1、第一讲 函数的概念、解析式、定义域和值域,（1）函数是整个高中数学的重点，而函数的概念、解析式、定义域和值域又是研究函数的基本出发点，对于研究函数的性质和图象有着极其重要的作用，也是每年高考试卷必考查的内容之一，因此本讲内容在高考中占据十分重要的地位,一、引言：,（2）考纲要求,了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；能根据不同需要选择恰当的方法表示函数；能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题,涉及本讲内容的问题仍将出现在2010年高考试题中，函数的概念要求较低，以函数解析式、定义域的考查为主，题型以选择题和填空题为主,（3）考情分析,与 的值相对应的 的值叫做函数值对于函数
2、 ，函数的值域是由对应法则 对自变量 在定义域内取值时相应的函数值的集合显然值域是集合 的子集,例已知集合 ， ，在给出下列四个图形，其中能表示从集合 到集合 的函数关系的是 ( ),三典型问题选讲,A B C D,分析：要从函数的图象体现出从集合 到集合 的函数关系，应以函数的概念为突破口根据函数的定义：“集合 中的任一元素，在对应法则 作用下，在集合 中都有唯一元素与之对应” 由此逐一进行判断即可.,解：对于图 ： 中属于(1,2的元素，在 中没有对应元素，不符合定义； 对于图 :符合 到 的函数关系； 对于图 ： 中有一部分的元素的象不属于集合 ,因此它不表示 到 的函数关系；,对于图
3、：其对于 中的元素，在 不是唯 一元素与之对应，因此也不合题意 由上分析可知，应选 ,归纳小结：（）该题考查了函数概念，函数概念的本质是两个集合之间的对应关系，因此在求解该题时要从定义出发，注意集合 中元素的任意性和集合 中元素的唯一性，将这种对应关系与图象结合起来,（）在问题的解决过程中，将图形语言与代数语言有效地结合并合理转化，因此要注意培养数形结合的数学思想，提高数学转化能力和抽象思维能力,分析：根据函数的定义可以判定，两个函数相同，则它们的对应法则、定义域、值域都相同，因此要从函数的三要素角度进行观察、对比,解：中 ，两个函数的解析式不同； 中 ，所以与 表示同一函数；,中 定义域为
4、，而 的定义域为R ； 中 定义域为 ，而 的定义域为 ； 两个函数的解析式、定义域相同，所以表示同一函数 所以选择C ,归纳小结：（）实际上判断两个函数是否为同一函数，只需看函数的两个要素：定义域和对应法则只有当两个函数的定义域与对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数 （）该题仍涉及的考点是函数概念在解决问题的过程中注意对概念和定义的灵活运用，不断提高数学知识的应用和转化能力,（）第小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透在函数的定义域及对应法则 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如 ， ， 都可视为同一函数,分析：由
5、于函数 和 中的变元成为 和 ，所以只需要进行代换即可,解： ，,已知 ，求 的解析式；,分析： 的作用下变元是 ，因此只需把 看成是整体，通过配凑的方式把解析式中的变元转化为 的形式，或仍将 视为变元，通过换元得到关于 的解析式,解法一： 解法二：令 ，则 ， ,已知 ，求 的解析式,解:由 可得 由解得,归纳小结：（）该题主要考查了函数的解析式的求解方法，能灵活地根据题目条件选择恰当地方法得到函数的解析式，其中涉及多种数学思想，如函数与方程的思想、分类讨论思想等，注重对分析问题和解决问题能力的考查,（）根据已知条件求函数的解析式常用 待定系数法、换元法、配方法、赋值法、解方程组法等. 当所
6、求函数的解析式的形式已知（如二次函数、指数函数等）常用待定系数法. 已知 的表达式，求 的表达式，常用配方法或换元法.,由简单的函数方程求函数的表达式，常用赋值法及解方程组法.,例4（2007年安徽卷）如图所示中的图象所表示的函数的解析式为（ ）,A. B. C. D.,分析：本题是由图形判断函数的解析式，由于图象在定义域0,1,1,2都是线段，因此其解析式都是一次函数型，利用待定系数法，分别求出各定义域上的解析式即可另外在图象上给出了三个特殊点 ，所以还可以考虑特殊值法,解：由图象可知，当 时，；当 时， ； 应选B,另解：（特殊值法） 分别代入 进行 验证，只有选项B符合条件,归纳与小结：
7、（）本题考查了函数解析式与图象之间的关系，和分段函数解析式的表达形式，考查了数形结合思想和灵活解题能力 （）根据图象求函数解析式或判断函数性质，要注意在不同的函数自变量的取值范围内采用恰当的方法求出函数解,析式如果所求结果能用一个解析式综合，则应写成一个解析式的形式，否则应采用分段函数形式 （）特殊值法的使用可以简化计算过程，降低难度，因此要注意使用,分析：利用待定系数法确定 的值， 确定方程 的形式,从而求解,例5 .（2008湖北卷）已知函数, 其中 , 为常数，则方程 的解集为 .,解： 方程 的解集为 ,例.（2008 湖北卷） 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D.,分析：由
8、于函数的解析式已经明确，并且没有特殊标明定义域，所以定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值范围,解： 可解得函数定义域为 ,归纳与小结：（）本题考查了函数定义域的意义和基本解法，考查了分析问题和解决问题的能力尤其是利用 对特殊点x=1的验证，考查了思维的全面性 （）若已知函数解析式，且没有特别要求定义域，则函数的定义域是使,函数解析式有意义的自变量的取值范围,当 是整式时，定义域是全体实数； 当 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数； 当 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负实数的集合；,当 是对数函数时，满足真数大于零； 当对数或指数函数的底数中含参数时，底数须大于零且不等于1；
9、,零指数幂的底数不能为零.,注意：在实际问题中，函数的定义域要受到实际意义的限制,在,中 ,在,中 ,例设函数 的定义域为0,1 ，求函数 的定义域,分析：该题已知函数 的定义域，求含有参数的解析式的定义域，显然要对 进行分类讨论由于函数 是抽象函数，所以在求函数 和 的定义域时，把握在 的作用下，括号里的变元范围相同在分别求出 和,定义域的基础上，求 的定义域是根据 的范围求出的交集,由 ，求出 的范围，即为 的定义域在某些情况下，也可以先求出函数的解析式，由解析式求出 的定义域,求运算型解析式的定义域：当 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义
10、域的交集.,归纳小结：（）本题考查了函数概念、表达形式、函数值等知识，考查了转化、化归思想和分析问题和解决问题的能力 （）函数表达形式有解析式法、图象法和列表法其中列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系,其优点是不需要计算就可以看出与自变量的值相应的函数值因此在解决本题时只需代入验证即可,例.（2008江西卷）若函数的值域是 ，则函数的值域是（ ） A B C D ,当 时， 所以 的值域为 ，选B ,解： 当 时， ；,当且仅当 时，取等号,归纳小结:(1)本题考查了函数的值域、均值不等式等基本知识，考查了函数与不等式的转化与整合的数学思想和计算、推理能力. （）求函数值域的方法比较多，
11、常见的主要有：,直接法；反函数法；配方法；分离常数法；不等式法；换元法；判别式法；数形结合法；导数法等,本题从函数形式及 的值域可以判断出使用不等式法确定 的最小值，再比较连续函数 在闭区间上的端点值中的较大值，从而判断出所求值域,例0( 2007浙江卷)设 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是（ ）,A. B. C. D.,解：由函数 解析式可知当 时， ，所以的值域是 时，因为 是二次函数，结合选项，判断选 C ,归纳小结：（）本题考查了复合函数的值域与分段函数、二次函数的知识，二次函数的图象与值域的判断方法，考查了数形结合思想 （）本题在求解过程中要注意结合选项合理地进行取舍 （）求
12、函数值域没有固定的方法和解题模式，要熟悉几种常见的求值域的方法，在问题解决过程中选择最优解法,例11（2009年海南卷）用 表示a,b,c 三个数中的最小值设，则 的最大值为（ ）A4 B5 C6 D7,分析：利用作差法比较难以解决本题，因此可以结合图象解决问题,解：画出 ， ， 的图象， 如图，观察图象可知，当 时， ；当 时， ；当时， 所以 的最大值在 时取得为6 ，故选 C ,归纳小结：（）本题主要考查了初等函数的图象与函数值的大小比较，考查数形结合思想和转化思想，考查了识图和用图的能力和知识迁移能力；,（）利用图象解决函数的最大值和最小值是一种常见的考题形式，要熟记几种基本函数的图象
13、和性质；,（）本题是有一定创新意义的问题，抓住问题的定义，转化为绘制f(x)的图象成为解题关键,例12定义在 上的函数 满足 ，,且 则 ,分析：本题考查了抽象分段函数求函数值的问题如果直接求解，则未知条件较多，因此从题目条件入手，对 分类讨论，找到 与的关系成为解题关键,解：由 得，,当 为偶数时，,当 为奇数时，,所以,归纳小结：（）本题考查了求分段函数和抽象函数的函数的知识和方法，考查了数形结合思想，以及根据条件分析问题、灵活解题的能力 （）对于抽象函数的问题的解决，要根据问题和条件灵活地进行变形，合理地推理分析是关键,四本专题总结,1.要深化对函数概念的理解，从函数三要素（定义域、值域
14、与对应法则）整体上去把握函数概念在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是函数的核心，因值域可由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.,2.求函数解析式的方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配方法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法.,3.求函数定义域的常见题型及求法. （1）已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可. （2）已知 的定义域为A ，求 的定义域，实质上求 在A上的值域；已知函数 的定义域为A ，求函数 的定义域，实质上使 ，解不等式即可,（3）涉及实际问题的定义域问题必须考虑问题的实际意义. （4）当解析式中含有参数时，需对参数进行讨论.,4.定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性.所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点.,
