1、第四章 整式的加减1.理解整式的概念,知道单项式、多项式、整式与代数式的联系和区别.2.理解同类项的概念,会辨别同类项,并能熟练地合并同类项.3.探索并掌握去括号法则,并能准确地去括号.1.进一步经历在现实情境中用代数式表示数量关系的过程,体验数学抽象,发展符号意识.2.理解整式加减运算的算理,能进行简单的整式加减运算,并能运用整式的有关知识解决一些实际问题,培养应用意识.经历数与式比较的过程,体验类比的数学思想,初步培养学生辩证看问题的意识.在本章中,整式的概念、合并同类项、去括号法则和整式加减运算等主要内容,既是以后学习整式乘法、分式运算、方程和函数等知识的基础,也是培养学生抽象思维能力的
2、重要内容.本章内容呈现方式如下:结合具体情境 ,充分展现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,使学生体验从具体问题情境中抽象数学符号的过程,发展符号意识,感受计算原理,提高运算能力,培养学生的应用意识.在具体情境中,通过代数式表示数量以及数量之间关系可以:(1)建立单项式、多项式和整式的有关概念;(2)在探索合并同类项和去括号法则的过程中,通过归纳、类比等活动 ,使学生体会发现问题、提出问题的过程,培养学生提出数学问题的意识;(3)通过实例,使学生了解整式加减的必要性 ,理解运算的算理 ,重视对学生基础知识和基本技能的训练,关注学生对知识发生、发展过程的体验和应用能力的培养,帮助学生积累
3、数学活动经验.【重点】 整式的概念,合并同类项,去括号法则和整式加减运算.【难点】 理解运算的算理,运用知识解决实际问题.1.提供充分的素材,让学生经历用代数式表示数量( 关系)的过程,进一步发展符号意识.2.结合现实的、富有趣味性的情境,探索合并同类项的法则,并学会运用加法结合律,乘法对加法的分配律等,通过数与式的类比,自然而合理地解决去括号问题.3.开展用数学语言(代数式)合乎逻辑地进行讨论,提出质疑,让学生在经历“符号化”的过程中,体验数学抽象,初步发展推理能力,积累数学活动经验.4.整式的加减运算是建立在数的运算基础上的,因此要强调运用数的运算律,保证基本运算技能的训练,同时要注意避免
4、过多的、繁琐的运算.4.1 整 式 2 课时4.2 合并同类项 2 课时4.3 去括号 1 课时4.4 整式的加减 1 课时回顾与反思 1 课时4.1 整 式1.了解单项式的系数、次数等概念,并能在具体问题中识别和运用.2.感受单项式概念建立的过程,知道它与代数式之间的联系和区别.3.了解多项式的相关概念,了解单项式和多项式之间的关系.经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程,发展符号意识.培养学生乐于观察、善于思考的良好学习习惯,增强合作交流意识.【重点】 单项式的系数、次数等概念.【难点】 单项式和代数式之间的区别和联系.第 课时了解单项式,单项式的系数、次数等概念.引导学生观察、讨论、
5、自主探究,发展学生的逻辑思维能力.通过师生之间的交流合作,体验合作分享的快乐.【重点】 单项式的系数、次数等概念.【难点】 能熟练地判定一个单项式的系数、次数.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习用字母表示数的书写规范.导入一:用字母表示下列数量关系.(1)若正方形的边长为 a,则正方形的面积是 ;(2)买一本笔记本要 0.5 元,买 n 本的价钱是 ;(3)若 x 表示正方体的棱长,则正方体的表面积是 ;(4)若 m 表示一个有理数,则它的 3 倍是 .思考:(1)请学生说出所列代数式的意义.(2)请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同的运算特征 .设计意图 让学生列式不仅复习前
6、面的知识,更是为下面 给出单项式的概念埋下伏笔.在活动中充分让学生自己观察、自己 发现、自己描述 ,进行自主学 习和合作交流,可极大地激发学生学习的积极性和主动性,满足学生的表现欲和探究欲,使学生学得轻松愉快,充分体现课堂教学的开放性.导入二:我们每个家庭在装修房子的时候,往往会挂上美丽的窗帘起到美化我们的房间的作用,窗帘的选择既要美观大方,又要考虑到窗户的透光效果.你能说说你们家的窗帘都是怎么设计的吗?下面我们一起去看看小芳家的窗帘吧.小芳房间的窗户如图所示,其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同).(1)装饰物所占的面积是多少?(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多
7、少?( 窗框面积忽略不计 )学生完成:(1) b2;(2)ab - b2.16 16师:上面的这两个代数式之间有什么区别和联系呢 ?设计意图 问题是思维的出发点,从学生实际出发,为学生 创设了丰富的问题情境,自然引入新课,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.过渡语 整式是一类简单的代数式.在日常生活中,我 们经常要用整式表示有关的量.活动 1 列代数式用多媒体课件依次出示下列问题,学生先独立完成,随后指名让同学说出正确答案.1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为 m 千瓦时,那么 n 天耗电量为 千瓦时. (mn)2.某物品包装箱的形状是长方体.如果包装箱的宽和高都是 a cm,长是 b cm,那么它
8、的体积是 cm3.(a2b)3.一个两位数,个位数字是 x,十位数字是 y,这个两位数可表示为 ;如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为 .(10y+x;10x+y)4.为了保护环境,促进生态平衡,某地计划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林 a 公顷 ,第二年比第一年增加了 10%,那么第二年比第一年的植树造林面积增加了 公顷. (10%a)5.如图所示,在边长为 a 的正方形内,挖去一个底为 b,高为 的三角形,则剩下部分的面积12为 . (2 14)设计意图 提供一组学生熟悉的具体问题,通过列代数式 ,既复习了旧知识,又为单项式、多项式的概念生成作铺垫.活动 2 单项
9、式的概念1.观察思考.观察上面得到的代数式:mn,a2b,10y+x,10x+y,10%a,a2 - b.14从所含的运算来看,它们各自有什么特点?2.尝试按照运算分类.3.单项式的概念.像 mn,a2b,10%a 这样的代数式 ,它们都是由数与字母(或字母与字母)相乘组成的代数式,我们把这样的代数式叫做单项式.4.单项式的系数和次数.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如单项式 10%a 的系数是 10%,次数是 1;mn 的系数是 1,次数是 2;a2b 的系数是 1,次数是 3.强调:单个字母的指数是 1,而不是 0.知识拓展 (1)判断一个式
10、子是否为单项式的方法,一是必须是乘积的形式,也就是除乘号外没有其他符号;二是这个式子的分母是否含有字母 ,不含有字母的才是单项式.(2)是单项式 ,表示一个具体的数,而不是字母,故 出现在分母上可以成为单项式,如 等.5活动 3 例题讲解(教材例 1)用代数式表示,并指出它们的系数和次数.(1)某商店 8 月份营业额为 m 万元,9 月份营业额比 8 月份增加了 25%.9 月份的营业额为多少万元?(2)某品牌汽车原价为 a 元/ 辆 ,现按九折出售.如果一周内销售了这种汽车 b 辆,那么这周的销售额为多少元?(3)一个长方体形状的零件,它的底面边长分别是 a cm 和 b cm,高是 h c
11、m,这个零件的体积是多少立方厘米?分析处理:强调列代数式的注意事项 ,本例题要注意列出的代数式是不用带单位的,同时注意括号的运用.结合本例题强调: 单项式的系数是 1 或 - 1 时,“1”通常省略不写.解:(1)(1+25%) m,它的系数是 1+25%,次数是 1.(2)0.9ab,它的系数是 0.9,次数是 2.(3)abh,它的系数是 1,次数是 3.1.单项式的概念.单项式是数与字母(或字母与字母 )的乘积组成的式子,单独一个数或字母也是单项式 .注意:单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系 ,单项式只含有乘法以及数字为除数的除法运算,不能含有加减运算,更不能含有以字母为除式的
12、除法运算.2.单项式的次数与系数.注意:单项式中的数字因数叫做单项式的系数 ,一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数;在判别单项式的时候 ,要注意包括数字前面的符号.一个单项式的次数是几,通常称这个单项式为几次单项式.1.下列代数式中不是单项式的是 ( )A. - ( - 3)2 B. - x C.0 D.13 1解析:A,C 都是单独一个数,是单项式,B 是数与字母的积,是单项式,D 中分母中含有字母,它不是单项式.故选 D.2.(2015通辽中考)下列说法中,正确的是 ( )A. - x2 的系数是34 34B.a2 的系数为32 32C.3ab2 的系数是 3aD. xy2
13、的系数是25 25解析:单项式的系数是单项式中的数字因数 ,找出每个单项式中的数字因数即可.选项 A中的系数是 - ,选项 B 中的系数是 ,选项 C 中的系数是 3,选项 D 正确.故选 D.34 323.填空 .(1) - 3ab2c3 的系数是 ,次数是 ;(2)3105a2 的系数是 ,次数是 .解析:(1)单项式的系数是式子中的数字因数,次数为所有字母的指数和,不要忽略题中 a的指数是 1.(2)105 中的指数 5 不能算成单项式的次数,此题 中仅含一个字母 a.答案:(1) - 3 6 (2)3105 24.比较单项式 12ab2c3 与 - 8a3x2y 的异同.解:这两个单项
14、式的共同之处有 :各含有 3 个字母,都含有字母 a,都是六次单项式,系数都是整数,并且都是 4 的倍数;它们的不同之处有:它们的系数不同(符号和绝对值都不相同), 字母 a 的指数不同,除了 a 之外 ,它们所含有的字母也不相同.第 1 课时活动 1 列代数式活动 2 单项式的概念活动 3 例题讲解一、教材作业【必做题】教材第 123 页练习第 1 题.【选做题】教材第 124 页习题 A 组第 2 题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015台州中考)单项式 2a 的系数是 ( )A.2 B.2a C.1 D.a2.(2015厦门中考)已知一个单项式的系数是 2,次数是 3,则这个单项式可以
15、是 ( )A. - 2xy2 B.3x2 C.2xy3 D.2x33.下列说法中正确的是 ( )A.4 不是单项式 B. - 的系数是 22C. 的次数是 3 D.r2 的次数是 3234.(2015桂林中考)单项式 7a3b2 的次数是 .5.写出下列代数式的系数.(1) - 18a2b; (2)xy; (3) ; (4) - x;(5)23x4. 243【能力提升】6.下面说法中正确的是 ( )A.xy+1 是单项式 B. 是单项式1C. 是单项式 D. 是单项式+13 37.单项式 - ab2c3 的系数和次数分别是 ( )A.系数是 - 1,次数为 3B.系数是 - 1,次数为 5C.
16、系数是 - 1,次数为 6D.以上说法都不对8.若 - 是四次单项式,则 m 的值为 ( )2 14A.4 B.2 C. - 4 D. - 29.单项式 - 2xy4 的次数与系数之差是 .10.根据题意列出单项式,并指出单项式的次数.(1)某商店前一个月赢利 a 元,这个月赢利比前一个月减少 25%,这个月赢利多少元?(2)三角形的底是高的 2 倍,若高是 x cm,则这个三角形的面积是多少平方厘米?【拓展探究】11.写出 3 个含有字母 x,y,系数为 - 8,次数是 4 的单项式.12.已知( a - 1)x2ya+1 是关于 x,y 的五次单项式,求下列代数式的值.(1)a2+2a+1
17、; (2)(a+1)2.由(1)(2)的结果,你发现了什么规律?【答案与解析】1.A(解析:单项式的系数是单项式中的数字因数.所以单项式 2a 的系数是 2.)2.D(解析 :此题规定单项式的系数与次数,但没有规定式中有几个字母,观察四个选项,只有选项 D 符合要求.)3.C(解析 :4 是单项式 ,A 错; - 的系数是 - ,B 错; 的次数是 3,C 对; r2 的次数是 2,D 错.)2 12 234.5(解析 :因为 a 的指数是 3,b 的指数是 2,所以单项式的次数是 3+2=5.)5.解 :(1) - 18a2b 的系数是 - 18. (2)xy 的系数是 1. (3) 的系数
18、是 - . (4) - x 的系数是 243 13- 1. (5)23x4 的系数是 23,即 8.6.D(解析 :xy+1 由 xy 和 1 两项的和组成,不是单项式; 由 和 两项的和组成,也不是单项式;+13 3 13的分母中出现了字母,不是单项式; 只有 D 符合单项式的概念 .)17.C(解析 :根据单项式的系数和次数的概念可知 C 正确.)8.B(解析 :单项式中所有字母的指数和是单项式的次数, - 的所有字母的指数和为 1+(2m 2 14- 1),所以 1+(2m - 1)=4,解得 m=2.)9.7(解析 :单项式 - 2xy4 的次数是 5,系数是 - 2,所以它们的差是
19、5 - ( - 2)=7.故填 7.)10.解:(1 )75%a,一次单项式. (2)x2,二次单项式.11.解:三个单项式为 - 8xy3, - 8x2y2, - 8x3y.12.解:若( a - 1)x2ya+1 是关于 x,y 的五次单项式,则有 2+a+1=5,所以 a=2,所以a2+2a+1=22+22+1=9,(a+1)2=(2+1)2=9.发现的规律是 a2+2a+1=(a+1)2.数学概念的产生和形成过程是人们在对实际事例观察的基础上,通过比较、分析、归纳,再进一步抽象概括出本质的过程.在进行单项式概念的教学时,通过设计一系列问题,引导学生积极思考,层层深入,从而抽象概括出单项
20、式的概念,有利于培养学生观察、分析、抽象等思维能力.在概念讲解时给学生思考的时间略少,导致许多学生表面上会了,其实并没理解好.对于概念的讲解,注重强调概念中的关键词语,如单项式的次数,需要强调是所有字母的指数和,只和字母的指数有关,和数字的指数无关等.练习(教材第 123 页)1.解 :系数从左到右依次填 : - 1,5, - ,0.3,2, ,次数从左到右依次填:1,3 ,3,2,5,3.34 172.解 : - 5a2b, - 5ab2.习题(教材第 124 页)A 组1.解 : a,r2, - 3xy3z 是单项式,因为它们都是数与字母的积. x+1, 不是单项式,因为它们不是23 12
21、 +数与字母(或字母与字母)的积.2.解 :(1)系数:3 ,次数:3 . (2)系数: - ,次数: 3. (3)系数: 0.12,次数:1 . (4)系数: ,次数:3 .75 233.解 :由题意得 2+1+m=5,所以 m=2,所以 m2=22=4.B 组1.解 : - 2xy3, - 2x2y2, - 2x3y.2.解 :销售 n 台共收入 0.9mn 元,系数:0 .9,次数: 2.判断下列各式是否为单项式,如果不是,请简要说明理由;如果是,请指出它们的系数和次数.(1)x+1; (2) ; (3)r2; (4) - a3b.1 32解:(1)是字母与数字和的形式,不满足单项式的定
22、义,不是单项式.(2) 的分母中有字母 a,不是单项式 .1(3)(4)都是数字与字母的积的形式,是单项式.r 2 的系数是 ,次数是 2, - a3b 的系数是 - ,次32 32数是 4.解题策略 (1)判断一个代数式是否为单项式,关键看式子中的数与字母或者字母与字母之间是不是乘积关系,如果之间是加减关系,那么就不是单项式.(2)单项式的系数包括它前面的符号. (3)单项 式的次数是所有字母的指数相加的 结果,它只与字母的指数有关 ,而与系数的指数无关,如 23abc 的次数是 3,而不是 6.(4)相同字母的乘积形式常用乘方的表达形式.若 - 3axym 是关于 x,y 的单项式,且系数
23、为 - 6,次数为 3,则 a= ,m= .解析 “关于 x,y 的单项式 ”说明只有 x,y 才是单项式中的字母 ,a 只是系数的一部分,所以 - 3a= - 6,解得 a=2.而单项式的次数是 x,y 的指数和 1+m,因此 1+m=3,解得 m=2.答案 2 2解题策略 单项式是数与字母的积,数字因数是单项式的系数 ,所有字母的指数和是单项式的次数.本题中 x,y 才是单项 式的字母,而 a 只是系数的一部分,这点一定要理解到位.第 课时1.掌握多项式的概念,进而理解整式的概念.2.掌握多项式的次数、项数的概念,并能熟练说出多项式的项数和次数.1.通过具体情境,发展学生的形象思维.2.通
24、过观察、讨论、自主探究等形式,发展学生的抽象概括能力.通过交流、研讨活动,培养学生主动与他人合作的意识.【重点】 多项式的概念及多项式的项数、次数的概念.【难点】 多项式的次数.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习单项式的有关概念.导入一:如图所示,用两种不同形状的积木块,搭成两个不同形状的“桥”,它们的体积之和是多少呢?设计意图 通过情境图使知识性和趣味性融为一体,增加学生的学 习兴趣.导入二:1.回答下列问题:(1)长方形的长与宽分别为 a,b,则长方形的周长是 ;(2)某班有男生 x 人,女生 21 人,则这个班共有学生 人;(3)鸡兔同笼,鸡 a 只,兔 b 只,则共有头 个,
25、脚 只.设计意图 由于本课时的主题是多项式,通过列代数式引入多 项式的定义,既是对前面知识的回顾,又可以由此导入新课,既符合学生的认知水平,又能为学生学习新知提供丰富的素材.2.观察以上所得出的四个代数式与上一课时所学的单项式有何区别.(1)2(a+b); (2)21+x; (3)a+b; (4)2a+4b.设计意图 由学生小组派代表回答,教师应肯定每一位学生 说出的特点,培养学生观察、比较、 归纳的能力,同时又锻炼 他们的表达能力. 通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充.过渡语 在上一课时的活动 1 中,我们还得到了像 10y+x,10x+y,a2 - b
26、 这样的代数式,这14些代数式与之前学过的单项式不同,它们叫什么名字呢?活动 1 多项式及其相关概念v+2.5,v - 2.5,3x+5y+2z, ab - r2,x2+2x+18.12提出问题:这些式子有什么共同的特点 ?生:(思考讨论. )师:进一步提出问题,以上各式显然不是单项式 ,它们和单项式有联系吗?生:(讨论,交流,自由发言回答上面的问题.)说明:指出多项式的概念及其相关的几个概念 .由单项式相加组成的代数式叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.一个多项式由几个单项式组成,我们就把它叫做几项式,如 2x - 3 由 2x 和 - 3 组成,可以叫做
27、二项多项式,这里的 - 3 就是常数项;3 x+5y+2z 由 3x,5y,2z 组成,可以叫做三项多项式.师:(进一步引导学生探究多项式次数的概念.)生:(可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法,教师不必苛求学生怎样想,让学生大胆发言,只要能发挥他们的想象力即可.)师:(在这一过程中教师可以引导,多项式的次数是不是也可以将所有字母的指数加在一块呢?如果字母多的话是不是有点太乱呢?如果这样的话,我们是不是派个代表就行了?派谁当代表呢?引导学生说出以次数最高的项的次数作为代表.)归纳:多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数 .同单项式一样,一个多项式的次数是几,我们就称它为几次式,
28、如 2x - 3 可以叫做一次二项式,3 x+5y+2z 可以叫做一次三项式.活动 2 例题讲解(教材例 2)写出多项式,并指出它们的项和次数.(1)目前,在地球上生存的动物约有 150 万种.其中,无脊椎动物约有 m 万种,脊椎动物约有 万种.(2)如图所示的是城楼门口的形状,下部是长方形,上部是半圆形 .它的面积是 .(3)一个三位数的个位数字为 a,十位数字为 b,百位数字为 c,这个三位数可表示为 .解析 写出多项式,实际就是列出具有多项式特点的代数式.写出多项式后,依据多项式的项和次数的相关定义,确定其项和次数.解:(1)150 - m,它的项是 150 和 - m,次数是 1.(2
29、)2ra+r2,它的项是 2ra 和 r2,次数是 2.12 12(3)100c+10b+a,它的项是 100c,10b 和 a,次数是 1.思考:整式与单项式、多项式有什么关系 ?小结:单项式是整式,多项式也是整式 ;整式中包括单项式和多项式 .它们之间的关系可以表示为:整式 单项 式多 项 式 (教材例 3)如图所示的是由一个正方体和一个长方体组成的组合体.(1)请用代数式表示这个组合体的体积.(2)这个代数式是多项式还是单项式?如果是多项式,请你说出它是几次几项式.解析 首先要正确列出代数式,然后依据所列出代数式的特点,判定其属于单项式还是属于多项式.同时需要准确理解多项式的项和次数的概
30、念.解:(1)这个组合体的体积是 a3+a2b.(2)这个代数式是多项式,它是三次二项式 .知识拓展 整式、单项式与多项式的联系与区别:整式单项 定 义 :由数与字母或字母与字母的 积组 成的式子叫做 单项 式 .单 独一个数或字母也是 单项 式系数 :单项 式中的数字因数次数 :单项 式中 ,所有字母的指数的和 多 项 式 定 义 :几个 单项 式的和项 :在多 项 式中 ,每个 单项 式叫做多 项 式的 项次数 :多 项 式里 ,次数最高 项 的次数 1.几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数 .2.多项式
31、的组成元素是单项式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有 a 个单项式,次数是 b,那么这个多项式就叫 b 次 a 项式.3.单项式和多项式统称为整式,它们都有次数,但是单项式有系数;多项式的每一项是一个单项式,含有字母的项都有系数.如果一个代数式既不是单项式也不是多项式,那么它就一定不是整式.1.下面说法中正确的是 ( )A.一个代数式不是单项式,就是多项式B.单项式是整式C.整式是单项式D.以上都不对解析:因为单项式和多项式统 称为整式,所以 C 错; 又因为代数式中 ,除了整式外,还有字母出现在分母上的不是整式的代数式,故 A 错;而 B 的说
32、法符合整式的分类原则.故选 B.2.多项式 1+xy - xy2 的次数及最高次项的系数分别是 ( )A.2,1 B.2, - 1 C.3, - 1 D.5, - 1解析:多项式的次数是指多项 式中次数最高的项的次数,是 3,最高次项的系数是 - 1.故选 C.3.多项式 ab2+25 的次数和项数分别是 ( )A.3,2 B.5,2 C.3,3 D.5,1解析:因为 ab2+25 有两项,分别是 ab2 和 25,而 25为常数项,其次数可看作 0,ab2 的次数为3,所以是三次二项式.故选 A.4.判断下列各代数式中哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式. - 3xy2;2x3+1; ;
33、 - a;0; ; ; ;x2+ - 1; .12(+1) 2 23 12 1 1+1解:单项式有: - 3xy2; - a;0; ;23多项式有:2x 3+1;(x+y+1);12不是整式的有: ; ;x2+ - 1; .2 12 1 1+1第 2 课时活动 1 多项式及其相关概念活动 2 例题讲解一、教材作业【必做题】教材第 126 页练习第 1 题.【选做题】教材第 126 页习题 A 组第 1 题.二、课后作业【基础巩固】1.下列多项式中,是二次三项式的为 ( )A.a+b B.3a+4ab2+5bC.a2+2a+1 D.a3+b32.代数式 (x2+y2) ( )1A.是单项式B.是
34、整式C.既不是单项式也不是多项式D.不是多项式3.多项式 4x - 5 有 项,次数为 ;a2 - ab2+b2 有 项,次数为 .4.若多项式 2xm+3 与 ax3+2x2+x - 1 是同次的,则 m= .5.如图所示的是一个长方形园子的示意图,长方形的长为 x,宽为 y,里面有两个半圆形的花池,阴影部分是草坪,求草坪的面积是多少.它是多项式吗?它的次数是多少?【能力提升】6.下列判断正确的是 ( )A. 与 都是单项式3 3B.整式包括单项式与多项式C.单项式与多项式是整式,但不是代数式D.如果多项式 a2+b2 的值不为 0,那么 ab 的值一定不为 07.按某种标准把多项式分类,4
35、x 2 - 4 与 a3b+2ab2 属于同一类,则下列多项式也属于此类的是( )A. - x5+y4B.3x3+x - 1C.2ab+cd+1D.a4+3a3+3ab2+b28.一个只含字母 y 的二次三项式,它的二次项系数是 - 1,一次项系数是 2,常数项是 ,这个二次79三项式是 .9.(1)已知单项式 - x4y3 的次数与多项式 a2+8xm+1b+a2b2 的次数相同,求 m 的值;12(2)若关于 x,y 的多项式 2x2+(k - 2)xy - 3y2+x - 1 不含 xy 项,求 k3+1 的值.【拓展探究】10.一个五次多项式,它的任何一项的次数都 ( )A.小于 5
36、B.等于 5C.不小于 5 D.不大于 511.已知多项式 a4+ ab2 - am+1b - 6 是六次四项式,单项式 2x5 - myn 的次数与多项式的次数相同,12求 m2+n2 的值.12.长方形壁画的长为 a cm,宽为 b cm,现要在其四周镶上宽为 5 cm 的彩条,如图所示,至少需多长的彩条才能镶完?并说明你所列式子是否为整式,若是整式,则判断它是单项式还是多项式.【答案与解析】1.C(解析 :A 是一次二项式 ,B 是三次三项式 ,C 是二次三项式,D 是三次二项式.)2.B(解析 :代数式 (x2+y2)= x2+ y2,它是多项式,也是整式.)1 1 13.两 1 三
37、3(解析:因为 4x - 5 是由 4x 和 - 5 这两项组成的 ,其中 4x 的次数最高,为 1,因此是一次二项式,同理可得 a2 - ab2+b2 为三次三项式.)4.4(解析 :因为 ax3+2x2+x - 1 的次数是 4,所以 m=4.)5.解 :根据题意得 S 草坪 =xy - =xy - y2,它是多项式,次数是 2.(2)2 146.B(解析 :A 项中 不是单项式,C 项中单项式与多项式是代数式,D 项中 a2+b20 可能为3a=0,b0 或 a0,b=0,此时 ab=0.故选 B.)7.A(解析:4x 2 - 4 与 a3b+2ab2 都是二项式,而且次数不同.故选 A
38、.)8. - y2+2y+ (解析:根据条件依次写出各项 ,再把各项相加即可.)799.解 :(1)由题意可知 4+3=m+1+1,所以 m=5. (2)多项式不含某项 ,说明此项系数为 0.因为关于x,y 的多项式 2x2+(k - 2)xy - 3y2+x - 1 不含 xy 项,所以 k - 2=0,即 k=2,则 k3+1=23+1=9.10.D(解析 :由于多项式的次数是“多项式中次数最高项的次数 ”,因此五次多项式中,次数最高的项是五次的,其余的项的次数可以是五次的,也可以是小于五次的,却不能是大于五次的.因此,五次多项式中的任何一项都是不大于五次的.故选 D.)11.解:由题意可
39、知 m+1+1=6,所以 m=4,又单项式的次数是 6,所以 5 - m+n=6,所以 5 - 4+n=6,即n=5,所以 m2+n2=42+52=41.12.解:2 (a+52)+2bcm 或2(b+52)+2 acm 或(2a+2b+54)cm,是整式,是多项式.即至少需(2a+2b+20)cm 的彩条才能镶完,所列式子是整式,是多项式.本课时借助教材章前图的情境,激发学生探究的欲望.然后教师紧接着让学生回顾之前学过的例子,发现它们与单项式的不同,进而让学生总结出多项式的概念.培养了学生的归纳和概括的能力,让每个学生都参与到课堂中来.在对多项式有关概念的介绍中,以逐层深入的原则,分析概念,
40、并通过举例让学生加以理解,让其体验新知识的必然性及需进一步学习的必要性.整个教学过程中,教师注意与单项式进行类比,发现规律,形成结论.重点、难点过多的分析反而会降低学生自己思考及探究的热情,课堂上大部分知识可以通过教师的引导让学生去主动获取,避免教师的过多的包办代替.在例题讲解和处理一些练习的时候,不需要面面俱到,同类的问题讲解尽量不要过多,尝试着让学生自己学会去思考为什么.练习(教材第 126 页)1.解 :(1)a2 - 2ab+b2 的项是 a2, - 2ab,b2,次数是 2. (2)x - 5x2y2+3xy - 1 的项是 x, - 5x2y2,3xy, - 1,次数是 4.2.解
41、 :(1)二次二项式. (2)四次三项式 .习题(教材第 126 页)A 组1.解 :(1)项是 3x, - 2x2,1,次数是 2. (2)项是 xy2,x2y, - xy,次数是 3. (3)项是 abc2, - ac, - bc,2,次数是 4. (4)项是 mn,cd, - d,m,次数是 2.2.解 :项数是 5,次数是 3,常数项是 - 1.3.解 :(2800 - a - b)名.B 组1.解 :(300m+25n)棵.2.解 :容积:abc,是整式,是单项式.表面积:ab+2bc+2 ac,是整式,是多项式.多项式 2a2b - a2b - ab 的项数及次数分别是 ( )A.
42、3,3 B.3,2 C.2,3 D.2,2解析 多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数,根据这个定义即可判定.故选 A.如果整式 xn - 2 - 5x+2 是关于 x 的三次三项式,那么 n 等于 ( )A.3 B.4 C.5 D.6解析 根据题意得到 n - 2=3,即可求出 n 的值.由题意得 n - 2=3,解得 n=5.故选 C.一组按规律排列的多项式: a+b,a2 - b3,a3+b5,a4 - b7,其中第 10 个式子是 ( )A.a10+b19 B.a10 - b19C.a10 - b17D.a10 - b21解析 多项式的第一项依次
43、是 a,a2,a3,a4,an,第二项依次是 b, - b3,b5, - b7,( - 1)n+1b2n - 1,所以当 n=10 时,代入可得到第 10 个式子为 an+( - 1)n+1b2n - 1=a10 - b19.故选 B.对于多项式 - x2 - 2xy2+3,下列说法正确的是 ( )23A.2 次 3 项式,常数项是 3B.3 次 3 项式,没有常数项C.2 次 3 项式,没有常数项D.3 次 3 项式,常数项是 3解析 因为多项式中的每个单项式叫做多项式的项,多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数,所以多项式 - x2 - 2xy2+3中最高次项 - 2xy2 的次数
44、为 3,3中虽有字23母 ,但是作已知数处理,即为常数项.故此多项式为 3 次 3 项式,常数项是 3.故选 D.4.2 合并同类项1.结合具体情境,经历合并同类项的过程,体会合并同类项的意义.2.理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.3.通过合并同类项解决生活中的实际问题.通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力.初步体会数学与人类生活的密切联系.【重点】 理解同类项的概念;掌握合并同类项的法则.【难点】 根据同类项的概念在多项式中找同类项,并能正确地合并.第 课时理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.结合具体情境,经历合并同类项的过
45、程,体会合并同类项的意义.培养学生自主探索知识和合作交流的意识.【重点】 理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则.【难点】 根据同类项的概念在多项式中找同类项,并能正确地合并.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习多项式的有关概念.导入一:某学校校园的总体规划图(单位 :m)如图所示.在计算这个学校的土地面积时,同学们得出两个答案:100a+200a+240b+60b;(100+200)a+(240+60)b.上述哪个答案正确呢?设计意图 通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断的能力,让学生亲身体会了数学与生活的密切关系.导入二:如图所示,青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻
46、土地段.列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度是 100 km/h 和 120 km/h.在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需的时间是通过冻土地段所需时间的 2.1 倍,如果通过冻土地段需要 t h,能用含 t 的式子表示这段铁路的全长吗?这段铁路的全长用代数式表示为(单位:km) 100t+1202.1t,即 100t+252t.怎样化简这个式子呢?设计意图 以情境图引入教学,让学生列出式子,然后讨论 如何对式子进行化简,引发学生的思考.过渡语 有些多项式,它们中的某些项可以合并,这样 可使原多项式简化.这就是我们要学习的合并同类项.活动 1 感知、探究合并同类项小亮用 型和 型的积木块搭
47、成了如图(1)和图( 2)所示的两个不同形状的 “桥”.师:怎样计算两个“桥”的体积之和呢 ?大家能用哪些方法计算两个“桥”的体积之和呢?预设 生 1:先计算图(1)中“桥”的体积,后计算图( 2)中“桥”的体积,再将两个“桥”的体积相加,结果是 2a3+a2b+3a3+2a2b.生 2:将两个“桥”看作一个整体来计算:它们是由 5 个 型积木和 3 个 型积木组成的,结果是 5a3+3a2b.师:两个“桥”的体积是一定的 ,也就是说不同的方法计算出的两个“桥”的体积之和是相等的. 那么不同的方法计算出的结果也应该是一样的.也就是说 2a3+a2b+3a3+2a2b=5a3+3a2b.等式的左
48、边和右边有什么联系呢?预设 生 1:从等式的左边到右边,就是将 2a3 与 3a3,a2b 与 2a2b 分别“合并”在一起.生 2:2a3 与 3a3,a2b 与 2a2b 除系数不同外,所含字母及相同字母的指数都是相同的 .师:请同学们总结一下什么是同类项 .生:在多项式中,所含字母相同 ,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.几个常数项也叫同类项.设计意图 通过日常生活中分类的例子,让学生感受到在分 类时,应该把具有相同特征的事物化归成一类;再通过对单项 式的分类,让学生掌握同 类项的概念.知识拓展 (1)同类项不一定是两个,也可以是多个,所有的常数项都是同类项.(2)判断同类项的两个标准:一是所含的字母相同,二是相同字母的指数相等.两个无关:一是与系数无关,二是与字母顺序无关.(3)同类项的前提条件必须是单项式.活动 2 合并同类项的法则师:由 2
