1、学优中考网 第四单元第 25 课时相似三角形及其应用知识点回顾：相似三角形及其应用是中学的一个重要内容，学好相似三角形不仅能使我们对图形相似有更深刻的认识，也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高在各种考试中，相似三角形及其应用都是重点考查的内容它包括：了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过实例了解黄金分割；了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件和性质；能够利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度） 知识点一：比例线段1在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 ，那么这四条线段叫做成比例线段2若 ，则 b 叫做 a、 c 的 ac3比例的性质：(
2、1)若 (b0， d0)d(2)若 baca(3)若 = （ b d m0），dn那么 bmca4若线段 AB 上一点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC BC)，且使 是和 的比例中项，则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做黄金分割点例 1：（2009 山西太原）如图 1 是一种贝壳的俯视图，点 分线段 近似于黄金分割已知 =10cm，则 的长约为 ABABcm （结果精确到 0.1cm）解析：本题考查黄金分割的有关知识由题意知 ，2ACB ， 解得 6.2，10x故填 6.2.图 1学优中考网 同步检测一：1 （2009 年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身
3、高的比值越接近 0.618时，越给人一种美感如图 2，某女士身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm2 （2009 年衢州）在 ABC 中，AB=12， AC=10， BC=9， AD 是 BC 边上的高.将 ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为EF，则 DEF 的周长为（ ）A9.5 B10.5C11 D15.5知识点二：相似三角形的概念1具有 的图形称为相似性2对应角 ，对应边 的三角形叫做相似三角形。3如果ABC 和A/B/C/相似，且kACBA
4、/，那么这个比值 k 就叫做这两个相似三角形的 例 2：（2009 年南宁）三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成影子O（如图 4 所示）.现测得 ，这个三角尺20cm50c，的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 解析：考查平行线分线段成比例定理以及相似三角形的相关概念由于三角尺和它在灯泡 的照射下在墙上形成影子相似，所以三角尺的周长与它在墙O上形成的影子的周长的比等于相似比因为 ，所以对应边的比为 20cm50cA， 25因此应填 5同步检测二：1 （2009 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同图 2图 3图 4图
5、5学优中考网 一条直线上，如图 5 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A，若OA0.2 米， OB40 米， AA0.0015 米，则小明射击到的点 B偏离目标点 B 的长度BB为（ ）A3 米 B0.3 米C0.03 米D 0.2 米2 (2009 年安顺)如图 6，已知等边三角形 ABC 的边长为 2， DE是它的中位线，则下面四个结论：（1） DE1， （2） CDE CAB， （3） CDE 的面积与 CAB 的面积之比为 14其中正确的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个知识点三：相似三角形的条件1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交
6、，所构成的三角形与原三角形 2 对应相等，两三角形相似3两对应边 且 相等，两三角形相似4三边 ，两三角形相似5如果一个直角三角形的一条斜边和一条直角边与另一个直角三角形的一条斜边和一条直角边 ，那么这两个直角三角形相似例 3：（2008 盐城）如图 7，D、E 两点分别在ABC 的边AB，AC 上，DE 与 BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，ADEACB解析：考查相似三角形的判定方法，即满足怎样的条件时两个三角形相似，此类问题的答案不唯一，也是近年中考常见题型之一比如： ADE ACB， AED ABC， AD AC AE AB任选其一均可满足题目要求同步检测三：1 （2009
7、年滨州）如图 8 所示，给出下列条件： ； ；BACDACB ； 2其中单独能够判定 的个数为（ ） 图 6图 7图 8学优中考网 A1 B2 C3 D42 （2009 年新疆）如图 9，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）C知识点四：相似三角形的性质1相似三角形的 相等，对应边 2相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比 相似比3相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 例 4：(2009 年日照)将三角形纸片（ ABC）按如图 10 所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B，折痕为EF已知 AB AC3， BC4，若以点 B， F，
8、C 为顶点的三角形与 ABC 相似，那么 BF 的长度是 解析：问题考查相似三角形的性质以及分类思想设 BF 的长为 x，当 B/F 平行于 AB 时，我们有 ，解得 x 3x4712当 B/F 不平行于 AB 时，我们有 ，解得 x2所以 BF 的长为 或 2 71同步检测四：1 （2009 年天津）在 和 中， ，如果ABC DEF 2ABECDFA， ，的周长是 16，面积是 12，那么 的周长、面积依次为（ ）ABC A8，3 B8，6 C4，3 D4，62(2009 年牡丹江)如图， Rt 中， 90， 直线EF ，交 于点 E， 交 AC于点 G， 交 D于点 F， 若13AGBC
9、GS 四 边 形 ，则 F 知识点五：相似三角形的应用A.图 9图 10图 11学优中考网 例 5：（2008 年聊城）如图 12，路灯（ P点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（ O点 ）20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解析：考查相似三角形在解决生产、生活问题中的运用，解决问题的关键是寻找相关的相似三角形，建立起恰当的数学模型 MAC MOP90， AMC OMP， MAC MOP 即 OPACM86.120MA解得 MA5同样由 NBD NOP 可求得 NB1.5所以，小明的身影变短了
10、3.5 米同步检测五：1 （2009 年甘肃白银）如图 13，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆的高为（ ）A12m B10mC8m D7m2 （2008 年金华）如图 14 是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知AB BD， CD BD，且测得 AB1.2 米， BP1.8 米， PD12米， 那么该古城墙的高度是（ ）A6 米 B8 米 C18 米 D2
11、4 米随堂检测：1（2009 年重庆綦江）若 ABC DEF, ABC 与 DEF 的相似比为 12，则 ABC 与PO B N A M图 12图 13AB P D图 14CC学优中考网 DEF 的周长比为（ ）A14 B12 C21 D1 22(2009 年牡丹江)如图 15， A 中， AB于 ， 一定能确定 ABC 为直角三角形的条件的个数是（ ） 1， CDA， 290， 345B ， CDABA1 B2 C3 D43（2009 年重庆）已知 与 相似且面积比为 425，则 与 EF ABC的相似比为 EF4 （2008 年咸宁）如图 16，DABCAE，请补充一个条件： ，使ABCA
12、DE5（2009 年烟台）如图 17， ABC 与 AEF 中，AB AE， BC EF， B E， AB 交 EF 于 D给出下列结论： AFC C； DF CF； ADE FDB； BFD CAF其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 6 （2009 年孝感）如图 18，点 M 是ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49则ABC 的面积是 7（2009 年荆州）如图 19，已知零件的外径为 25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC和 BD 相等， OC=OD）量零件的内孔直径 AB若 OC
13、 OA=12，量得 CD10mm，则零件的厚度 x mm8（2009 年郴州）如图 20，在 ABC 中，已知 DE BC，AD=4， DB=8， DE=3，E图 16D ACB图 15图 17图 18 图 19图 20学优中考网 （1）求 ADB的值；（2）求 BC 的长9（2009 年甘肃庆阳）如图 21，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点 ACB 和 DCE 的顶点都在格点上， ED 的延长线交 AB 于点 F（1）求证： ACB DCE；（2）求证： EF AB10(2009 年陕西)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影
14、子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图（图 21） ，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m， CE0.8m， CA30m（点 A、 E、 C 在同一直线上） 已知小明的身高 EF 是 1.7m，请你帮小明求出楼高 AB（结果精确到 0.1m） 参考答案同步检测：知识点一：1C 2D知识点二：1B 2D知识点三：1C 2A知识点四：1A 2 12知识点五：1A 2B图 21图 21学优中考网 随堂检测：1B 2C 325 4BD 或AEDC 或 ACEBD
15、5， 6， 72.58解：（1）因为 AD4，DB8，所以 ABADDB4812，所以4123=（2）因为 DEBC，所以ADEABC，所以 ABDCE因为 DE3，所以 31B所以 BC99证明：（1） ， 2DCA246ECFBDA又 ACB= DCE=90， ACB DCE（2） ACB DCE， ABC DEC又 ABC A =90， DEC A=90 EFA=90 EF AB 10解：过点 D 作 DG AB，分别交 AB、 EF 于点G、 H， （如答图 1）则 EH AG CD1.2，DH CE0.8， DG CA30 EF AB， DGHBF由题意，知：FH EF EH1.71.20.5 ，解之，得 BG18.75308.5G AB BG AG18.751.219.9520.0 楼高 AB 约为 20.0 米答图 1学优中考网 学优中考 ，网
