1、18.2 勾股定理的逆定理从容说课本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形(已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方)从而发现画出的三角形是直角三角形猜想如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b 2 c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题 2，把命题 2 的条件，结论与上节命题 1 的条件、结论作比较，引出逆命题的概念接着探究证明命题 2 的思路，用三角形全等证明命题 2 后，顺势引出逆定理的概念。命题 1，命题 2 属于原命题成立，逆命题也成立的情况为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立本节的重点是，如
2、何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形。难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题，教学时要给学生充分交流的时间和空间，让学生学会自主学习18.2 勾股定理的逆定理(一)教学目标一、知识与技能1掌握直角三角形的判别条件2熟记一些勾股数3掌握勾股定理的逆定理的探究方法二、过程与方法1用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想2通过对 Rt 判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神三、情感态度与价值观1通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望2通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神教学重点 探究勾股定理的逆定理，理
3、解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系教学难点 归纳、猜想出命题 2 的结论教具准备 多媒体课件教学过程一、创设问属情境，引入新课活动 1 (1)总结直角三角形有哪些性质 (2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形?设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力师生行为 学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆本活动，教师应重点关注学生： 能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识； 能否“温故知新” 生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方： (4)在含
4、 30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?生：有一个内角是 90，那么这个三角形就为直角三角形生：如果一个三角形，有两个角的和是 90，那么这个三角形也是直角三角形师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边 a，b 斜边 c 具有一定的数量关系即 a2b 2c 2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?二、讲授新课活动 2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结，4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉
5、成一个三角形，其中一个角便是直角这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5有下面的关系“324 25 2”那么围成的三角形是直角三角形画画看，如果三角形的三边分别为 2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.526 26.5 2，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm 再试一试设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边 a，b，c 满足 a2b 2c 2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法师生行为 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动教师参与此活动，并给学生以提示、启发在本活动
6、中，教师应重点关注学生：能否积极动手参与能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论学生是否有克服困难的勇气生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是 3 个单位长度即 AC3；同理BC4，AB 5因为 324 25 2我们围成的三角形是直角三角形生：如果三角形的三边分别是 2.5cm，6cm，6.5cm 我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现 6.5cm 的边所对的角是直角，并且 2.526 26.5 2再换成三边分别为 4cm，7.5cm，8.5cm 的三角形，目标可以发现 8.5cm 的边所对的角是直角，且也有 427.5 28.5 2是不是三角形的三边只要有两边的平
7、方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?活动 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c5，12，13；7，24，25；8，15，17(1)这三组效都满足 a2b 2c 2 吗?(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明本活动教师应重点关注学生：对猜想出的结论是否还有疑虑能否积极
8、主动的操作，并且很有耐心生：(1)这三组数都满足 a2b 2c 2(2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b 2c 2 那么这个三角形是直角三角形同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角直至科技发达的今天人类已跨人 21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法” “三四五放线法”是一种古老的归方操作所谓“归方”就是“做成直角” 。譬如建造房屋，房角一般总是成 90，怎样确定房角的纵横两线呢?如下图，欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂
9、线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的 0 和 12 尺处，固定在 C 点；另一人拿 4 尺处，把尺拉直，在 MN 上定出 A 点，再由一人拿 9 尺处，把尺拉直，定出 B 点，于是连结 BC，就是 MN 的垂线建筑工人用了 3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?生：可以，例如 7，24，25；8，15，17 等据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角活动 4 问题：命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2b 2c 2命题 2 如果三角形的三边长分别为 a，b， c，满足 a2b 2c 2 那么这个三角形是直角三角形它
10、们的题设和结论各有何关系?设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你前面遇到过有互逆命题吗?师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题教师认真倾听学生的分析教师在本活动中应重点关注学生；能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题生：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题 1 当成原命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题生：我们前面学过平行线的性质和判定其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行
11、”是互逆命题 “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题三、课时小结活动 5 问题：你对本节内容有哪些认识?设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形在活动 5 中，教师应重点关注学生：(1)不同层次的学生对本节的认知程
12、度 (2)学生再谈收获是对不同方面的感受(3)学生独立面对困难和克服困难的能力板书设计活动与探究Tom 和 Jerry 去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗?过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形结果：可在背包带上打结，在背包带上打 13 个等距离的结，把第 5 个结固定在地上，Tom 拿住第 1 个和第 13 个结，而 Jerry 拿住第 8 个结，拉直背包带，第 5 个结处即为直角，( 图略 )18.2 勾股定理的逆定理(二)教学目标一、知识与技能1了解证明勾股定理逆定理的方法2理解逆定理，互递
13、定理的概念二、过程与方法1经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力2经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神三、情感态度与价值观1经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志2培养学生与人合作、交流的团队意识教学重点 勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念教学难点 互逆定理的概念教具准备 多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动 1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 _(填序号)，能构成直角三角形的是_3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，24设计意图：帮助学
14、生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果 在此活动中，教师应重点关注：学生是否熟练地完成填空；学生是否积极主动地完成任务生：能构成三角形的是：，能构成直角三角形的是；二、讲授新课活动 2 问题：命题 2 是命题 1 的逆命题，命题 1 我们已证明过它的正确性，命题 2正确吗?如何证明呢?设计意图：由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心通过对命题 2 的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路本活动中，教师
15、应重点关注学生：能否在教师的引导下，理清思路能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论师：ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2b 2c 2如果 ABC 是直角三角形，它应与直角边是 a，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗?我们画一个直角三角形 ABC，使 BCa，ACb，C90(如下图)把画好的ABC剪下，放在ABC 上，它们重合吗 ?生：我们所画的 RtABC，ABa 2b 2，又因为 c2a 2b 2，所以 AB2c 2，即ABc ABC 和ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，CC90 ABC 为直角三角形即命题 2 是正确的师：很好，当我们证明了命题 2 是正确的，那么命题就成为
16、一个定理由于命题 1证明正确以后称为勾股定理，命题 2 又是命题 1 的逆命题，在此，我们就称定理 2 是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗?生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立师：你还能举出类似的例子吗?生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等显示原命题成立，而逆命题不成立活动 3练习：1如果三条线段长 a，b，c 满足 a2c 2b 2这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?2说出下列命题的逆命题这些命题的
17、逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(3)全等三角形的对应角相等(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等设计意图 进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力师生行为：学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导在此活动中，教师应重点关注学生学生对勾股定理的逆定理的理解学生对互为逆命题的掌握情况学生面对困难，是否有克服困难的勇气师：我们先来完成练习第 1 题生：a 2c 2b 2，移项得 a2b 2c 2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成
18、的三角形是直角三角形生：2(1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立(2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立(3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立(4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立三、巩固提高活动 4例 1一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中 A 和DBC 都应为直角工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?例 2(1)判断以 a10，b8，c6 为边组成的三角形是不是直角三角形解：因为 a2b 210064164c 2，即 a2b 2c 2，所以由
19、a，b，c 不能组成直角三角形请问：上述解法对吗?为什么?(2)已知：在ABC 中， AB13cm ，BC10cm，BC 边上的中线 AD12cm求证：ABAC设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导在此活动中，教师应重点关注学生：能否进一步理解勾股定理的逆定理，能否用语言比较规范地书写过程，说明理由能否从中体验到学习的乐趣。生：例 1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问
20、题的例子解：在ABD 中，AB 2AD 291625BD 2，所以 ABD 是直角三角形，A是直角在BCD 中，BD 2BC 22514416913 2CD 2，所以BCD 是直角三角形，DBC 是直角因此这个零件符合要求例 2：(1)解：上述解法是不对的因为a10，b8，c 6，b 2c 2 643610010 2a 2，即 b2c 2a 2所以由 a，b，c 组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知 a，b，c 可构成直角三角形，其中 a 是斜边，b，c 是两直角边评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边往
21、往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和(2)证明：根据题意，画出图形，AB13cm，BC10cmAD 是 BC 边上的中线 BD CD5cm，在ABD 中AD12cm，BD5cm ，AB 13cm，AB 2169，AD 2BD 212 25 2169所以AB2AD 2BD 2则ADB 90ADC 180ADB1809090在 RtADC 中，AC 2AD 2CD 212 25 213 2所以 ACAB13cm四；课时小结活动 5问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣为每一位学生都创
22、造了在数学学习活动中获得成功的体验机会小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受师生行为：教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗?在活动 5，教师应重点关注学生：不同层次的学生对本节知识的认识程度学生再谈收获是对不同方面的感受学生独立面对困难和克服困难的能力，板书设计18.2 勾股定理的逆定理(二)勾股定理的逆定理的证明构造 RtABC ，使两直角边为 a，b，C90，从而得斜边 ABc，得到ABCABC ，所以CC 90，ABC 为直角三角形活动与
23、探究给出一组式子：3 24 25 2，8 26 210 2，15 28 217 2，24 210 226 2(1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第 5 个式子；(2)请你证明你所发现的规律过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为 2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方很显然，我们发现的规律一定是“( )2( )2( )2”的形式然后再观察每一项与序号的关系，如 32，8 2，15 2，24 2 与序号有何关系，可知 32(2 21) 2，8 2(3 21) 2，15 2(4 21) 2，24 2(5 21) 2；所以我们可推想，第项一定是(
24、n 2 1)2(其 n1，n 为整数) ，同理可得第二项一定是(2n) 2，等式右边一定是(n 21) 2(其中 n1，n 为整数) (1)解：上面的式于是有规律的，即(n 21) 2(2n) 2 (n21) 2(n 为大于 1 的整数) 第 5 个式子是 n6 时，即(6 21) 2(26) 2(6 21) 2 化简，得 35212 237 2(2)证明：左边(n 21) 2(2n) 2(n 42n 21)4n 2n 42n 21(n 21) 2右边，证毕18.2 勾股定理的逆定理(三)教学目标一、知识与技能 能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题二、过程与方法1经历将实际问题转化为敷学模
25、型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用章识2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识三、情感态度与价值观1在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心2在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯教学重点 运用勾股定理的逆定理解决实际问题教学难点 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题教具准备 多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动 1 问题 1：
26、小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗?问题 2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的 AD 边和 BC边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺(1)你能替他想想办法完成任务吗?(2)李叔叔量得 AD 的长是 30 厘米，AB 的长是 40 厘米，BD 的长是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗?(3)小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂直于AB 边吗?BC 边与 AB 边呢?设计意图：通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用
27、，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径师生行为：先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导在此活动中，教师应重点关注学生，能否独立思考，寻找解决问题的途径能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣生：对于问题 1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端
28、做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度 AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离 BC，利用勾股定理便可以求出 AB 的长度 (如下图所示)生：对于问题 2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测 AD，BC 是否与底边垂直，也就是要检测DAB90，CBA90，连接 BD 或 AC，也就是要检测DAB 和CBA 是否为直角三角形很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测DA 月是否为直角三角形，即DAB90，李叔叔只需用卷尺分别量出 AB，BD、DA 的长度，然后计算AB2DA 2 和 BD2，看他们是否相等，若相等
29、，则说明 ADAB，同理可检测 BC 是否垂直于 AB师：很好，对于问题 2 中的第(2)个小问题，李叔叔已量得 AD，AB，BD 的长度，根据他量出的长度能说明 DA 和 AB 垂直吗?生：可以，因为 AD2AB 230 240 22500，而 BD22500，所以AD2AB 2BD 2可得 AD 与 AB 垂直师：小明带的刻度尺长度只有 20 厘米，他有办法检验 AD 与 AB 边的垂直吗?生：可以利用分段相加的方法量出 AD，AB，BD 的长度生：这样做误差太大，可以 AB，AD 上各量一段较小的长度例如在 AB 边上量一小段 AE8cm，在 AD 边上量一小段 AF6cm，而AE2AF
30、 28 26 2643610010 2，这时只要量一下 EF 是否等于 10cm 即可如果 EF10cm ，EF 2100，则有 AE2AF 2EF 2，根据勾股定理的逆定理可知 AEF 是直角三角形，EAF90即DAB90所以 ADAB；如果 EF10cm，则EF2100，所以 AE2AF 2EF 2，AEF 不是直角三角形，即 AD 不垂直于 AB师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题二、讲授新课活动 2问题：例 1判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形(1)a15，b8，c 17；(2)a13，b14，c 15；(
31、3)求证：m 2n 2，m 2n 2，2mn(m n，m ，n 是正整数) 是直角三角形的三条边长设计意图：进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第(3)题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导在此活动中，教师应重点关注学生：能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。能否发现问题，反思后及时纠正能否积极主动地与同学交流意见生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等
32、于最大边长的平方解：(1)因为 1528 222564289，172289，所以 1528 217 2，这个三角形是直角三角形(2)因为 13214 2169196365152225所以 13214 215 2这个三角形不是直角三角形生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长(3)证明： mn、m、n 是正整数(m2n 2) (m2n 2)2m 22mn，即(m 2n 2)(m 2n 2) 2mn又因为(m 2n 2)2mnm 2n(2mn) ，而 2mnm(mn)0，所以(m 2n 2)2mnm 2n 2
33、这三条线段能组成三角形又因为(m 2n 2)2m 4n 42m 2n2(m2n 2)2 m4n 42m 2n2(2mn)24m 2n2，所以(m 2n 2)2(2mn) 2m 4n 42m 2n24m 2n2m 4n 42m 2n2(m 2n 2)2所以，此三角形是直角三角形，m 2n 2、2mn 、m 2n 2(mn、m、n 是正整数)这三边是直角三角形的三边师：我们把像 15、8、7 这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数而且我们不难发现 m2 n2、m 2n 2、2mn 也是一组勾股数，而且这组勾股数由于 m可取值的不同会得到不同的勾股数，例如 m2，n1 时，m 2n 2
34、2 21 23，m 2n 22 21 25，2mn2214，而 3、4、5 就是一组勾股数你还能找到不同的勾股数吗?生：当 m3，n2 时， m2n 23 22 25，m 2n 213，2mn23212，所以 5、12、13 也是一组勾股数，当 m4，n2 时，m 2n 24 22 212，m 2n 220，2mn24216，所以12、16、20 也是一组勾股数师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法17 世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637 年，他提出了数学史上的一个著名猜想费马大定理，即当 n
35、2 时，找不到任何的正整数组，使等式 xny nz n 成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它1995 年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300 多年的谜活动 3问题：例 2“远航”号， “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里， “海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?设计意图：让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的
36、实用价值，师生行为：教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师需巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径在此活动中，教师应重点关注：学生能否根据题意画出图形学生能否积极主动地参与活动学生是否充满信心解决问题生：我们根据题意画出图形，(如下图) ，可以看到，由于 “远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了解：根据题意画出下图PQ161.524，PR121.518，QA30因为 24218 230 2，即 PQ2PR 2QR 2所以QPR90由“远航”号沿东北方向航行可知，QPS45，所以RPS45，即“海天”号沿西北或东南方向航行三
37、、巩固提高活动 4问题：A、B、C 三地两两距离如下图所示， A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向?设计意图：进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用师生行为：由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解解：BC 2AB 25 212 2169，AC213 2169，所以 BC2AB 2AC 2，即 BC 的方向与 BA 方向成直角，ABC90，C 地应在B 地的正北方向四，课时小结活动 5问题：谈谈这节课的收获有哪些?掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了
38、在数学学习活动中获得成功体验的机会师生行为：教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答板书设计182 勾股定理的逆定理(三)1勾股定理的逆定理一实际问题(判定直角三角形的形状)2勾股数组3在实际生活中的应用活动与探究如下图，在正方形 ABCD 中E 是 BC 的中点，F 为 CD 上一点，且 CF CD14求证：AEF 是直角三角形过程：要证AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证 AE2EF 2AF 2即可利用代数方法(即勾股定理的逆定理 )计算三角形的三边长，看它们是否是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一结
39、果：设正方形 ABCD 的边长是 a，则 BECE a，CF a，DF a，在 Rt12 14 34ABE 中，由勾股定理得AE2AB 2BF 2a 2( a)2 a212 54同理，在 Rt ADF 中，AF 2 AD2DF 2a 2( a)2 a2，34 2516在 Rt CEF 中，EF 2CE2 CF2( a)2( a)2 a212 14 516所以，AF 2AE 2EF 2所以，AEF 是直角三角形习题详解习题 1821解：(1)a 249，b 2576， c2625a2b 249576625c 2625所以，a 2b 2c 2，根据勾股定理的逆定理，得由线段 a7，b24，c25
40、能组成直角三角形(2)a22.25，b 24，c 26.25，而 a2b 22.2546.25，所以，a 2b 2c 2，根据勾股定理的逆定理，得由线段 a1.5，b2，c2.5 可组成直角三角形(3)a2 ，b 21，c 2 ，b 2c 21 即，a 2b 2c 2，2516 916 916所以，以 a ，b1，c 为边可组成直角三角形54 34(4)a21600，b 22500， c23600而 a2b 241003600，即 a2b 2c 2，不能构成直角三角形2，(1)逆命题：两直线平行，同旁内角互补此逆命题成立(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角走直角此逆命题不成立(3)逆命题
41、：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等此逆命题成立(4)逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等此逆命题不成立3解：根据题意，如下图所示 AB80m ，BC 60m，CA100m因为，80260 2100 2，即 AB2BC 2AC 2，所以ABC 为 Rt，即小明向东走了 80m 后又向北或向南走了 60m，最后回到原地 (A 点)4解：a 24m 2，b 2(m 21) 2m 42m 21，c 2(m 21) 2m 42m 21，而 a2b 2m 2 m42m 21 m 42m 21所以 a2b 2c 2，即 a、b、c 为勾股数当 m2 时，可得一组勾股数：
42、4、3、5；当 m3 时，可得一组勾股数： 6、8、lO；当 m4 时，可得一组勾股数， 8、15、17，5解：AD 是 BC 迫上的中线，且 BC10cm，所以 BDDC BC5cm，12AB13cm，AD12cm13212 25 2，所以 AB2AD 2BD 2ABD 为 Rt且ADB90，所以ADC 90 ，AC 13AD2 DC2 122 5263、4、5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k(k 是正整数) 也是一组勾股数，因为(3k)2(4k) 2(5k) 2；同样 a，b、c 是一组勾股数，则 a2b 2c 2，而(ak) 2a 2k2，(bk) 2b 2k2，(ck)2(c 2k2，所以 a2k2b 2k2c 2k2，则 ak，bk，ck，(k 为正整数) 也是一组勾股数学!优中考，网
