1、第 2 课时 二次函数与利润问题及几何问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.【自学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.【自学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，
2、初步认识来源:gkstk.Com问题 1 同学们完成下列问题:已知 y=x2-2x-3x= 时，y 有最 值，其值为 ；当-1x4 时，y 最小值为 ，y 最大值为 .答案:1,小，-4；-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点 1 最大面积问题阅读教材 P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为 xm，则窗框的高为 m,x 的取值范围是 .2.窗框的透光面积 S 与 x 之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1. 0x 来源:学优高考网832x82.S=- x2+4x,0x3.Smax=
3、 m2.3例 1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点 E，过 E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是 AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点 E 应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为 a,设 DE=x，则 AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x 2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当 x=- 时，y 最小值 =2（ a） 2-2a a+a2= a2 12a11即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.自学点 2 最大利润问题例 2 预习教材 P31 例题【自学说明】通过
4、例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题. 例 3 某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100 件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?来源:学优高考网 gkstk【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润销量.解:设降价 x 元，总利润为 y 元，由题意得
5、y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当 x=0.5 时，总利润最大为 225 元.当商品的售价降低 0.5 元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点 C 是线段 AB 上的一个支点,AB=1,分别以 AC 和 CB 为一边作正方形,用 S 表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )A.当 C 是 AB 的中点时,S 最小B.当 C 是 AB 的中点时,S 最大C.当 C 为 AB 的三点分点时,S 最小D.当 C 是 AB 的三等分点时,S 最大第 1 题图 第 2 题图2.如图,某水渠的横断面是等腰
6、梯形,底角为 120，两腰与下底的和为 4cm，当水渠深x 为 时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨.综合考虑各种因素，每售出 1 吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元，设每吨材料售价为 x（元） ，该经销店的月利润为 y（元）.当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨
7、多少元？小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A 2. cm, cm2 23543.解：45+ 7.5=60（吨）.来源:学优高考网 gkstk601y=(x-100)(45+ 7.5).2x化简，得 y=- x2+315x-24 000.34y=- x2+315x-24 000=- (x-210)2+9 075.3434此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元.我认为,小静说得不对.理由:当月利润最大时,x 为 210 元，每月销售额 W=x(45+ 7.5=- (x-160)2601x342+19 200.当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大.当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大的.小静说得不对.【自学说明】1.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.2.要分清利润,销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结来源:gkstk.Com这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.
