1、概率公式整理1随机事件及其概率吸收律： AB)( AB)()(A反演律： BABnii1niiA12概率的定义及其计算 )(1)(AP若 B)()(APB对任意两个事件 A, B, 有 )()(B加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()(PPBA )()1)()()()( 211111 nnnkjikjinjijiniini APAPA 3条件概率 ABP)(乘法公式)0()( APBAP)(121 1221 nnn A 全概率公式niiABP1)()( )()1iniiBAPBayes 公式)(ABPk)(kni iikkBAP1)()4随机变量及其分布分布函数计算 )()(aF
2、bXPXaP5离散型随机变量(1) 0 1 分布 1,0,)()(1kpkXP(2) 二项分布 ),(nB若 P ( A ) = p nkCkXnkn ,10,)1(* Possion 定理 0limnp有 ,210!)1(likeCknknn (3) Poisson 分布 )(P,210,!)(kekXP6连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(baU其 他,01)(xxf1,)(abxF(2) 指数分布 )(E其 他,0)(xexf,1)(xeF(3) 正态分布 N ( , 2 ) xexfx)(xtFd21)(2)(* N (0,1) 标准正态分布 xexx21)(txd)(27.多维随机
3、变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvufF),(),(边缘分布函数与边缘密度函数 xXvf),()(dfyYuvfF),()(f8. 连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G )其 他,0)(1),(yxAyxf(2) 二维正态分布 yxeyxf yxx,12),( 22121 )()()()(2 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()(),( xfyfxyf XXYyYdfxfdyxff YXX )(),()( yyYY)(xfYX)(,yfY)(yfxYX)(fXY)(,xfX)(xfX10. 随机变量的数字特征数学期望 1)(kpxXEdf)
4、(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(EX 的 k 阶绝对原点矩)|(X 的 k 阶中心矩 )(kEX 的 方差 )()(2XDX ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(YEX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩lYE)()(X ,Y 的 二阶混合原点矩)(YEX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差)()(YEX ,Y 的相关系数XYDXEYE)(X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) )2协方差 )()(),cov( YEXEYX)()(21DD相关系数 )(,covYXXY线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分
5、内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算 AB C cc dAc Ad 或 。0TTBA。TcT2121nCnnAaaAD转置值不变 T逆值变 1Acn, 2121，3 阶矩阵21,BA321,BBAA01,cjiE有关乘法的基本运算njijijiij babaC21线性性质 ，BAA2121Bcc结合律 CATTBAlklkllA不一定成立！kkBA，E， 与数的乘法的不
6、同之处不一定成立！kkBA无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵 的每个多项式可以因式分解，例如EAE32无消去律（矩阵和矩阵相乘）当 时 或0AB0B由 和由 时 （无左消去律）C特别的 设 可逆，则 有消去律。A左消去律： 。BA右消去律： 。如果 列满秩，则 有左消去律，即 0B C可逆矩阵的性质i）当 可逆时，A也可逆，且 。TTTA1也可逆，且 。kAkk1数 ， 也可逆， 。0c11Acii） ， 是两个 阶可逆矩阵 也可逆，且 。ABnB11AB推论：设 ， 是两个 阶矩阵，则 E命题：初等矩阵都可逆，且jiEji,1cici1jiEji,1命题：准对角矩阵可逆 每个 都可逆，记
7、kAA021iA11210kAA伴随矩阵的基本性质：EA*当 可逆时， 得 ， （求逆矩阵的伴随矩阵法）A*1且得： 11*AA11*伴随矩阵的其他性质 , 1*nA1 TT ,1cn *AB ，kk 。 时， n2*2A*dcba关于矩阵右上肩记号： ， ， ，*Tk1i) 任何两个的次序可交换，如 ，TA*等1ii) ，11 ,ABABTT*但 不一定成立！kk线性表示s,021si有解 ss xx 2121,有解s, Tsx,1有解，即 可用 A 的列向量组表示Ax， ，srCB,21 n,21则 。nsr,21 ，st,21则存在矩阵 ，使得CCst ,2121 线性表示关系有传递性
8、当 ，pst r,21 则 。pt r,2121等价关系：如果 与 互相可表示 s,21 tts,2121 记作 。ts,2121 线性相关，单个向量 ， 相关1s0x0， 相关 对应分量成比例 相关221, 21, nbaba:21向量个数 =维数 ，则 线性相（无）关snn1, 01n， 有非零解nA,210Ax0A如果 ，则 一定相关nss,21的方程个数 未知数个数0Axns如果 无关，则它的每一个部分组都无关s,21如果 无关，而 相关，则s,21 ,21s s,21证明：设 不全为 0，使得cs,1 01ccs则其中 ，否则 不全为 0， ，与条件 无关s,1 1s s,1矛盾。于
9、是 。scc1当 时，表示方式唯一 无关s,1s1（表示方式不唯一 相关）s1若 ，并且 ，则 一定线性相关。st,11 stt,1证明：记 ， ，sA,1tB,1则存在 矩阵 ，使得 。tCA有 个方程， 个未知数， ，有非零解 ， 。0xstts0C则 ，即 也是 的非零解，从而 线性相关。AB0Bxt,1各性质的逆否形式如果 无关，则 。s,21 n如果 有相关的部分组，则它自己一定也相关。s,21如果 无关，而 ，则 无关。s1 s,1 s,1如果 ， 无关，则 。st 11 t1t推论：若两个无关向量组 与 等价，则 。s1t1ts极大无关组一个线性无关部分组 ，若 等于秩 ， 就一
10、定是极大无关组II#I6421, 无关s,21 s, 21 sss , ,1另一种说法： 取 的一个极大无关组s,21 I也是 的极大无关组 相关。Is ,证明： 相关。,1 Issss ,/,1, , 111 可用 唯一表示s,1 ss stsst , 111 st, ts,11 ttss , , 1111 矩阵的秩的简单性质nmAr,i00行满秩： r列满秩：An阶矩阵 满秩：nAr满秩 的行（列）向量组线性无关0A可逆只有零解， 唯一解。xAx矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 ArT 时，0cc Brr A,min 可逆时， r弱化条件：如果 列满秩，则 BA证：下面证 与 同解
11、。0ABx是 的解是 的解0x可逆时，BAr若 ，则 （ 的列数， 的行数）0AnBB 列满秩时 r行满秩时BA BrnAr解的性质1 的解的性质。0x如果 是一组解，则它们的任意线性组合 一定e,21 ecc21也是解。00, 21eii ccA2 Ax如果 是 的一组解，则e,21 x也是 的解ecc21 Ax121ecc是 的解 00iAiee AccAcc 2121e特别的： 当 是 的两个解时， 是 的解21,x210x如果 是 的解，则 维向量 也是 的解 是 的解。0AxnA0Ax解的情况判别方程： ，即nx21有解 n,A|nn,2121 无解 |唯一解 |无穷多解 nA|方程
12、个数 ：mA,|当 时， ，有解m|当 时， ，不会是唯一解nn对于齐次线性方程组 ，0Ax只有零解 （即 列满秩）（有非零解 ）n特征值特征向量是 的特征值 是 的特征多项式 的根。AAAxE两种特殊情形：（1） 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。321 0* A321321 * xxxxE（2） 时： 的特征值为Ar Atr,0,特征值的性质命题： 阶矩阵 的特征值 的重数nEn 命题：设 的特征值为 ，则 , ,21 An 21 tr命题：设 是 的特征向量，特征值为 ，即 ，则A对于 的每个多项式 ，Afxff当 可逆时， ，1|*命题：设 的特征值为 ，则n ,
13、 21 的特征值为Afnff ,2 可逆时， 的特征值为1 n 1, 2 1的特征值为*AnA 2 1|,|,| 的特征值也是T n, ,21特征值的应用求行列式 nA , |21判别可逆性是 的特征值 不可逆EAE 0 可逆 不是 的特征值。 当 时，如果 ，则 可逆0Afcfc若 是 的特征值，则 是 的特征值 。AfAf0f不是 的特征值 可逆。cf0cEn 阶矩阵的相似关系当 时， ，而 时， 。UBUB相似关系有 i）对称性： A，则A1 1ii）有传递性： ， ，则C， ，则B1V1BVAUUV1命题 当 时， 和 有许多相同的性质A B ， 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。
14、A与 的特征向量的关系： 是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量。A1UB1111 11 UAU正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为 ，则它们同时正定或同时不正定nxf,21 nyg,21，则 ， 同时正定，同时不正定。BA例如 。如果 正定，则对每个ACT0xACxxT（ 可逆， ， ！）0我们给出关于正定的以下性质正定AE存在实可逆矩阵 ， 。CAT的正惯性指数 。n的特征值全大于 。A0的每个顺序主子式全大于 。判断 正定的三种方法：顺序主子式法。特征值法。定义法。基本概念对称矩阵 。AT反对称矩阵 。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1 ，台角正上方的
15、元素都为 0。如果 是一个 阶矩阵， 是阶梯形矩阵 是上三角矩阵，反之不一定nA矩阵消元法：（解的情况）写出增广矩阵 ，用初等行变换化 为阶梯形矩阵 。AB用 判别解的情况。Bi）如果 最下面的非零行为 ，则无解，否则有解。d0,ii）如果有解，记 是 的非零行数，则B时唯一解。n 时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉 的零行，得 ，它是 矩阵， 是 阶梯形矩阵，从而是上三0 cn0Bn角矩阵。则 都不为 。0 nbinb1 就是解。ErBA 行行一个 阶行列式 的值：nnnnaa 212112是 项的代数和!每一项是 个元素的乘积，它们共有 项 其中 是 的一个!njja2
16、1 nj21,全排列。 前面乘的应为 的逆序数njja1 nj21nj21n nnj jjja 21 2121Cn代数余子式为 的余子式。ijMijaijiijA1定理：一个行列式的值 等于它的某一行（列） ，各元素与各自代数余子式乘积之和。DnAaaD2221一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为 。0范德蒙行列式个jiinaaa)(11 2nC乘法相关的 位元素是 的第 行和 的第 列对应元素乘积之和。ABji,AiBjnjijijiij babaC21乘积矩阵的列向量与行向量（1）设 矩阵 ， 维列向量 ，则nmnA,21Tnb,21bb1矩阵乘法应用于方程组方程组的
17、矩阵形式，AxTmb,21方程组的向量形式nx21（2）设 ，CBsAA,21niiiii bbr的第 个列向量是 的列向量组的线性组合，组合系数是 的第 个列向量的各分Bi量。的第 个行向量是 的行向量组的线性组合，组合系数是 的第 个行向量的各分ABiBA量。矩阵分解当矩阵 的每个列向量都是 的列向量的线性组合时，可把 分解为 与一个矩阵CAC的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题nn0,2121 n,21对角矩阵从右侧乘一矩阵 ，即用对角线上的元素依次乘 的各列向量AA对角矩阵从左侧乘一矩阵 ，即用对角线上的元素依次乘 的各行向量于是 ，AE，kk两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应
18、元素相乘对角矩阵的 次方幂只须把每个对角线上元素作 次方幂k对一个 阶矩阵 ，规定 为 的对角线上元素之和称为 的迹数。nAtrAA于是 TkTk1Tk1Ttr其他形式方阵的高次幂也有规律例如： 102A初等矩阵及其在乘法中的作用（1） ：交换 的第 两行或交换 的第 两列jiE,ji,Eji,（2） ：用数 乘 的第 行或第 列)(c0i（3） ：把 的第 行的 倍加到第 行上，或把 的第 列的 倍加到第 列上。)(,cjiEjciEicj初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵 等同于对 作一次相当的初等行（列）变换A乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵 和 的乘积时，可以先把 和 用纵横线分割成
19、若干小矩阵来BAB进行，要求 的纵向分割与 的横向分割一致。A两种常用的情况（1） 都分成 4 块BA,，21 21B其中 的列数和 的行数相等， 的列数和 的行数相关。ij1iAj22122112AB（2）准对角矩阵kA021 k21k21k21 BA00BA0B0 矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程 （都需求 是方阵，且 ）A0BAxIBxI（I）的解法：xE 行（II）的解法，先化为 。TBA。TTxEBA通过逆求解： ，BA1可逆矩阵及其逆矩阵定义：设 是 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得 ，且 ，则称 是可逆AnnHEAHA矩阵，称 是 的逆矩阵，证作 。H1A定理： 阶矩阵 可逆
20、 0求 的方程（初等变换法）11 EA行伴随矩阵TijnnnAA 212121*线性表示可以用 线性表示，即 可以表示为 的线性组合，s,21 s,21也就是存在 使得 sc sc21记号： s,21线性相关性线性相关：存在向量 可用其它向量 线性表示。isii,11 线性无关：每个向量 都不能用其它向量线性表示i定义：如果存在不全为 的 ，使得 则称0sc,21 021sc线性相关，否则称 线性无关。s,21 s,即： 线性相（无）关 有（无）非零解s,21 01sx有（无）非零解 ,21s极大无关组和秩定义： 的一个部分组 称为它的一个极大无关组，如果满足：s,21 Ii） 线性无关。Ii
21、i） 再扩大就相关。Is,21IIs1定义：规定 的秩 。s,21 s#, 21如果 每个元素都是零向量，则规定其秩为 。s 0ns,mi, 01有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量： ，并且向量方程ss,2121与 同解，则称它们有相同的线性关0,21sxx 01sxx系。对应的部分组有一致的相关性。的对应部分组 ，421, 421,若 相关，有不全为 的 使得01,c，421cc即 是 的解，, 021sxx从而也是 的解，则有021sx，0421cc也相关。3,极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设： ， ，则sA,21sB,21即 ，0sxx Ax即
22、 。21s与 有相同的线性关系即 与 同解。s,21 s,21 0AxB反之，当 与 同解时， 和 的列向量组有相同的线性关系。0AxBAB矩阵的秩定理：矩阵 的行向量组的秩=列向量组的秩规定 行（列）向量组的秩。Ar的计算：用初等变换化 为阶梯形矩阵 ，则 的非零行数即 。r BAr命题： 的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式1 mnmnbxaxa 21 222 1212 是解AxA3 有解nx21 n,21基础解系和通解1 有非零解时的基础解系0Ax是 的基础解系的条件：e,2 0x每个 都是 的解iA 线性无关e,21 的每个解0xe,21 / Anl通解如果 是 的一个基础解系，则
23、 的通解为e,21 0x0Ax， 任意ecc21i如果 是 的一个解， 是 的基础解系，则 的通解00Ax e,21 0AxAx为， 任意ecc210 i特征向量与特征值定义：如果 ，并且 与 线性相关，则称 是 的一个特征向量。此时，有数 ，使AA得 ，称 为 的特征值。A设 是数量矩阵 ，则对每个 维列向量 ， ，于是，任何非零列向量都是 的EnE特征向量，特征值都是 。特征值有限特征向量无穷多若 ，AccA21212121 cA每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算0,A0,AE是 的非零解x命题： 是 的特征值 是
24、属于 的特征向量 是 的非零解0 xAE称多项式 为 的特征多项式。AxE是 的特征值 是 的特征多项式 的根。x的重数： 作为 的根的重数。x阶矩阵 的特征值有 个： ，可能其中有的不是实数，有的是多重的。nAnn , ,21计算步骤：求出特征多项式 。xE求 的根，得特征值。AxE对每个特征值 ，求 的非零解，得属于 的特征向量。i 0 xAEi i n 阶矩阵的相似关系设 ， 是两个 阶矩阵。如果存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，则称 与 相似，ABnnUBA1记作 。n 阶矩阵的对角化基本定理 可对角化 有 个线性无关的特征向量。An设可逆矩阵 ，则U,21n021nnnUA ,0, 212
25、121 ，ii,判别法则可对角化 对于 的每个特征值 ， 的重数 。AAAEn计算：对每个特征值 ，求出 的一个基础解系，把它们合在一起，得到 个线i0xAEi n性无关的特征向量， 。令 ，则n,1 nU,21，其中 为 的特征值。 nAU021 ii二次型（实二次型）二次型及其矩阵一个 元二次型的一般形式为njijiniixaxxf 2,121只有平方项的二次型称为标准二次型。形如： 的 元二次型称为规范二次型。22121 qppxxx n对每个 阶实矩阵 ，记 ，则 是一个二次型。nAT,2AxxxfT,21称 的秩 为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。规范二次型的矩阵是规范对
26、角矩阵。可逆线性变量替换设有一个 元二次型 ，引进新的一组变量 ，并把 用nnxf,21 ny,21 nx,21它们表示。（并要求矩阵 是可逆矩阵）nnn nycycx 21221211 nnnccC 212112代入 ，得到 的一个二次型 这样的操作称为对xf, ,1 yg,作了一次可逆线性变量替换。nxf1设 ，则上面的变换式可写成TnyY,21CYx则 nTTn ygAxf ,11 于是 的矩阵为yg,CACTTT实对称矩阵的合同两个 阶实对称矩阵 和 ，如果存在 阶实可逆矩阵 ，值得 。称 与 合同，nBnCBAT记作 。BA命题：二次型 可用可逆线性变换替换化为AxxfTn1BYyg
27、n1二次型的标准化和规范化1每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。设 是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使得 是对角矩阵。AQAD1，DQT1A2标准化和规范化的方法正交变换法 配方法3惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于 0 的个数和小于 0 的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵 合同于唯一规范对角矩阵。A定理：二次型的正、负惯性
28、指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。正定二次型与正定矩阵定义：一个二次型 称为正定二次型，如果当 不全为 0 时，nxf,21 nx,1。0,例如，标准二次型 正定 ，22121, nn xdxdxf ini,1（必要性“ ”，取 ， ，此时 同样可证每1x02x 0,11f个 ）0id实对称矩阵正定即二次型 正定，也就是：当 时， 。AxT 0x0AxT例如实对角矩阵 正定 ，n 0 21 i n,1定义：设 是一个 阶矩阵，记 是 的西北角的 阶小方阵，称 为 的第 个顺序主AnrA
29、rrAr子式（或 阶顺序主子式） 。r附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化一向量的内积1定义两个 维实向量 的内积是一个数，记作 ，规定为它们对应分量乘积之和。n, ,设 ，则 nnba2121,nbaba21, T2性质对称性： ,双线性性质： ,2121,cc,正交性： ，且 0,0,nia12,3长度与正交向量 的长度nia12,0c单位向量：长度为 的向量1， ， ，0122若 ，则 是单位向量，称为 的单位化。 1两个向量 如果内积为 0： ，称它们是正交的。,如果 维向量组 两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。ns,21例 1如果向量组 两两正交，并且每个向
30、量都不为零向量，则它们线性无关。s证：记 ，则sA, 212200sT 则 即 。ArsrT, sr,1例 2若 是一个实的矩阵，则 。AT二正交矩阵一个实 阶矩阵 如果满足 ，就称为正交矩阵。nE1AT定理 是正交矩阵 的行向量组是单位正交向量组。的列向量组是单位正交向量组。例 3正交矩阵 保持内积，即A,证： , TTAA例 4 （04） 是 3 阶正交矩阵，并且 ，求 的解。1a0Ax三施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。c12设 线性无关3,正交化：令 1122,（设 ，12k11212, k当 时， 正交。 ）12,k12,23133,单位
31、化：令 ， ，123则 是与 等价的单位正交向量组。321,32,四实对称矩阵的对角化设 是一个实的对称矩阵，则A 的每个特征值都是实数。对每个特征值 ，重数 。即 可以对角化。AErn属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存在正交矩阵 ，使得 是对角矩阵。Q1对每个特征值 ，找 的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。0x设 是 阶的有 个特征值 （二重） ， （三重） ， （一重）A63121找 的 个单位正交特征向量 。12,找 的 个单位正交特征向量 。543找 的一个单位特征向量 。3654321,Q例 5 （04） 是 阶实对称矩阵， ， 是它的一个二重特征值，A2Ar6， 和 都是属于 的特征向量。01326（1）求 的另一个特征值。A（2）求 。解：（1）另一个特征值为 。0（2）设 是属于 的特征向量，则321x
