A.a=3， b=4， c=5 B.a=1， b= 34， c= 5 C.a=9， b=12， c=15 D.a= 3， b=2， c= 510、 ABC 中， A B C=123，最小边 BC=4 cm，最长边 AB 的长是（ ）A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm11、下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等
6、三角形的对应角相等12、下列说法正确的是（ ）A.真命题的逆命题是真命题 B.每个定理都有逆定理C每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题 二、填空题1、如果等腰三角形的一个底角是 80，那么顶角是 度.2、命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_。这条逆命题是_命题（填“真”或“假” ）3、已知，如图，O 是ABC 的ABC、ACB 的角平分线的交点，ODAB 交 BC 于 D，OEAC学优中考网 交 BC 于 E，若 BC = 10 cm，则ODE 的周长 .4、如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD 的长为 .5、如图所示的图形中，所有的四边形都
7、是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形A、B、C、D 的面积的和是 2cm6、等腰三角形的周长是 2 3，腰长为 1，则其底边上的高为_7、如图，在ABC 中，ADDE，ABBE，A80则DEC 8、在联欢晚会上，有 A、B、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在ABC 的三条 线的交点最适当9、一个等腰三角形有一角是 70，则其余两角分别为_.10、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_，这个逆命题是_命题.11、已知， ABC中， 5,12,3BC
8、A，则 A的面积为_12、等腰三角形的腰长为 5cm,底边长为 6cm,则它的高是 .三、解答题1、已知：如图，CEAB，BFAC，CE 与 BF 相交于 D，且 BD=CD.求证：D 在BAC 的平分线上.AB CDE学优中考网 BCDA2、已知：如图，D 是ABC 中 BC 边上一点，EB=EC，ABE=ACE，求证：BAE=CAE.证明：在AEB 和AEC 中，AECBAEBAEC(第一步)BAE=CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程。3、已知：如图， AB AC， CE AB 于 E， BD AC
9、 于 D，求证： BD CE.4、如图， ABC是等边三角形中， cmAB10. 求高 AD的长和 BC的面积.（结果用根号表示.）学优中考网 5、在 RtABC 中,C=90 ,D 是 BC 边上一点,且 BD=AD=10, ADC=60,求ABC 的面积. 6已知某开发区有一块四边形的空地 ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需要 200 元，问需要多少投入？ 7、如图， 06A，AB=AD=8， 015D，四边形的周长为 32，求 BC 和 CD 的长。CDBADA BC学优中考网 答案：一、梳理知识：1、全等三
10、角形（1）定义：能够完全 重合 的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（3）判定：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边定理”或“ HL”2、等腰三角形（1）定义：有两条 边相等 的三角形是等腰三角形。（2）性质：等腰三角形的 两个底角 相等。 （“等边对等角”
11、 ）等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线 、 底边上的高 互相重合。(“三线合一”)等腰三角形是 轴对称 图形。（3）判定：定义 “ 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ” （4）等边三角形 定义： 三条边都相等 的三角形是等边三角形。性质：三角都等于 60 具有等腰三角形的一切性质。判定：定义 有一个角 是 60的等腰三角形 是等边三角形。 3、直角三角形（1）定义：有一个角是 直角 的三角形是直角三角形。（2）性质：“勾股定理” 在直角三角形中，若C=90，则 a 2+b2=c2 。直角三角形两锐角 互余 。直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 。在直角三角形中，30角所对直角边等于 斜
12、边的一半 。（3）判定：定义 两锐角互余的三角形；学优中考网 若 a2+b2=c2,则C=90（即勾股定理的逆定理） 。4、角平分线（1）定义： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 。（2）性质：角平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等。三角形的三条角平分线 相交于一点 ，且到 三条边的距离 相等。（3）判定：到角的两边 距离相等 的点，在这个角的平分线上。（4）角平分线的作法：（课本 34 页）5、线段的垂直平分线（1）定义： 垂直平分 一条线段的 直线 叫线段的垂直平分线。（2）性质：线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离
13、相等。三角形三边的垂直平分线 相交于一点 ，且到 三个顶点的距离 相等。（3）判定：到一条线段两个端点 距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上。（4）线段的垂直平分线的作法：（课本 27 页）6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 条件 与 结论 两部分。互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 条件和结论分别 是另一个命题的 结论和条件 ，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题 。二、典型例题一、选择题：1B 2B 3C 4A 5C 6D 7B 8A 9D 10D 11D 12C二、填空题：1、20 2、对应角相等的三角形是全等三角形，假 3、10cm 4、2 5
14、、49 6、 1 7、100 8、中垂（垂直平分） 9、55，55或 70，40 10、如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11、30 12、4学优中考网 三、解答题：1、证明：在 RtBDE 和 RtCDF 中BED=CFD=90 BDE=CDF BD=CDRtBDERtCDF DE=DF又CEAB，BFAC D 在BAC 的平分线上。2、解：不正确，错在第一步。证明：EB=EC EBD=ECD又ABE=ACE EBD+ABE =ECD+ACE即ABD=ACD AB=AC在ABE 和ACE 中AB=AC BE=CE AE= AEABEACE BAE=CAE3、证明：由 AB AC 得 B C， 又 BEC CDB， BC BC，可证 BEC CDB， 从而有 BD CE.4、 5AD 325s 5、 237s6、 614321s 所以共需投入：20036=7200 （元）7、 00022286159338168(16)0ABDCBCBDxxCA解 ： 连 结 ， 是 等 边 三 角 形 四 边 形 周 长 为 设 =,则 - 在 Rt中 ， 即 解 得 - 长 为 ， 长 为 。学优中考网 学优中考网 学#优 中考 ，网
