1、第二十一章 二次根式（1）理解二次根式的概念（2）理解 （a0）是一个非负数， （ ） 2=a（a0） ， =a（a0） a 2（3）掌握 （a0，b0） ， = ；bb= （a0，b0） ， = （a0，b0） （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减1二次根式 （a0）的内涵 （a0）是一个非负数；（ ）aaa2a（a0） ； =a（a0）及其运用22对 （a0）是一个非负数的理解；对等式（ ） 2a（a0）及=a（a0）的理解及应用a211 二次根式第一课时理解二次根式的概念，并利用 （a0）的意义解答具体题目a提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题1重点：
2、形如 （a0）的式子叫做二次根式的概念；a2难点与关键：利用“ （a0） ”解决具体问题一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题 1：已知反比例函数 y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐3x标是_问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=1，C=90，那么 AB 边的长是_BAC问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是 S2，那么 S=_老师点评：问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3因为点在第一象限，所以 x= ，所3以所求点的坐标（ ， ） 3问题 2：由勾股定理得 AB=
3、10问题 3：由方差的概念得 S= .46例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、 、 、 （x0） 、 、 、- 、 、 （x0，y0） 23x0421xy分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0解：二次根式有： 、 （x0） 、 、- 、 （x0，y0） ；不是二2x02xy次根式的有： 、 、 、 314y例 2当 x 是多少时， 在实数范围内有意义？31x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10，才能有意义31解：由 3x-10，得：x 13当 x 时， 在实数范围内有意义3x例 3当 x 是多少时，
4、 + 在实数范围内有意义？21x分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的0 和23x中的 x+101x解：依题意，得 2301x由得：x-由得：x-1当 x- 且 x-1 时， + 在实数范围内有意义3223x1例 4(1)已知 y= + +5，求 的值(答案:2)y(2)若 + =0，求 a2004+b2004的值(答案: )1ab25五、归纳小结）本节课要掌握：1形如 （a0）的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号a2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（ ）A- B C Dx732下列式子中，不是二次根式的是（ ）
5、A B C D416813已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ）A5 B C D以上皆不对二、填空题1形如_的式子叫做二次根式2面积为 a 的正方形的边长为_3负数_平方根三、综合提高题1某工厂要制作一批体积为 1m3的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当 x 是多少时， +x2在实数范围内有意义？x3若 + 有意义，则 =_324.使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个2(5)xA0 B1 C2 D无数5.已知 a、b 为实数，且 +2 =b+4，求 a、b 的值5a102时作业设计答案:一、1A 2D 3B二、1 （a0） 2 3
6、没有三、1设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 52依题意得： ，30x当 x- 且 x0 时， x 2在实数范围内没有意义 3. 4B 5a=5，b=-432 1321.1 二次根式(2)第二课时教学内容1 （a0）是一个非负数；a2 （ ） 2=a（a0） 教学目标理解 （a0）是一个非负数和（ ） 2=a（a0） ，并利用它们进行计算和化aa简通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a0）是一个非负数，用具a体数据结合算术平方根的意义导出（ ） 2=a（a0） ；最后运用结论严谨解题a教学重难点关键1重点： （a0）是一个非负数；（ ） 2=a（a0）及其运用a2难点
7、、关键：用分类思想的方法导出 （a0）是一个非负数；用探究的方法a导出（ ） 2=a（a0） 教学过程（a0）是一个什么数呢？a老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（a0）是一个非负数a（ ） 2=a（a0）计算下列各式的值：（ ） 2 （ ） 2 （ ） 2 （ ） 2 （4 ） 218394078(35)()例 2 计算1 （ ） 2（x0） 2 （ ） 2 3 （ ） 2 xa21a4 （ ） 29分析：（1）因为 x0，所以 x+10；（2）a 20；（3）a 2+2a+1=（a+1）0；（4）4x 2-12x+9=（2x） 2-22x3+32=（2x-3） 20所以上面的
8、 4 题都可以运用（ ） 2=a（a0）的重要结论解题解：（1）因为 x0，所以 x+10（ ） 2=x+1x（2）a 20，（ ） 2=a2a（3）a 2+2a+1=（a+1） 2又（a+1） 20，a 2+2a+10 ， =a2+2a+121a（4）4x 2-12x+9=（2x） 2-22x3+32=（2x-3） 2又（2x-3） 204x 2-12x+90，（ ） 2=4x2-12x+92419x例 3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1 （a0）是一个非负数；a2 （ ） 2=a（a0）;反之:a=（
9、 ） 2（a0） a作业设计一、填空题1 （- ） 2=_ 2已知 有意义，那么是一个_数31x二、综合提高题1计算（1） （ ） 2 （2）-（ ） 2 （3） （ ） 2 （4） （-3 ） 2963(5) (3)()2把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x0）163已知 + =0，求 xy的值xy4在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x2-5第二课时作业设计答案:一、13 2非负数二、1 （1） （ ） 2=9 （2）-（ ） 2=-3 （3） （ ） 2= 6= 91643（4） （-3 ） 2=9 =6 (5)-6
10、32 （1）5=（ ） 2 （2）3.4=（ ） 2 53.4（3） =（ ） 2 （4）x=（ ） 2（x0）6x3 xy=34=81103xy4.（1）x 2-2=（x+ ） （x- ） 2（2）x 4-9=（x 2+3） （x 2-3）=（x 2+3） （x+ ） （x- ）3(3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a（a0）2教学目标理解 =a（a0）并利用它进行计算和化简2通过具体数据的解答，探究 =a（a0） ，并利用这个结论解决具体问题2a教学重难点关键1重点： a（a0） 22难点：探究结论3关键：讲清 a0 时， a 才成立2教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课
11、的重要内容；1形如 （a0）的式子叫做二次根式；a2 （a0）是一个非负数；3( )2a（a0） 因此，一般地： =a（a0）2例 1 化简（1） （2） （3） （4）92(4)52(3)分析：因为（1）9=-3 2， （2） （-4） 2=42， （3）25=5 2，（4） （-3） 2=32，所以都可运用 =a（a0）去化简a解：（1） = =3 （2） = =4 932(4)（3） = =5 （4） = =3252(3)三、应用拓展例 2 填空：当 a0 时， =_；当 aa，则 a 可以是什么数？2分析： =a（a0） ，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，2应变形，使“
12、（ ） 2”中的数是正数，因为，当 a0 时， = ，那么-a02a2()（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1） 、（2）可知 =a，而a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 aa 所以 a 不存在；当 aa，即使-aa，a -2()aC =22() 2二、填空题1- =_0.42若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是_m三、综合提高题1先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 的值，甲乙两人的解答如下：21a甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1；2()乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的
13、，错误的原因是_2若1995-a+ =a，求 a-19952的值20a（提示：先由 a-20000，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3x2 时，试化简x-2+ + 。2(3)x1025x答案:一、1C 2A二、1-002 25三、1甲 甲没有先判定 1-a 是正数还是负数 2由已知得 a-20000，a2000 所以 a-1995+ =a， =1995，a-2000=1995 2，20a20a所以 a-19952=2000 3. 10-x212 二次根式的乘除第一课时教学内容 （a0，b0） ，反之 = （a0，b0）及其运abab用教学目标理解 （a0，b0） ，
14、 = （a0，b0） ，并利用它a们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出 （a0，b0）并运用它进行计算；ba利用逆向思维，得出 = （a0，b0）并运用它进行解题和化简ab教学重难点关键重点： （a0，b0） ， = （a0，b0）及它们ab的运用难点：发现规律，导出 （a0，b0） ab关键：要讲清 （a0） ，反过来 = （a0，b0）及利用它们进行计算和化abab简教学目标理解 = （a0，b0）和 = （a0，b0）及利用它们进行运算abab利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键1重点：理解 = （
15、a0，b0） ， = （a0，b0）及利用它们进行abab计算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定一般地，对二次根式的除法规定：= （a0，b0） ，ab反过来， = （a0，b0）归纳小结本节课要掌握 = （a0，b0）和 = （a0，b0）及其运用abab时作业设计一、填空题1分母有理化:(1) = ;(2) = ; 132612362已知 x=3，y=4，z=5，那么 的最后结果是yzx153三、综合提高题1有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为 ：1，现用直径为3 cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？52计算（1） （-
16、） （m0，n0）3nm31nm32（2）-3 （ ） （a0）2a2a2n解：1设：矩形房梁的宽为 x（cm） ，则长为 xcm，依题意，3得：（ x） 2+x2=（3 ） 2，154x2=915，x= （cm） ，xx= x2= （cm 2） 342 （1）原式- =-425nm3n4325mn=- =-3223（2）原式=-2 =-2 =- a22()namn23621.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式
17、的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程探索新知观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式例 1(1) ; (2) ; (3) 532242xy238xy例 2如图，在 RtABC 中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长BAC解：因为 AB2=AC2+BC2所以 AB= = =6.5（cm）.5616913()342因此
18、 AB 的长为 6.5cm应用拓展例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：= = -1，12(21)2= = - ，3(3)322同理可得： = - ，14从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（ + + + ） （ +1）的值2132312020分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式=（ -1+ - + - + - ）（ +1）420120=（ -1） （ +1）2002=2002-1=2001作业设计一、选择题1如果 （y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） xyA （y0） B （y
19、0） C （y0） D以上都不对xyxyxy2把（a-1） 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） 1aA B C- D-1a1a3在下列各式中，化简正确的是（ ）A =3 B =512C =a2 D =x4ab3x14化简 的结果是（ ）37A- B- C- D-2362二、填空题1化简 =_ （x0） 2a 化简二次根式号后的结果是42xy 21_三、综合提高题1已知 a 为实数，化简： -a ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，3a1请写出正确的解答过程：解： -a =a -a =（a-1）31aaa2若 x、y 为实数，且 y= ，求 的值2241xxxyA答案:一、1C
20、2D 3.C 4.C 二、1x 2-21a三、1不正确，正确解答： 因为 ，所以 a0，301a原式 -a = -a =-a + =(1-a) 2aA2a22aa2 x-4=0，x=2，但x+20，x=2，y=240x 14 .21634xyxy21.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简重难点关键1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的
21、二次根式进行合并例 1计算（1） + （2） +816x4分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（1） + =2 +3 =（2+3） =52（2） + =4 +8 =（4+8） =126x4xx例 2计算（1）3 -9 +348132（2） （ + ）+（ - ）05解：（1）3 -9 +3 =12 -3 +6 =（12-3+6） =154813233（2） （ + ）+（ - ）= + + -05482015=4 +2 +2 - =6 +5应用拓展例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2 ）-（x 2 -5x ）的值
22、93x3y1yx分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1） 2+（y-3）2=0，即 x= ，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再1合并同类二次根式，最后代入求值解：4x 2+y2-4x-6y+10=04x 2-4x+1+y2-6y+9=0（2x-1） 2+（y-3） 2=0x= ，y=31原式= +y2 -x2 +5x93x3xy1yx=2x + -x +5=x +6xy当 x= ，y=3 时，12原式= +6 = +3123246归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并作业设计
23、一、选择题1以下二次根式： ； ； ； 中，与 是同类二次根式1223273的是（ ） A和 B和 C和 D和2下列各式：3 +3=6 ； =1； + = =2 ； =23768243，其中错误的有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个二、填空题1在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是8753a2915a0.283a同类二次根式的有_2计算二次根式 5 -3 -7 +9 的最后结果是_b三、综合提高题1已知 2.236，求（ - ）-（ + ）的值 （结果精确到804153450.01）2先化简，再求值（6x + ）-（4x + ） ，其中 x= ，y=27yx3xy3632答案
24、:一、1C 2A二、1 26 -2753a3ba三、1原式=4 - - - = 2.2360.45451512原式=6 +3 -（4 +6 ）=（6+3-4-6） =- ，xyxyxy当 x= ，y=27 时，原式=- =-3327921.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标运用二次根式、化简解应用题通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最
25、简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例 1如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BACQP分析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出 x 的值解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米则有 PB=x，BQ=2x依题意，得： x2
26、x=3512x2=35x= 35所以 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米PQ= =5222453PBQxx7答： 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5 厘米35例 2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度BA C2m1m4m D解：由勾股定理，得AB= =22240ADB5BC= =1C所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2 + +5+25=3 +732.24+713.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材三、巩固练习教材 P19
27、练习 3四、应用拓展例 3若最简根式 与根式 是同类二次根式，求 a、b 的4ab2326ab值 （同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式 不是最简二次根式，因此把 化简成|b|2326ab 232b，才由同类二次根式的定义得 3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式 化为最简二次根式：232b= =|b|236ab(16)a6ab由题意得 4 263aba=1，b=1五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题六、布置作业1教材 P21 习题 213 72选用课时作业设计作业设
28、计一、选择题1已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5，那么斜边的长应为（ ） （结果用最简二次根式）A5 B C2 D以上都不对2502小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米 （结果同最简二次根式表示）A13 B C10 D5101301313二、填空题1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍，它的面积是 1600m2，鱼塘的宽是_m （结果用最简二次根式）2已知等腰直角三角形的直角边的边长为 ，那么这个等腰直角三角形的周长是_ （结果用最简二次根式）三、综合提高题1若最
29、简二次根式 与 是同类二次根式，求 m、n 的值23m2140n2同学们，我们以前学过完全平方公式 a22ab+b2=（ab） 2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ ） 2，5=（ ） 2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：35（ -1） 2=（ ） 2-21 +12=2-2 +1=3-2 2反之，3-2 =2-2 +1=（ -1） 23-2 =（ -1） 22 = -13求：（1） ；（2） ；4（3）你会算 吗？12（4）若 = ，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由ab答案:一、1A 2C二、1
30、20 22+2三、1依题意，得 ， ， 223410mn283mn23所以 或 或 或32 （1） = = +1 22(1)（2） = = +1 43（3） = = -1 2()（4） 理由：两边平方得 a2 =m+n2 mnabbmn所以 n21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整
31、式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1计算（1） （2x+y）zx （2） （2x 2y+3xy2）xy2计算（1） （2x+3y） （2x-3y） （2） （2x+1） 2+（2x-1） 2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用二、探索新知如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运
32、算规律也适用于二次根式例 2计算（1） （ +6） （3- ） （2） （ + ） （ - ）5107分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（1） （ +6） （3- ）5=3 -（ ） 2+18-65=13-3（2） （ + ） （ - ）=（ ） 2-（ ） 2=10-7=3107107四、应用拓展例 3已知 =2- ，其中 a、b 是实数，且 a+b0，xba化简 + ，并求值1x1x分析：由于（ + ） （ - ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可解：原式= +2(1)
33、x2(1)x= +2(1)x2()1x=（x+1）+x-2 +x+2()()=4x+2 =2- xbab（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b 2=2ab-ax+a2（a+b）x=a 2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b） 2a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2作业设计一、选择题1 （ -3 +2 ） 的值是（ ） 241523A -3 B3 -0303C2 - D -22计算（ + ） （ - ）的值是（ ） A2 B3 C4 x1x1D1二、填空题1 （- + ） 2的计算结果（用最简根式表示）是_32 （1-2 ） （1+2 ）-（2 -1） 2的计算结果（用最
34、简二次根式表示）是3_3若 x= -1，则 x2+2x+1=_4已知 a=3+2 ，b=3-2 ，则 a2b-ab2=_三、综合提高题1化简 57014212当 x= 时，求 + 的值 （结果用最简二次根121xx21x式表示）课外知识1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A 与 B 与2xy3489ab582C 与 D 与mnmn2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b） （a-b）=a 2-b2，同时
35、它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1-与 x+1+ 就是互为有理化因式； 与 也是互为有理化因式2xxx1练习： + 的有理化因式是_；3x- 的有理化因式是_y- - 的有理化因式是_1x3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习：把下列各式的分母有理化（1） ； （2） ； （3） ； （4） 51263424其它材料：如果 n 是任意正整数，那么 =n21n2理由： = =n213322n2练习：填空 =_； =_； =_38415答案:一、1A 2D二、11- 24 -24 32 443三、1原式 57= =2(57)3(57)123=-（ - ）= -2原式222(1)(1)xxx= = = 2（2x+1）2()()1x()1xx= = +1 原式2（2 +3）=4 +6.2
