1、专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分1D【解析】通解 因为函数 为奇函数，所以 ，32()(1)fxax()(fxf所以 ，所以 ，3232()1)()()xaa2(1)0因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，Rfx2(3fx(f所以曲线 在点 处的切线方程为 故选 D()yfx0,)y优解一 因为函数 为奇函数，所以 ，所以32(1ax(1)0ff，解得 ，所以 ，1(1)a 3)fx所以 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为2)3fx(0f (y,)故选 Dy优解二 易知 ，因为 为奇函数，322()(1)(1)fxaxax()fx所以函数 为偶
2、函数，所以 ，解得 ，所以2g 01a，所以 ，所以 ，所以曲线 在点3()fx2()3fx()f ()yfx处的切线方程为 故选 D0,y2A【解析】不妨设 ， ，由于 ，所以 ，11(,ln)Px22(,ln)x12l12()x则 又切线 ： ， ，12x1l11l()y222:ln()y于是 ， ，所以 ，联立 ，1(0,ln)Ax1(0,ln)Bx|AB1122l()nxyx解得 ，所以 ，因为 ，所以 ，12Px122PABPSx1x12x所以 的取值范围是 ，故选 APABS(0,1)3A【解析】设函数 的图象上两点 ， ，则由导数的几何意义yfx1(,)Pxy2(,)Q可知，点
3、P，Q 处切线的斜率分别为 ， 若函数具有 T 性质,则kfkfx= = 1对于 A 选项， ，显然 = =12k1()fx2()cos12k12cosx1 有无数组解，所以该函数具有 T 性质；对于 B 选项， ，显然 ()0)fx= = 1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 C 选项， 0，12k2x xfe显然 = = 1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项，11xe0，显然 = = 1 无解，故该函数不具有 T 性质故选 A2()3fx2k213x4C 【解析】 取满足题意得函数 ，若取 ，则()f-32k12()3ffk=，所以排除 A若取 ，13k=- -意的函数
4、，若取 ，则 ，所以排除()fx2k()42fkk=-B，故结论一定错误的是 C5D【解析】 ，由题意得 ，即 1yax0|2xy3a6D【解析】由 得， 、 或 （舍去） ，直线 与曲线34xy4在第一象限内围成的封闭图形的面积 yx 2322001(4)()|Sxd7B【解析】 ， ，32171xSd21lnl显然 ，故选 B2231xxSede213S8C【解析】 ,正方形的面积为 1，1 20)()06dxx阴 影 =（ = P69C【解析】用定积分求解 ，选 C34 2400 116(2)()3xdxx10C【解析】 10xe，选 C10(2)xed11D【解析】 ， = ln42l
5、nl4n2l12A【解析】点 处的切线斜率为 ， ，由点斜式可得切线(1,0)k131xy方程为 A13D【解析】因为 ，即 tan 1，所 24(1)xxeye 以 3414 【解析】 ， 当 时， ，2yx2ln()yx21yx02y曲线 在点 处的切线方程为 ，即 l(1)0, ()xx15 【解析】 ，由曲线在点 处的切线的斜率为 ，3xyae (,)得 ，所以 00()2xxa 3a16 1ln2【解析】设 与 和 的切点分别为ykblnyxln(1)yx和 (,)x2(,ln1)x则切线分别为 ， ，11l(yx222ln(1)()yxx化简得 ， ，11lnx222ly依题意，
6、，解得 ，1222lnl1xx12x从而 1llbx17 2y【解析】由题意可得当 时, ，则 ，0x()ln3fx1()3fx，则在点 处的切线方程为 ，即 ()f(,3)21)y2y180【解析】 22010xdx19 【解析】因为 xye，所以 xye，所以曲线 xye在点 0,1处的切线的斜率(1,)011xky，设 的坐标为 0,（ 0） ，则 0，因为 yx，所以 2，所以曲线 yx在点 处的切线的斜率 0221xky，因为P12k，所以 201，即 201，解得 01x，因为 0，所以 0x，所以 0y，即 的坐标是 ,，所以答案应填： ,P20 【解析】由已知得阴影部分面积为
7、217543xd所以此点取自阴影部512分的概率等于 5341221 yx【解析】 ，在点 处的切线的斜率为 ，5xye(0,)5切线方程为 ，即 3y()22 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，2e ，由几何概型的概率计算公式，1100=()2|xxSede阴得所求的概率为 2S阴正233【解析】由题意可得 又 ，过点 )5,2(P的切54ba2()bfxa线的斜率 ，由解得 ，所以 742ba1,2ab3ab24【解析】 对于， ，所以 是曲线 在点203,|xy:0ly:Cyx处的切线，画图可知曲线 在点 附近位于直线 的两侧，(0,)P3:C(,)Pl正确；对于，因为 ，所以
8、不是曲线 ：12(),|xyy:1lx在点 处的切线，错误；对于， ，在点2)1(xy0, 0cos,|1xy处的切线为 ，画图可知曲线 ： 在点 附近位于直线0,Pxyl:CxinP的两侧，正确；对于， ， ，在点 处的切线l 21cosx021|cosxy ,为 ，画图可知曲线 ： 在点 附近位于直线 的两侧，正确；xy: tan,l对于 ， ，11|x在点 处的切线为 ，令 ，可得0,P:yl()1ln(0)hxx，所以 ，故 ，()hxxmin()0可知曲线 ： 在点 附近位于直线 的下侧，错误Cyln,1Pl252【解析】 1，则 k，故切线方程 yx过点 解得 2(1,)263【解
9、析】 393002TxdTT27 1()n【解析 】由 012(1)nnnnCxCxx两边同时积分得：1112222200000.nnnnndxdd从而得到如下等式：= 012311()()()2 2nnnnCCC13()n28 【解析】32 11sicos|coscos3xxd329 【解析】 axdSaa 230230，解得 499430 【解析】 ，切线斜率为 4，则切线方程为：3yxln4y.311【解析】因为 10x，所以 (1)lg0f，又因为 230()afxtdx，所以 3(0)fa，所以 3， a32 【解析】由题意可知 得 ，故积分 的近1N10()fxdN110()Nfx
10、10()fxd似值为 3321【解析】在点 处的切线方程为： 当 时，2(,)ka2(),kkyaxay解得 ，所以 kx1135,641k34 【解析】 （）因为 ，所()ecosxf以 ()ecosin,0xf f 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 01f()yx,(0)f 1y（）设 ，则()ecsi1xhoincos)2esinx x当 时， ，(0,)2()0h所以 在区间 上单调递减()x,所以对任意 有 ，即 (0,2()0hx()0fx所以函数 在区间 上单调递减()fx,因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ()f0,2(0)1f()2f35 【解析】 （I） ，(
11、)eaxfb()e(1)eaxxaxfbb曲线 在点 处的切线方程为y2,()f ()4y ，(2)1)4f 1即 2e(e)ab()f由解得： ， （II）由（I）可知： ，2()exf2()1exfx令 ，2()1xgx2()xg,2,()gx0A极小值 A 的最小值是()gx2()1e 的最小值为 f 10fg即 对 恒成立()0R 在 上单调递增，无减区间fx,36 【解析】 （）对 求导得()fx22(633(6) ,()xx xaeeafx e因为 在 处取得极值，所以 即 f0(0)f当 时， = 故 从而 在点a()fx22336,(),xfee3(1),(),ffe()fx（
12、1， ）处的切线方程为 化简得 f (,y0xy（）由（）知 236)()xafxe令 ，2()36gxa由 解得 ， 021362236ax当 时， ，即 ，故 为减函数；1x()0gx()0fx()fx当 时， ，即 ，故 为增函数；2当 时， ，即 ，故 为减函数；x()x()fx()fx由 在 上为减函数，知 解得()f3,22636,a9,2a故 的取值范围为 a9,237 【解析】 （）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ， ，()yfx0(,)x0()fx0()fx即 ，解得 30214xa013,24a因此，当 时， 轴是曲线 的切线x()yfx（）当 时， ，从而 ，(1,)x()
13、ln0g()min(),()0hfxgx 在 无零点()h,)当 =1 时，若 ，则 ， ,x54a 5(1)04fa (1)in(),1()0hfg故 =1 是 的零点；若 ，则 ，()f,故 =1 不是 的零点(1)min,()hfgfx()当 时， ，所以只需考虑 在 的零点个数0,xln0xfx(0,1)()若 或 ，则 在 无零点，故 在 单调，3a 2()3fxa(,)fx(,)而 ， ，所以当 时， 在 有一个零点；14f5()4fa fx(,)当 0 时， 在 无零点. x0,1()若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递增，3a()f3a3a故当 = 时， 取的最小
14、值，最小值为 = x3a()fx()3af214若 0，即 0， 在 无零点()f4a()fx0,1若 =0，即 ，则 在 有唯一零点；()3af3()f,若 0，即 ，由于 ， ，()f 4a1(0)4f5()4fa所以当 时， 在 有两个零点；534a()fx,1当 时， 在 有一个零点30综上，当 或 时， 由一个零点；54()hx当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点4a534a()hx38 【解析】(1)函数 的定义域为 ， ()fx(0,)112(lnx xbfee由题意可得 ， 12e1,2.ab故(2)由(1)知 ，从而 等价于 1()lnxxfe()fxlxe设函数
15、，则 g()g所以当 时， ；当 时， 1(0,)xe0x(,)e()0gx故 在 单调递减，在 单调递增，1(,)从而 子啊 的最小值为 ()gx,)ge设函数 ，则 2xhe()1)xh所以当 时 ；当 时， 故 在 单调递增，(0,1)(0,(0hx(),1在 单调递减，从而 在 的最大值为 (,)()hx,)(1)e39 【解析】()因为 1fem, x=0 是 f的极值点，所以 1(0)fm，解得 1m，所以函数 fx=e-ln(x+1)，其定义域为 (1,)，因为 ()xfe= (1)，设 1xg，则 ()0xxge，所以 ()gx在 1,)上是增函数，又因为 (0)，所以当 0时
16、， (g，即 0f；当 x时， x， ()fx，所以 )fx在 (,)上是减函数；在(0,)，上是增函数（）当 2m， ,x时， lnl2xmx，故只需证明当 时， 0f当 时，函数 12xe在 ,单调递增又 10,ff，故 f在 有唯一实根 0x，且 0x当 02,时， 0fx；当 0,x时， fx，从而当 0x时，fx取得最小值由 0f得 0001,ln2e，故 20012xffx综上，当 m时， f40 【解析】 （1）由 =y的图像过 0,点，代入得 ，1b由 yfx在 0,处的切线斜率为 32，又 =0=03+22x xya，得 a(2)(证法一 )由均值不等式，当 0x时， 10x
17、时， 212xxA，故 x时， 30f当 时， ，3(,x)()0fx因此， 的单调递增区间为 和 ，()f 3(,)（ ， ）单调递减区间为 3(,)（ii）曲线 C 与其在点 处的切线方程为1P23111=(3)+,yxx即得 ，2311y=(),x由 23()=yx2311()即 ，解得 ，进而有211+0（ 1121,xx或 故，用 代替 ，重复上述计算过程，可得132347()xSxd和 ，又 ，所以32427=10x42176=0,Sx因此有 126S（）记函数 的图象为曲线 ，类似于（） （ii ）32()gxabcxd(0)aC的正确命题为：若对任意不等式 的实数 ，曲线 与其在点 处的切11(,)Pxg线交于另一点 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点22(,)Px22(,)Pxg，线段 与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为 ，则3(,)xg13 1,2S为定值12S证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 的对称中心=()ygx平移至坐标原点，因而不妨设 ，类似（i）(3bga(， ) 3(0)ahx（ii）的计算可得， 故 4127=Sx42160,x12=6S
