1、56 第 5 讲提高-尖子-目标教师版满分晋级新课标剖析当前形势 直线与圆锥曲线在近五年北京卷（理）考查 1419 分要求层次内容A B C 具体要求高考要求 直线与圆锥曲线的位置关系 判别式和韦达定理的应用；直线与抛物线相交截得的弦长等问题2008 年 2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标）北京高考解读 第 19 题 14 分 第 12 题 5 分第 19 题 14 分 第 19 题 14 分第 14 题 5 分第 19 题 14 分 第 19 题 14 分5.1 直线与圆锥曲线的位置关系第 5 讲解析几何 3 级双曲线与抛物线初步解析几何 4
2、级直线与圆锥曲线的位置关系初步解析几何 5 级曲线与方程直线与圆锥曲线的位置关系初步57第 5 讲提高- 尖子-目标教师版考点 1：直线与圆锥曲线的位置关系知识点睛直线 ： 与圆锥曲线 ： 的位置关系：l0AxByCC()0fxy，直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线 ： ，圆锥曲线 ： ，由l ()f， 0()AxByCf，消去 （或消去 ），得到关于 （或 ）的方程： （ ）yxxy2abc2abc方程组的解的个数与方程 的解的个数是一致的20abc若 ， ， 相交； 相离； 相切，0a24bc0若 ，直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点的
3、情况：当直线平行于抛物线的对称轴时；当直线平行于双曲线的渐近线时所以直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直 线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件以抛物线 为例，直 线 ，只有当 时，代入抛物线方程，才会转化2ypx0AxByC0A成一次方程，此时，直 线平行于抛物线的对称轴经典精讲【例 1】 已知椭圆 ，直线 ： 与椭圆有两个交点时， 的取值范围为2143xylyxmm_ 直线 与椭圆 有且只有一个交点，则 _ymx241x 2 直线 与椭圆 的交点个数为（ ）kyA B C D以上都不对012【 ；7 ；34 D；【点评】直线与椭圆的位置关系，只需考 虑判别式即可提高班学案 1【拓
4、 1】 已知两点 ， ，给出椭圆 ，问在椭圆上是否存在点 ，使得54M， 54N， 21xyP？P【 的中点坐标为 ，斜率 为 ，故 的中垂线方程为 ： ，N302， 12kMNl23yx58 第 5 讲提高-尖子-目标教师版根据题意知，本题即判断直线 与椭圆有无公共点的问题l联立 ，消去 得 ，此式的判 别 式 ，231yxy294160x249160故有且仅有一个交点当然也可以设出 点的坐标，直接 计算P【例 2】 判断下列直线与双曲线 的位置关系：2154xy ； ； ；1yx02x2yx 若过点 的直线 与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有_(30)， l936条【 相切；相交（只
5、有一个交点）；相离；相交 ；3过一个定点 与双曲线只有一个公共点的直线的条数：（图中区域不包括边界）P 在双曲线上，有 条； 在区域，有 条； 在渐近线上但不是原点，有 2 条；3P2P 在区域，有 条； 是原点，有 条40yxO(3)(3) (2)(2) (1)(1)(3)(3) (2)(2) (1)(1)【点评】直线与双曲线的位置关系更多时候利用数形结合尖子班学案 1【拓 2】 已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲21(0)xyabb， F60线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D(1， (2)， 2)， (2)，【 C；目标班学案
6、 1【拓 3】 直线 与双曲线 的右支交于不同的 ， 两点，求实数 的取值范:lykx2:1CxyABk59第 5 讲提高- 尖子-目标教师版围【 ；2，【例 3】 函数 的图象与直线 相切，则 （ ）21yaxyxaA B C D84121 直线 ，抛物线 ，当 为何值时， 与 ：:lk:4klC有一个公共点； 有两个公共点； 没有公共点【 B 当 或 时，直线 与 有一个公共点；当 且 时，直线 与抛物线10l 1k0 l有两个公共点；当 时，直 线 与抛物线 没有公共点CkC【 一般地，直 线与抛物 线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不
7、一定是相切的（如 图）因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程为_(01)P， 2yx【 或 或xyx【思路】显然，过点 且垂直于 轴的直线，即 轴满足 题意()， y设过点 且不垂直于 轴的直线的斜率为 ，其方程 为 代入抛物线 中得k1ykx2yx210kxx当 时，得直 线与抛物线只有一个交点 ，满足题意012，当 时，令 ，得k 24()0kk即直线 ，与抛物线也只有一个公共点12yx综上所述，所求直线的方程是 或 或 x1y12x【错因分析】误区一是设点斜式不能表示过 点垂直于 轴的直线而 轴恰满足题意，Py误
8、区二是忽略过点 与 轴平行的直线5.2 直线与圆锥曲线相交初步60 第 5 讲提高-尖子-目标教师版考点 2：弦中点的坐标问题知识点睛直线 与圆锥曲线 交于两点 ，将 代入0AxByC0fxy， 12MxyNxy， ， ， 0AxByC，消去 （或 ） ，得到一元二次方程 ，方程的两根满足 ，f， 20abc12ba中点的横坐标即为 MN12xba经典精讲【例 4】 直线 被抛物线 截得线段的中点坐标是 1yx24yx 直线 与双曲线 交于 两点，则 的中垂线方程为（ ）313AB，A B C D200210xy210xy 椭圆 过点 的弦恰好被 平分，则此弦所在的直线方程是14xyP， P_
9、【 32， C； ；0xy提高班学案 2【拓 1】 已知直线 与抛物线 交于 、 两点，那么线段 的中点坐标是2xy24yxABAB_ 过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 、 两点，且 的中点横坐标为24y，则这样的直线（ ）5A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在【 42， B考点 3：通径问题61第 5 讲提高- 尖子-目标教师版知识点睛经过抛物线 的焦点 ，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于 两点，线段2ypxF MN，叫做抛物线的通径类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点，MN作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）
10、截得的线段叫做椭圆（双曲线）的“通径”抛物线 的通径长为 ；2ypx2p椭圆 的通径长为 ；10ab2ba双曲线 的通径长为2，椭圆（抛物线）的通径是过椭圆（抛物线）焦点的弦中最短的一条双曲线的通径是过双曲线的焦点，同支的弦中最短的我们来证明通径是最短的以 椭圆为例设椭圆的标准方程为 ，直 线 过椭圆的右焦点 ，且与椭圆交于两点210xyabl0Fc，下面求 的最小值AB，当 是通径时，不难算出 2AB当 非通径时，直线 的斜率存在，不妨设 的方程为 ，代入椭圆方程化简得l lykxc，222220bakxkcab设 ，则 12AyBy， ， ， 122akcx又由前面椭圆一讲知， ，其中 为
11、椭圆的离心率，则AFeBex，222122cakcbFaabkba双曲线和抛物线类似可证双曲 线需要注意焦点弦所在直 线的斜率范围，保 证焦点弦在双曲线的同支上经典精讲【例 5】 已知双曲线 的焦点为 、 ，点 在双曲线上，且 轴，则 到直2163xy1F2M1Fx1线 的距离为（ ）2FMA B C D3555656 设过椭圆 的左焦点 的弦为 ，则（ ）216xyFABA B C D都有可能A62 第 5 讲提高-尖子-目标教师版 过抛物线的焦点且垂直于抛物线轴的直线交抛物线于 、 两点，抛物线的准线交抛PQ物线的轴于点 ，则 一定是（ ）MPQA锐角 B直角 C钝角 D锐角或钝角【 B
12、A考点 4：求圆锥曲线的弦长知识点睛连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为 ，被抛物线截得弦 两端点坐标分别为 ，kAB12()()xy， ， ，则弦长公式为 221120ABkxyk两根差公式：如果 是一元二次方程 的两个根，12x， 20abc则 （ ） 22211 4()44bacx 0当抛物线的标准方程为 时，直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于 、 两点，ypx CD则弦长 1212pCD圆锥曲线求弦长时，都有一定的 计算量，求弦长的方式基本上类似，其中以
13、抛物线的计算相对较为简单，预习阶段就主要 讲抛物线，外加一道椭圆的题。经典精讲【例 6】 直线 与抛物线 相交于 ， 两点，求弦 的长1yx21yxABAB 已知斜率为 的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交于 ， 两点，求弦224的长AB【 83 5尖子班学案 263第 5 讲提高- 尖子-目标教师版【拓 2】 设抛物线 被直线 截得的弦长为 ，求 值24yx2yxb35b 以中的弦为底边，以 轴上的点 为顶点作三角形，当三角形的面积为 时，P9求 点坐标P【 b 点坐标是 或 (10)， (5)，目标班学案 2【拓 3】 正方形 的一条边 在直线 上，顶点 、 在抛物线 上，求正方形的AB
14、CDAB4yxCD2yx边长【 正方形的边长为 或 325【例 7】 已知椭圆 ，直线 被椭圆截得的弦长为 ，且2:10xyCab1:xylab2，过椭圆 的右焦点且斜率为 的直线 被椭圆 截的弦 ，63e32CAB求椭圆的方程；弦 的长度AB【 椭圆的方程为 216xy 弦 的长度为 4564 第 5 讲提高-尖子-目标教师版实战演练【演练 1】过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，则这样的直线条数为（ ）24， 28yxA B C D34【 B【演练 2】给定双曲线 ，被双曲线截得的弦的中点为 的直线的条数为（ ）21yx2，A B C D0 3【演练 3】设椭圆 的右焦点为 ，直线 ，若
15、过点 且垂直于 轴的弦210xyab1F21:alxc1Fx的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率为 Fl【 12【演练 4】已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 两点，求弦 的219xyF6AB， AB长【 |AB【演练 5】求顶点在原点，焦点在 轴上且被直线 所截得的弦长为 的抛物线方程x210xy15【 抛物线方程为 或 21y24y大千世界已知直线 和双曲线 及其渐近线依次交于 四点l 210xyabb， ABCD， ， ，求证： ABCD【 只需证 和 的中点重合即可若直线 的斜率不存在，即 与 轴垂直，易知 结论成立llx若 的斜率存在， 设其方程为 ，代入双曲线方程，消去 ，整理得ykmy22220bakxkab设 ，则 12AyD， ， ， 122axk再将 代入渐近线方程 （也可以分别与两条渐近线联立），整理得my2220bakxka65第 5 讲提高- 尖子-目标教师版设 ，则 34BxyCxy， ， ， 234akmxb因此 ，即 和 的中点重合，故 123ADBCABCDDCBAyxO
