1、第十九章 全等三角形19.1 命题与定理 第一课时 教学内容：命题教学目标：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的题设和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。教学重点：找出命题的题设和结论。教学难点：命题概念的理解。教学过程：一、复习引入：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于 180”、 “等腰三角形的两个底角相等”等根据我们学过的图形特性，试判断下列句子是否正确（1） 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2） 两直线平行，同位角相等；（3） 同旁内角相等，两直线平行；（4） 平行四边形的对角线相等；（5） 直角都相等二、探究新知（一）命题、真命题和假命
2、题学生回答后给出答案：句子（1） 、 （2） 、 （5）是正确的，句子（3） 、 （4）是错误的引出概念：可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition ） 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题在数学中，许多命题是由题设（或已知条件） 、结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成“如果，那么”的形式用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论例如，在命题（1）中， “两个角是对顶角”是题设， “这两个角相等”是结论有的命题的题设与结论不十分明显，将它写成“如果，那么”的形式，也可分清它的题设与结论例如，命题（5）可写成“
3、如果两个角是直角，那么这两个角相等” （二）例题选讲例 1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果，那么”的形式，并分别指出命题的题设与结论解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形” 这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等” ，结论是“这个三角形是等边三角形” 例 2：指出下列命题的题设和结论，并把它改写成“如果那么”的形式，它们是真命题还是假命题？（1）对顶角相等；（2）如果 ab，bc ，那么 ac；（3）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。（三）假命题的证明要判断一
4、个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了在数学中，这种方法称为“举反例” 例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是 180”即可三、课堂练习P65 第 1、2 题四、总结1、命题、真命题和假命题的含义；2、区分命题题设、结论的方法；3、判断假命题的方法。五、作业 P67 习题 191 第 1、2 题教学后记：第二课时教学内容：公理、定理教学目标：1、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。2、结
5、合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。3、初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。教学重点：知道什么是公理，什么是定理。教学难点：理解证明的必要性。教学过程：一、复习引入： 上节课我们研究了要证明一个命题是假命题，只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的反例就可以了，这节课，我们将研究怎样证明一个命题是真命题。二、探究新知（一）公理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms） 我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被
6、第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等我们将这些真命题均作为公理（二）定理判断下列命题是否正确：（1） 当 n=1 时， （n 2-5n+1） 2=1; 当 n=2 时， （n 2-5n+1） 2=1当 n=3 时， （n 2-5n+1） 2=1 是否是对于任意的正整数 n， （n 2-5n+1） 2 都等于 1 呢？（n=5 时,（n 2-5n+1） 2=25）(2)如果 a=b,那么 a2=b2.于是猜想：当 ab 时 a2b 2 这个命题正确吗？数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判
7、断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem） （三）证明过程例如，有了“三角形的内角和等于 180”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余已知： 如图 19.1.1，在 Rt ABC 中，C90.求证： AB90证明 ABC180 （三角形的内角和等于 180），又C90， AB90此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据图 19.1 三、课堂练习 P66 1、2 题四、总结：公理、定理的含义五、作业：P67 习
8、题 19.1 第 3 题教学后记：19.2 三角形全等的判定第一课时教学内容：全等三角形的判定条件教学目标：在探究三角形全等的条件的过程中，感受探究的方法，培养逻辑思维能力。教学重点：探究三角形全等的条件教学难点：三角形全等到底需要多少条件教学过程：一、复习引入： 我们知道： 若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件，找到更为简便的判定三角形全等的方法？显然由于三角形的内角和等于 180，如果两个角分别对应相等，那么另一个角必然也相等这样，若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形仍然全等能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六个元素（三
9、条边、三个角）中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？二、探究新知（一）探究全等条件在教师的引导下，学生进行下列探究：1.我们从最简单的开始，如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素（边或角） ，这两个三角形一定全等吗？（1）如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？（2）如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？2.如果两个三角形有两组对应相等的元素（边或角） ，那么这两个三角形一定全等吗？想一想，会有几种可能的情况？分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等（1） 三角形的两个内角分别为 3
10、0和 70；（2） 三角形的两条边分别为 3cm 和 5cm；（3） 三角形的一个内角为 60，一条边为 3cm；（i） 这条长 3cm 的边是 60角的邻边；（ii） 这条长 3cm 的边是 60角的对边你一定会发现，如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同） （二）例题选讲思 考：如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角） ，那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。如图： 三、课堂练习 P68 第 1、2 题四、总结：两个
11、三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角） ，那么这两个三角形不一定全等；如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。五、作业 选用课时作业设计上的习题教学后记：第二课时教学内容：边角边教学目标：1、会用“SAS”识别两个三角形全等；2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；3、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。教学重点：掌握三角形全等的判定方法。 B C2C1AA1B1 C1AB C教学难点：三角形全等判定定理的应用。 教学过程：一、复习引入：上节课我们讲过，两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边
12、或角） ，那么这两个三角形不一定全等；如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。本节课开始，我们将探究在什么情况下三角形一定全等。如果两个三角形有 3 组对应相等的元素，那么含有以下的四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边我们将对这四种情况分别进行讨论如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？如图所示，此时应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角 图 19.2.1 二、探究新知（一） 已知两边一夹角作三角形唯一性的体验按下列条件画一个三角形：如图 19.2.
13、2，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形图 19.2. 教师一边讲一边按下列步骤作图，要求学生模仿：步骤： 1、画一线段 AB， 使它等于 4cm；2、画MAB45；3、在射线 AM 上截取 AC3cm ；4、连结 BCABC 即为所求把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两条线段和一个角试试，是否有同样的结论？通过学生亲自实践，初步体会已知三角形两边一夹角作三角形的确定性，为证明 SAS 提供实践体验。（二）SAS 证明如图 19.2.3，在ABC 和AB C中，已知 ABAB ， BB ， BCBC 图 19.2.3
14、我们要证明两个三角形全等,可以通过平移重合来实现,由于 ABAB，我们移动其中的ABC，使点 A 与点 A、点 B 与点 B重合；因为B B，因此可以使B 与B的另一边 BC 与 BC 重叠在一起,而 BCBC，因此点 C 与点C重合.于是ABC 与ABC 重合，这就说明这两个三角形全等由此可得判定三角形全等的一种简便方法：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 S.A.S.（或边角边） （三）例题选讲例 1 如图 19.2.4，在ABC 中，ABAC， AD 平分 BAC，求证： ABDACD图 19.2.4 证明 AD 平分BAC， （已知） BADCAD （
15、角平分线的定义）在ABD 与ACD 中， AB=AC (已知)BADCAD （已证）AD=AD （公共边） ABDACD（S.A.S. ） 在上题中 AD 是两个三角形都具有的边，我们称之为公共边，在解题时要善于发现和使用。由ABD 与ACD 全等，还能证得BC ，即证得等腰三角形的两个底角相等这条定理你还能证得哪些结论？（四）已知两个角和其中一个角的对边问题探究如图 19.2.5，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形 图 19.25 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？如
16、图中： B=45 0，AB=4，AC 1=AC2=3，但ABC 1与ABC 2不全等，由此可见已知两边及其中一边的对角对应相等时，不能判定两个三角形全等。三、课堂练习 P72 第 1、2 题四、总结：1、两边及其夹角相等，两个三角形全等；2、两边一对角相等，两个三角形不一定全等。五、作业 P79 习题第 2、3 题教学后记：第三课时教学内容：角边角教学目标：1、会用“ASA”识别两个三角形全等；2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；3、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。B C1 C2A教学重点：掌握三角形全等的判定方法。 教学难点：三角形全
17、等判定定理的应用。 教学过程：一、复习引入： 我们已经学习了，当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时，两个三角形一定全等而当两个三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形不一定全等现在，我们讨论： 如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？这时同样应有两种不同的情况： 如图 19.2.6 所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边 图 19.2.6 二、探究新知（一） 体验两角夹边的三角形的唯一性教师提问并作图，学生模仿：如图 19.2.7，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形
18、图 19。 2。 7 步骤：1、画一线段 AB，使它等于 4cm；2、画MAB60、 NBA40， MA 与 NB 交于点 CABC 即为所求把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论由作图可知：这样的三角形是唯一的。（二）证明 ASA 定理如图 19.2.8，在ABC 和AB C中，已知 ABAB， AA ， BB 分析：由于 ABAB，我们移动其中的ABC，使点A 与点 A、点 B 与点 B重合，且使点 C 与点 C分别位于线段 AB 的同侧因为AA ，因此可以使A与A的另一边 AC 与 AC重叠在一起；同样因为BB ,可
19、以使B 与B的另一边 BC 与 BC重叠在一起由于两条直线只有一个交点，因此点 C 与点 C重合于是ABC 与ABC 重合，这就说明这两个三角形全等由此可得判定三角形全等的又一种简便方法：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 A.S.A.（或角边角） （三）应用举例例 2 如图 19.2.9，已知ABCDCB， ACB DBC， 求证： ABC DCB 图 19.2.9 证明：在ABC 和DCB 中， ABCDCB ，BCCB，ACBDBC， ABCDCB （A.S.A.） （四）证明 AAS 定理（用 ASA 定理证明）思 考：如图 19.2.10，如果两个
20、三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？分析 因为三角形的内角和等于 180，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角” ，便可证得这两个三角形全等下面我们进行证明已知： 如图 19.2.10，A A ， BB ， ACAC 求证： ABCAB C证明 AA， BB ，又ABC180（三角形的内角和等于 180） ，图 19.2.8 图 19.2.10 同理ABC 180， CC在ABC 和AB C中， AA，ACAC ，CC ， ABCAB C（A.S.A.） 于是得定理： 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么
21、这两个三角形全等简记为 A.A.S.（或角角边） 三、课堂练习P74 第 1、2 题四、总结1、 两个角及这两角的夹边对应相等的两个三角形全等；2、 两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等五、作业 P79 第 4、5 题教学后记：第四课时教学内容：边边边教学目标：1、会用“SSS”识别两个三角形全等；2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；3、正确使用三角形全等的方法证明线段相等、证明角相等；4、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。教学重点：掌握三角形全等的判定方法。 教学难点：三角形全等判定定理的应用。教学过程：一、复习引入： 我们已
22、经讨论了两个三角形有两边一角，以及两角一边分别对应相等，这两个三角形能否全等的 图 19.2.1 情况我们很容易发现，如果两个三角形有三个角分别对应相等，那么这两个三角形未必全等（如图 19211） 最后，如果两个三角形有三条边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等呢？二、探究新知（一）验证“SSS”定理如图 19212，已知三条线段，以这三条线段为边，画一个三角形图 19.2.1 教师一边讲一边画图，学生模仿画图：步骤：1 画一线段 AB，使它等于线段 c（45cm） ；2 以点 A 为圆心、线段 b（3cm）的长为半径画圆弧，以点 B 为圆心、线段a（4cm）的长为半径画圆弧，两弧交于
23、点 C；3 连结 AC、BCABC 即为所求把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换三条线段，试试看，是否有同样的结论？（二）定理证明如图 19213，在ABC 和AB C中，已知ABAB ，AC AC， BCBC 图 19.2.13 图 19.2.14 不妨假设三角形最长的边为 AB 边，由于 ABAB ，我们移动其中的ABC，使点 A 与点 A、点 B 与点 B重合，且使点 C 与点 C分别位于线段 AB的两侧，连结 CC（如图 19214） 因为 ACA C ，即 ACAC，所以ACCACC同理可知BCCBCC因此ACBACB又因为 ACAC，BCBC，由“边
24、角边” ，便可知这两个三角形全等于是可得判定三角形全等的第 3 种简便方法：结论：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为 SSS （或边边边） .（三）应用举例例 3 如图 19215，在四边形 ABCD 中，ADBC， ABCD，求证： ABCCDA引导学生思考，然后教师边讲边板书：证明：在ABC 和CDA 中， CBAD（已知）ABCD（已知）ACCA（公共边） ABCCDA （SS S ） 方法小结：我们已经知道，若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，则这两个三角形全等以前我们通过探索得出的结论，如等腰三角形的性质、平行四边形的性质等，
25、均可通过证明三角形全等得到，作为定理.三、课堂练习P77 第 1、2 题四、总结：我们可以将前面探索得到的全等三角形判定方法归纳成下表：两边一角 两角一边对应相等的元素 两边及其夹角两边及其中一边的对角两角及其夹边两角及其中一角的对边三角 三边三角形是否全等一定（S.A.S）不一定 一定(A.S.A)一定(A.A.S) 不一定 一定(S.S.S)六、作业P79 习题第 1 题教学后记：第五课时图 19.2.15 教学内容：斜边直角边教学目标：1、会用“HL”识别两个三角形全等；2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判定定理的必要性；3、正确使用三角形全等的方法证明线段相等、证明角相等
26、；4、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严密的逻辑思维。教学重点：掌握三角形全等的判定方法。 教学难点：三角形全等判定定理的应用。教学过程：一、复习引入： 我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小如果有“边边角”分别对应相等，那么也不能保证这两个三角形全等当这个角是直角时，这两个直角三角形能否全等呢？二、探究新知（一）画图、拼图验证“HL”定理如图 19216，已知两条线段（这两条线段长不相等） ，以长的线段为斜边、短
27、的线段为一条直角边，画一个直角三角形教师一边讲解一边画图，学生模仿： 图 19.2.16 步骤： 1 画一线段 AB，使它等于 4cm；2 画MAB90；3 以点 B 为圆心，以 5cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于点 C；4 连结 BCABC 即为所求把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结论？（二）证明“HL”定理如图 19217，在 RtABC 和 RtA BC 中，已知ACBAC B90， ABAB ， ACAC由于直角边 ACAC，我们移动其中的 RtABC，使点 A 与点 A、点 C 与点 C重合，且使点
28、B 与点 B分别位于线段 AC 的两侧因为ACBA CBACB90，故BCB ACB A C B 180，因此点 B、C 、B 在同一条直线上于是在AB B 中，由 ABA B A B （已知） ，得BB由“角角边” ，便可知这两个三角形全等于是可得：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为 HL （或斜边直角边） （三） 、应用举例例 4 如图 19218，已知 ACBD， CD90，求证 RtABCRtBAD 学生先证明，教师边讲边板书：证明： CD90， ABC 与BAD 都是直角三角形在 Rt ABC 与 RtBAD 中， ABBA ，ACBD，
29、 Rt ABCRtBAD（H L ）.注意事项：本定理使用别忘了“直角”条件三、课堂练习P79 第 1、2 题四、总结：定理与注意事项五、作业P79 习题第 6 题教学后记：图 19.2.17 图 19.2.18 19.3 尺规作图第一课时教学内容：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角教学目标：1、了解什么是尺规作图2、会用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并会写出主要画图过程 3、学会使用精练、准确的作图语言叙述作图过程4、通过动手操作画图认识图形的本质，体会图形的内在美5、通过作图，培养科学细致的学习品质，发展现象思维教学重点：两种基本作图的作图方法 教学难点： 作
30、图过程的语言叙述教学过程：一、复习引入： 我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形本节课，我们将介绍在只使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形，我们把作几何图形的方法称为尺规作图自古希腊时代起，人们就对尺规作图产生了极大的兴趣，吸引着许多人去探索这种研究推动了整个数学的发展本节开始，我们将研究仅用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线的方法这 5 种作图称为基本作图，几何作图问题一般都是由若干个基本作图组合而成的二、探究新知（一）作一条线段等于已知线段 MN教师边讲边画，学生模仿
31、教师的作图过程图 19.3.1 图 19.3.2 作法：1、画射线 AB 2、用圆规量出线段 MN 的长，在射线 AB 上截取 AC=MN线段 AC 就是所要画的线段（二）作一个角等于已知角 AOB教师一边讲一边作图，学生模仿作图 图 19.3. 作法：1、 画射线 OA2、 以点 O 为圆心，以适当长度为半径画弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D3、 以点 O为圆心，以 OC 长为半径画弧，交 OA 于 C4、 以点 C为圆心，以 CD 长为半径画弧，交前一条弧于 D5、 经过点 D画射线 OBAOB就是所要画的角（三）例题选讲教师一边讲作法一边板书，学生按文字叙述画图，教师再在黑板上作图
32、，学生对比矫正。例 1：已知两边及夹角画三角形 ABC ab 例 2：已知两角一边画三角形 ABCa三、课堂练习P83 第 1、2 题四、总结：本节课你学会了什么？五、作业P86 习题第 1、2 题教学后记：第二课时教学内容：作已知角的平分线教学目标：1、会用尺规作图作已知角的平分线并会写出主要画图过程 2、学会使用精练、准确的作图语言叙述作图过程3、通过动手操作画图认识图形的本质，体会图形的内在美4、通过作图，培养科学细致的学习品质，发展现象思维教学重点：作已知角的平分线的方法 教学难点：作图过程的语言叙述教学过程：一、复习引入： 上节课，我们学会了用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角
33、等于已知角。这节课我们将学习作一个角的平分线。二、探究新知（一）利用直尺和圆规把一个角二等分1、如图 1934，AOB 为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB 的平分线 （教师一边讲解作图，一边板书）作法：第一步： 在射线 OA 和 OB 上，分别截取 OD、OE，使 ODOE；第二步： 分别以点 D、 E 为圆心，以适当长（大于线段 DE 长的一半）为半径作弧，在AOB 内，两弧交于点 C；第三步： 作射线 OC射线 OC 就是所要作的AOB 的平分线图 19.3.4 图 19.3.5 学生按照文字叙述作图，比对比矫正。2、作一个角，再把它四等分，思考作法。（二）证明作法的合理性我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即证明AOCBOC如图 1935，连结 EC、DC， ODOE ，DCEC，OCOC， OCDOCE（SSS ） ， AOCBOC（全等三角形的对应角相等） 三、课堂练习P83 第 1、2 题四、总结：本节课你学会了什么？五、作业P86 习题 第 3 题教学后记：学 优-中.考+，网
