1、 高等代数答案第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式1 用 )(xg 除 )(xf ，求商 )(xq 与余式 )(xr ：1） 123)(,13)( 223 += xxxgxxxxf ；2） 2)(,52)( 24 +=+= xxxgxxxf 。解 1）由带余除法，可得 92926)(,9731)( = xxrxxq ；2）同理可得 75)(,1)( 2 +=+= xxrxxxq 。2 qpm , 适合什么条件时，有1） qpxxm xx + 32 |1 ，2） qpxxm xx + 242 |1 。解 1）由假设，所得余式为 0，即 0)()1( 2 =+ mqxmp ，所以当
2、= =+ 0 012mqmp 时有 qpxxm xx + 32 |1 。2）类似可得 =+ = 01 0)2( 22mpqmpm ，于是当 0=m 时，代入（ 2）可得 1+= qp ；而当02 2 = mp 时，代入（ 2）可得 1=q 。综上所诉，当 += 10qp m 或 =+ = 212mp q 时，皆有 qpxxm xx + 242 |1 。3求 ( )g x 除 ( )f x 的商 ( )q x 与余式：1） 5 3( ) 2 5 8 , ( ) 3f x x x x g x x= = + ；2） 3 2( ) , ( ) 1 2f x x x x g x x i= = + 。解
3、1）4 3 2( ) 2 6 13 39 109( ) 327q x x x x xr x= + += ；2 ）2( ) 2 ( 5 2 )( ) 9 8q x x i x ir x i= += + 。4 把 ( )f x 表示成 0x x 的方幂和，即表成20 1 0 2 0 0( ) ( ) . ( )nnc c x x c x x c x x+ + + + + 的形式：1 ） 5 0( ) , 1f x x x= = ；2 ） 4 2 0( ) 2 3 , 2f x x x x= + = ；3 ） 4 3 2 0( ) 2 ( 1 ) 3 7 ,f x x i x i x x i x i
4、= + + + + = 。解 1 ）由综合除法，可得 2 3 4 5( ) 1 5( 1 ) 10( 1 ) 10( 1 ) 5( 1 ) ( 1 )f x x x x x x= + + + + + ；2 ）由综合除法，可得 4 2 2 3 42 3 11 24( 2) 22( 2) 8( 2) ( 2)x x x x x x + = + + + + + + ；3 ） 由综合除法，可得 4 3 22 ( 1 ) 3 ( 7 )x i x i x x i+ + + +2 3 4( 7 5 ) 5( ) ( 1 ) ( ) 2 ( ) ( )i x i i x i i x i x i= + + +
5、 + + + + 。5 求 ( )f x 与 ( )g x 的最大公因式：1 ） 4 3 2 3 2( ) 3 4 1 , ( ) 1f x x x x x g x x x x= + = + ；2 ） 4 3 3 2( ) 4 1 , ( ) 3 1f x x x g x x x= + = + ；3 ） 4 2 4 3 2( ) 10 1 , ( ) 4 2 6 4 2 1f x x x g x x x x x= + = + + + 。解 1 ） ( ( ) , ( ) ) 1f x g x x= + ；2 ） ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = ；3 ） 2( ( ) , (
6、) ) 2 2 1f x g x x x= 。6 求 ( ) , ( )u x v x 使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) , ( ) )u x f x v x g x f x g x+ = 。1 ） 4 3 2 4 3 2( ) 2 4 2, ( ) 2 2f x x x x x g x x x x x= + = + ；2 ） 4 3 2 3 2( ) 4 2 16 5 9, ( ) 2 5 4f x x x x x g x x x x= + + = + ；3 ） 4 3 2 2( ) 4 4 1 , ( ) 1f x x x x x g x x x= + + = 。解 1 ）因
7、为 2 2( ( ) , ( ) ) 2 ( )f x g x x r x= =再由 1 12 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r xg x q x r x r x= += + ，解得 2 2 1 2 12 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )r x g x q x r x g x q x f x q x g xq x f x q x q x g x= = = + + ，于是 21 2( ) ( ) 1( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( 1 ) 2u
8、 x q x xv x q x q x x x= = = + = + + = +i 。2 ）仿上面方法，可得 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x x= ，且 21 1 2 2( ) , ( ) 13 3 3 3u x x v x x x= + = 。3 ）由 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = 可得 3 2( ) 1, ( ) 3 2u x x v x x x x= = + 。设 3 2( ) ( 1 ) 2 2f x x t x x u= + + + + 与 3 2( )g x x t x u= + + 的最大 公因式是一 个二次多项式，求 ,t u 的值。解 因为3
9、 2 21 12 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x x t x u x x ug x q x r x r x= + = + + + + += + ，2( ( 2) ( 2 ) ( 2 4) ( 3 )x t x x u u t x u t= + + + + + ，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式 2 ( )r x 为 0 ，即( 2 4) 0( 3 ) 0u tu t + = = ，从而可解得 1102ut= 或2223ut= = 。 证明 ： 如果 ( ) | ( ) , ( ) | ( )d x
10、f x d x g x ， 且 ( )d x 为 ( )f x 与 ( )g x 的组合 ， 那么 ( )d x 是 ( )f x与 ( )g x 的一个最大公因式。证 易见 ( )d x 是 ( )f x 与 ( )g x 的公因 式。另设 ( )x 是 ( )f x 与 ( )g x 的任一 公因式，下 证( ) | ( )x d x 。由于 ( )d x 是 ( )f x 与 ( )g x 的一个组合，这就是说存在多项式 ( )s x 与 ( )t x ，使( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x s x f x t x g x= + ，从而由 ( ) | ( ) , ( ) | (
11、 )x f x x g x 可得 ( ) | ( )x d x ，得证。证明： ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) ( ( ) , ( ) ) ( )f x h x g x h x f x g x h x= ， ( ( )h x 的首系数为 ） 。证 因为存在多项式 ( ) , ( )u x v x 使 ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x u x f x v x g x= + ，所以 ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x u x f x h x v x g x h x= + ，上式
12、说明 ( ( ) , ( ) ) ( )f x g x h x 是 ( ) ( )f x h x 与 ( ) ( )g x h x 的一个组合。另一方面，由 ( ( ) , ( ) ) | ( )f x g x f x 知 ( ( ) , ( ) ) ( ) | ( ) ( )f x g x h x f x h x ，同理可得 ( ( ) , ( ) ) ( ) | ( ) ( )f x g x h x g x h x ，从 而 ( ( ) , ( ) ) ( )f x g x h x 是 ( ) ( )f x h x 与 ( ) ( )g x h x 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又
13、因 为( ( ) , ( ) ) ( )f x g x h x 的首项系数为，所以 ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) ( ( ) , ( ) ) ( )f x h x g x h x f x g x h x= 。如果 ( ) , ( )f x g x 不全为零，证明：( ) ( ), 1( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )f x g xf x g x f x g x = 。证 存在 ( ) , ( )u x v x 使 ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x u x f x v x g x= + ，又因为 ( ) , ( )f x
14、g x 不全为，所以 ( ( ) , ( ) ) 0f x g x ，由消去律可得 ( ) ( )1 ( ) ( )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )f x g xu x v xf x g x f x g x= + ，所以 ( ) ( ), 1( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )f x g xf x g x f x g x = 。11 证 明 ： 如 果 ( ) , ( )f x g x 不 全 为 零 ， 且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) , ( ) )u x f x v x g x f x g x+ = ， 那 么( ( ) , ( )
15、) 1u x v x = 。证 由上题证明类似可得结论。12证明：如果 ( ( ) , ( ) ) 1 , ( ( ) , ( ) ) 1f x g x f x h x= = ，那么 ( ( ) , ( ) ( ) ) 1f x g x h x = 。证 由假设，存在 1 1( ) , ( )u x v x 及 2 2( ) , ( )u x v x 使1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x+ = （ 1 ）2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x h x+ = （ 2 ）将（ 1 ） （ 2 ）两式相乘，得1 2 1 2 1 21 2 (
16、 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f xv x v x g x h x+ + = ，所以 ( ( ) , ( ) ( ) ) 1f x g x h x = 。13设 1 1( ) , ., ( ) , ( ) , ., ( )m nf x f x g x g x 都是多项式，而且( ( ) , ( ) ) 1i jf x g x = ( 1, 2, ., ; 1, 2, ., )i m j n= = 。求证： 1 2 1 2( ( ) ( ) .
17、 ( ) , ( ) ( ) . ( ) ) 1m nf x f x f x g x g x g x = 。证 由于1 11 21( ( ) , ( ) ) 1( ( ) , ( ) ) 1( ( ) , ( ) ) 1nf x g xf x g xf x g x=，反复应用第 12 题结论，可得1 1 2( ( ) , ( ) ( ) . ( ) ) 1nf x g x g x g x = ，同理可证2 1 21 2( ( ) , ( ) ( ) . ( ) ) 1( ( ) , ( ) ( ) . ( ) ) 1nm nf x g x g x g xf x g x g x g x=，从而可
18、得1 2 1 2( ( ) ( ) . ( ) , ( ) ( ) . ( ) ) 1m nf x f x f x g x g x g x = 。14证明：如果 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = ，那么 ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) 1f x g x f x g x+ = 。证 由题设知 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = ，所以存在 ( ) , ( )u x v x 使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x+ = ，从而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x f x v
19、 x f x v x g x + + = ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x v x f x v x f x g x + + = ，所以 ( ( ) , ( ) ( ) ) 1f x f x g x+ = 。同理 ( ( ) , ( ) ( ) ) 1g x f x g x+ = 。再由 12 题结论，即证 ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) 1f x g x f x g x+ = 。15求下列多项式的公共根3 2 4 3 2( ) 2 2 1 , ( ) 2 1f x x x x g x x x x x= + + + = + + + +解 由辗转相除法，可
20、求得 2( ( ) , ( ) ) 1f x g x x x= + + ，所以它们的公共根为 1 32 i 。16判别下列多项式有无重因式：1 ） 5 4 3 2( ) 5 7 2 4 8f x x x x x x= + + ；2 ） 4 2( ) 4 4 3f x x x x= + ；解 1 ）4 3 22( ) 5 20 21 4 4( ( ) , ( ) ) ( 2)f x x x x xf x f x x = + + = ，所以 ( )f x 有 2x 的三重因式。2 ） 3( ) 4 8 4f x x x = + ， ( ( ) , ( ) ) 1f x f x = ，所以 ( )f
21、 x 无重因式。17求 t 值，使 3 2( ) 3 1f x x x t x= + 有重根。解 易知 ( )f x 有三重根 1x = 时， 3t = 。若令3 2 23 1 ( ) ( )x x t x x a x b + = ，比较两端系数，得223 221a bt a aba b = = +=由 （ 1 ） ， （ 3 ） 得 3 22 3 1 0a a + = ， 解得 a 的三个根为 1 2 3 11, 1, 2a a a= = = ， 将 a 的三个根分别代入 （ 1 ） ， 得 1 2 31 , 1 , 4b b b= = = 。 再将它们代入 （ 2 ） ， 得 t 的三个根
22、 1 2 3 53 , 3 , 4t t t= = = 。当 1 , 2 3t = 时 ( )f x 有 3 重根 1x = ；当 3 54t = 时， ( )f x 有 2 重根 12x = 。18求多项式 3x px q+ + 有重根的条件。解 令 3( )f x x px q= + + ， 则 2( ) 3f x x p = + ， 显然当 0p = 时 ， 只有当 30, ( )q f x x= =才有三重根。下设 0p ，且 a 为 ( )f x 的重根，那么 a 也为 ( )f x 与 ( )f x 的根，即3203 0a pa qa p + + =+ =由（ 1 ）可得 2( )
23、a a p q+ = ，再由（ 2 ）有 2 3pa = 。所以( )332pa p qqap + = = ，两边平方得2 2294 3q pap = = ，所以3 24 27 0p q+ = 。综上所叙即知，当 3 24 27 0p q+ = 时，多项式 3x px q+ + 有重根。19如果 2 4 2( 1 ) | 1x ax bx + + ，求 ,a b 。解 令 ( )f x = 4 2 1ax bx+ + ， ( )f x = 34 2ax bx+ 。 由题设知 ， 1 是 ( )f x 的根 ， 也是 ( )f x的根，此即1 04 2 0a ba b+ + =+ = ，解得 1
24、 , 2a b= = 。20证明： 21 .2 ! !nx xx n+ + + + 不能有重根。证 因为 ( )f x 的导函数 2 11 1( ) 1 .2 ! ( 1 ) ! nf x x x xn = + + + + ， 所以 1( ) ( ) ! nf x f x xn= + ，于是 1 1( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) ) ( , ( ) ) 1! !n nf x f x f x x f x x f xn n = + = = ，从而 ( )f x 无重根。21如果 是 ( )f x 的一个 k 重根，证明 是( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x ag x
25、f x f a f x f a = + + 的一个 k+3 重根。证 因为1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2( ) ( )2x ag x f x f x f ax ag x f x = = ，由于 是 ( )f x 的 k 重根，故 是 ( )g x 的 1k + 重根。代入验算知 是 ( )g x 的根。现在设 是 ( )g x 的 s 重根，则 是 ( )g x 的 1s 重根，也是 ( )g x 的 s - 2 重根。所以 2 1 3s k s k = + = + 。得证。22证明： 0x 是 ( )f x 的 k 重根的充 分必要条件是 ( 1 )0 0 0( ) ( ) . (
26、 ) 0kf x f x f x= = = = ，而 ( ) 0( ) 0kf x 证 必要性 ： 设 0x 是 ( )f x 的 k 重根 , 从而是 ( )f x 的 1k 重根 ， 是 ( )f x 的 2k 重根 ， ，是 ( 2 ) 0( )kf x 的一重根，并且 0x 不是 ( ) ( )kf x 的根。于是( 1 )0 0 0( ) ( ) . ( ) 0,kf x f x f x= = = = 而 ( )0( ) 0kf x 。充 分 性 ： 由 ( 1 ) 0( ) 0kf x = ， 而 ( ) 0( ) 0kf x ， 知 0x 是 ( 1 ) ( )kf x 的 一
27、重 根 。 又 由 于( 2 )0( ) 0kf x = ，知0x 是( 2 ) ( )kf x 的二重根，依此类推，可知0x 是 ( )f x 的 k 重根。23举例说明段语 “ 是 ( )f x 的 m 重根，那么 是 ( )f x 的 1m + 重根 ” 是不对的。解 例如，设 11( ) 11 mf x xm += + ，那么 ( ) mf x x = 以 0 为 m 重根，但 0 不是 ( )f x 的根 。24证明：如果 ( 1 ) | ( )nx f x ，那么 ( 1 ) | ( )n nx f x 。证 要证 明 ( 1 ) | ( )n nx f x ，就 是要 证明 (
28、1 ) 0f = （这 是因 为我们 可以 把 nx 看作 为一 个变量 ） 。由题设由 ( 1 ) | ( )nx f x ，所以 ( 1 ) 0nf = ，也就是 ( 1 ) 0f = ，得证。25证明：如果 2 3 31 2( 1 ) | ( ) ( )x x f x x f x+ + + ，那么 1 2( 1 ) | ( ) , ( 1 ) | ( )x f x x f x 。证 因 为 2 1x x+ + 的 两 个 根 为 和 2 ， 其 中 2 2c os s i n3 3i = + ， 所 以 和 2 也 是3 31 2( ) ( )f x x f x+ 的根，且3 1 = ，
29、于是1 221 2( 1 ) ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 ) 0f ff f+ =+ = ，解之得 1 2( 1 ) 0, ( 1 ) 0f f= = 。得证。26求多项式 1nx 在复数范围内和在实数范围内的因式分解。解 在复数范围内 2 11 ( 1 ) ( ) ( ) .( )n nx x x x x = ，其中 2 2c os s i n3 3i = + ，在实数域内 ( 0 )j n j j n = ， 但 （ 1 ） 式右端的次数为零，矛盾。所以 1 1( ) ( )( ( ) ) , ( ( ) )( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )g x f xu x
30、v xf x g x f x g x 且首项系数为 1 的多项式 ( )f x 是一个不可约多项 式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式 ( )g x 必有 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = ，或者对某一正整数 , ( ) | ( )mm f x g x 。证 必要性：设 ( ) ( )sf x p x= （其中 ( )p x 是不可约多项式 ） ，则对任意多项式 ( )g x ，有1 ） ( ( ) , ( ) ) 1p x g x = ；或 2 ） ( ) | ( )p x g x 。对于 1 ）有 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = 。对于 2 ）有 (
31、) | ( )s sp x g x ，此即 ( ) | ( )sf x g x 。再让 m s= ，即必要性得证。充分性：设 ( )f x 不是某一个多项式的方幂，则 1 21 2( ) ( ) ( ) . ( )nnf x p x p x p x = ，其中 1, ( 1, 2, ., )in i n = 是正整数。若 1( ) ( )g x p x= ， 则由题设知 ( )f x 与 ( )g x 满足 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = 或 ( ) | ( )mf x g x （ m 为某一正整数 ） 。但这是不可能的，即证。8 证明：次 数 0 且首项系 数为 1 的多项
32、式 ( )f x 是某一不 可约多项式的方 幂的充分必要条件是 ： 对任意的多项式 ( ) , ( )g x h x ， 由 ( ) | ( ) ( )f x g x h x ， 可以推出 ( ) | ( )f x g x ， 或者对某一正整数 , ( ) | ( )mm f x h x 。证 必要性：设 ( ) | ( ) ( )f x g x h x ，则对多项式 ( )h x ，有1 ） ( ( ) , ( ) ) 1f x h x = ，于是 ( ) | ( )f x g x ； 2 ） ( ) | ( ) (mf x h x m 为某一正整数 ） 。必要性成立。充分性：对任意多项式
33、( )g x ，有 ( ( ) , ( ) ) 1f x g x = 或 ( ( ) , ( ) ) ( ) 1f x g x d x= ，若 1( ) ( ) ( )f x f x d x= ， 那 么 1( ) | ( ) ( )f x f x g x ， 但 1( ) | ( )f x f x 。 再 由 充 分 性 假 设 ，可 得( ) | ( ) ,mf x g x m 为某一正整数。于是由第 7 题的充分条件，即证。9 证明： n n mx ax b+ + 不能有不为零的重数大于 2 的根。证 设 ( ) n n mf x x ax b= + + ，则 1( ) ( ) n m
34、mf x x nx n m a = + ，又因 为 ( )f x 的非 零根 都是 多项 式 ( ) ( )mg x nx n m a= + 的根 ，而 ( )g x 的 m 个根 都是 单根，因而 ( )f x 没有不为零且重数大于 2 的根。10 证明：如果 ( ) | ( )nf x f x ，那么 ( )f x 的根只能是零或单位根。证 设 a 是 ( )f x 的任一个根，由 ( ) | ( )nf x f x 知， a 也是 ( ) | ( )nf x f x 的根，即( ) 0nf x = ，所以 na 也是 ( )f x 的根。以此类推下去，则2, , , .n na a a
35、都是 ( )f x 的根。若 ( )f x 是 m 次多项式，则 ( )f x 最多只可能有 m 个相异的根，于是存在 k 使kn na a = ， ( 1 ) 0kn n na a = ，因此 ( )f x 的根 a 或者为 0 ，或者为单位根。11如果 ( ) | ( )f x f x ，证明 ( )f x 有 n 重根，其中 ( ( ) )n f x= 。证 设 1 2, , ., sa a a 是 ( )f x 的 s 个不同的根 ， 且它们的重数分别为 1 2, , ., s ， 由于 ( )f x 是1n 次多项式，因而 1 2 . 1s n + + + = ，其次，由 ( ) |
36、 ( )f x f x ，所以 1 2, , ., sa a a 分别为 ( )f x 的 1 21, 1, ., 1s + + + 重根，但1 2( 1 ) ( 1 ) . ( 1 )s n + + + + + + = ，所以 1n s n + = ，从而 1s = 。这就是说， ( )f x 只可能有一个根 1a ，且重数为 1 1n = 。故 ( )f x 有 n 重根。11 设 1 2, , ., na a a 是 n 个不同的数，而 1 2( ) ( ) ( ) .( )nF x x a x a x a= 证明： 1 ）1( ) 1( ) ( )ni i iF xx a F a= =
37、 ； 2 ）任意多项式 ( )f x 用 ( )F x 除所得的余式为1( ) ( )( ) ( )n ii i if a F xx a F a= 证 1 ）令1( )( )( ) ( )ni i iF xg xx a F a= ，则 ( ( ) ) 1g x n ，但 1 2( ) ( ) . ( ) 1ng a g a g a= = = = ，所以 ( ) 1g x 。即证得1( ) 1( ) ( )ni i iF xx a F a= = 。2 ）对于任意的多项式 ( )f x ，用 ( )F x 除得( ) ( ) ( ) ( ) ,f x q x F x r x= + ( ( ) 0
38、( ( ) ) 1 )r x r x n= 或 ，当 ( ) 0r x = 时，结论显然成立。当 ( ( ) ) 1r x n 时，若令1( ) ( )( )( ) ( )n ii i if a F xk xx a F a= ，则 ( ( ) ) 1k x n ，于是( ) ( ) ( )i i ir a f a k a= = ( 1 , 2, ., )i n= ，即证得1( ) ( )( ) ( )( ) ( )nii i if a F xr x k xx a F a= = 。12 设 1 2, , ., na a a 与 ( )F x 同上题，且 1 2, , ., nb b b 是任意
39、n 个数，显然1( )( )( ) ( )nii i ib F xL xx a F a= 适合条件 ( )i iL a b= ( 1, 2, ., )i n= 。这称为拉格朗日 ( L a gr a nge) 插值公式。利用上面的公式：1 ） 一个次数 4 ）证 1 ）由假设1( )( ) ni if xf xx x= = ，111( ) ( )knki ixx f x f xx x+= = 1 1 11 1( ) ( )k k kn ni ii ii ix x xf x f xx x x x+ + += = + 11( . ) ( ) ( )n k k ki iix x x x f x g
40、x= + + + + ，其中 11( ) ( )kn ii ixg x f xx x+= 是一个次数 n 时 ， 等式 ( ) 右端所有项的次数都大于 n ， 所以含 nx 的系数为 0 ， 而左端含 nx 的项的系数为 1 1 . ( 1 ) nk k n k ns s s + + ，因此 1 1 . ( 1 ) 0nk k n k ns s s + + = 。得证。17根据牛顿公式，用初等对称多项式表示 2 3 4 5 6, , , ,s s s s s 。解 1 ）当 6n 时，由上题可得 2 1 1 22 0s s + = ，而 1 1s = ，所以 22 1 22s = 。同理可得
41、33 1 1 2 33 3s = + ，4 2 24 1 1 2 1 3 2 44 4 2 4s = + + ，5 3 2 25 1 1 2 1 3 1 2 1 4 2 3 55 5 5 5 5 5s = + + + ，6 4 3 2 2 2 36 1 1 2 1 3 1 2 1 4 26 6 9 6 2s = + + 23 2 4 1 5 1 2 3 63 6 6 12 6 + + + 。2 ）当 5n = 时， 2 3 4 5, , ,s s s s 同 1 ）所给，且6 4 3 2 2 26 1 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 36 6 9 6 12s = + + 3 21 5
42、2 2 4 36 2 6 3 + + + 。3) 当 4n = 时， 2 3 4, ,s s s 同 1 ）所给， 6s 同 2 ）所给，且5 3 2 25 1 1 2 1 3 1 2 1 4 2 35 5 5 5 5s = + + 。4 ）当 4n = 时， 2 3,s s 同 1 ）所给， 5 6,s s 同 3 ）所给，且4 2 24 1 1 2 1 3 24 4 2s = + + 。5 ）当 2n = 时， 2s 同 1 ）所给， 4 5 6, ,s s s 同 4 ）所给，且 33 1 1 23s = 。18证明：如果对于某一个 6 次方程有 1 3 0s s= = ，那么 7 5
43、27 5 2s s s= i 。证 这时 6n = ，并注意 1 1 0s = = ，且 1 33 0s = = ，所以 3 0 = ，于是2 22s = ， 5 2 3 55 5s = + ，即 5 55s = 。而 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 5 6 1s s s s s s s = + + 2 57 = ，故 7 5 22 57 5 2s s s = = i 。19求一个 n 次方程使 1 2 1 0ns s s = = = = 。解 设此方程为 11 . ( 1 ) 0n n n nx x + + = ，由题设及牛顿公式，可得1 2 1. 0n = = = ，故所求方程为
44、( 1 ) 0n nnx + = 或 0nx a+ = 。20求一个 n 次方程使 1 2 0ns s s= = = = 。解 设此方程为 11 . ( 1 ) 0n n n nx x + + = ，由题设及牛顿公式可得 1 1kk k = ( 2, 3 , ., )k n= ，即 1 !kk k = ( 2 , 3 , . . . , )k n= ，所以 22 112 = ， 33 113! = ， . ， 11 ! nn n = ，故所求方程为 21 21 11 . ( 1 ) 02! !nn n n nx x x n + + + = 。第二章 第二章 第二章 第二章 行 行 行 行 列
45、列 列 列 式 式 式 式1. 求以下 9 级排列的逆序数 , 从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解 :1) 所求排列的逆序数为 :( ) 1011033110134782695 =+= ，所以此排列为偶排列。2) 所求排列的逆序数为 :( ) 1810345401217986354 =+= ，所以此排列为偶排列。3) 所求排列的逆序数为 :( ) ( ) 362 19912345678987654321 =+= ，所以此排列为偶排列。2.选择 i 与 k 使1) 1274i 56k
46、 9 成偶排列；2) 1 i 25k 4897成奇排列。解 : 1) 当 3,8 = ki 时 , 所求排列的逆序数为 :( ) ( )10011314001274856399561274=+= ki ，故当 3,8 = ki 时的 排列为偶排列 . 。2)当 6,3 = ki 时 , 所求排列的逆序数为 :( ) ( )5110110101325648974897251=+= ki ，故 当 6,3 = ki 时 的 排列为奇排列。3.写出把排列 12345变成排列 25341的那些对换。解 : 12345 ( ) ( ) ( ) 2 5 3 4 12 5 4 3 12 1 4 3 5 4,35,22,1 。4.决定排列 ( ) 211 nn 的逆序数 , 并讨论它的奇偶性。解 : 因为 1 与其它数构成 1n 个逆序 ,2 与其它数构成 2n 个逆序 , nn 与1 构成 1
