1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 25 炼 定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分 bafxd（1） 称为积分上下限，其中,:ab（2） ：称为被积函数fx（3） ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，d例如： 中的被积函数为 ，而 的被积函数为2bat2fxt2baxtdftx2、定积分 的几何意义：表示函数 与 轴， 围成的面积（ 轴bafd fx,xbx上方部分为正， 轴下方部分为负）和，所以只有当 图像在 完全位于 轴上方时，xfa才表示面积。 可表示数 与 轴， 围成的面积的总bafbafxdx,x和，但是在求定积
2、分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有 2 种：（1）微积分基本定理：如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那么fx,abFxf|badFa使用微积分基本定理，关键是能够找到以 为导函数的原函数 。所以常见的初等fxx函数的导函数公式要熟记于心：fxC0fxf 1fsincoscosxsinxxfa lnxfafefelog 1llnx1x 寻找原函数通常可以“先猜再调” ，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如： ，则判断属于幂函数类型，原函数应含 ，但 ，而 ，3fx 4433fx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -
3、所以原函数为 （ 为常数）41FxC 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数 ，例如 ，则C2fx，但在使用微积分基本定理时，会发现 计算时会消去 ，所以2xFba求定积分时， 不需加上常数。Fx（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于 轴的下方，则x面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设 存在,bbaafxdgx（1） bakfxd作用：求定积分时可将 的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化fx的复杂程度fx（2） bbbaaafgxdfxgxd作用：可将
4、被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如 22221111x（3） ，其中bcbaacfdfxfxdacb作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算fx（1）若 为奇函数，则 0afxda（2）若 为偶函数，则fx00afx6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数 ,fxg（3）若 时，始终有 ，则该处面积为,xabfxbafxgd高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考
5、资源网- 3 -7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数 下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。二、典型例题：例 1：已知函数 ，则 （ ）21,0xxf1fxdA. B. C. D. 38234243412思路： 在 的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：fx1,0，而 ，对于1 12210ddxdx02201133dx无法找到原函数，从而考虑其几何意义： ，20
6、x yy为单位圆面积的 ，即 ，所以141204x1412fx答案：B小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分（2）若被积函数具备“ ”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同例 2： （ ）40cosinxdA. B. C. D. 121212思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。，所以：22cossin=cosinincxxfx x4 400 |1d 答案：C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -例 3：设 ，则 _2xf4fxd思路
7、：本题可以通过对 的符号进行分类讨论，将 写成分段函数，再将定积分拆分为fx两段分别求解，但若观察到 为偶函数，则可利用对称性得：fx44400232lnlxxfd答案： 30ln2例 4：已知 ，则 （ ）016xkdkA. B. C. D. 1234思路：先按部就班求解定积分，再解出关于 的方程即可：解： 2320038xkdxkk解得 8164答案：D例 5：由曲线 （ 为参数）和 围成的封闭图形的面积等于_2xty2yx思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为 ，作2yx出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为 ，结合1,图象可得：222321-119|Sxdx答案： 9例 6：设
8、（其中 为自然对数的底数） ，则 的图像与2,01xfe yfx以及 轴所围成的图形的面积为_0,xex思路：作出图像可得 恒在 轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函fx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -数不同，所以要拆成两个定积分： 12310101 4ln3eeSxdxx答案： 43例 7：曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为（ ）2yx1,4yxA. B. C. D. ln2ln4ln242ln思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为 ，1yx下方为 ，自变量的取值范围为 ，其中2yx,EF， ，所以所求面积为:1Ey4,042422 l
9、nlnSxdxx答案：D例 8：如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 所围成的阴siyxcosyx0,x影部分的面积为（ ）A. B. 12C. D. 2思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在中， 与 的交点横坐标为 ，所以 时，余弦函数位于上0,sinyxcosx4x0,方， ，在 处，正弦函数位于上方，410ciSd,424sinox所以 41204csinsinco2Sxdxd答案：D小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上 下”的原则，如果高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -函数发生变化或上下
10、位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可（2）本题还可以采用“填补法” ，观察到左边较小阴影部分与 右侧部分中心对称，所x以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至 右侧。新的阴影部分始终 位于上xsinyx方，可求得阴影部分位于 ，所以 5,454sinco2Sxd例 9：已知 ，若函数 满足 ，则称 为ab,fxgbbaafg,fxg区间 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：, 2,1fxgxsin,cosfxx 2314x 函数 分别是定义在 上的奇函数且积分值存在,fx,其中为区间 上的“等积分”函数的组数是（ ）A. B. C. D. 1234思路：按照“等积分”的定义，
11、只需计算出两个函数在 处的积分，再判断是否相等即1,可。解： 111210024fxdxdx1121g所以为“等积分”11fxdx 为奇函数， 为偶函数g10fx111100cos2csin2sixdxxd 由几何含义可得： 11f 1123342gxdx11fgd所以为一组“等积分”函数高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 - 因为 为奇函数，所以,fxg110fxdgx为一组“等积分”函数综上所述，为“等积分”函数答案：C例 10：已知函数 ，直线 （ 为常1xfe12:,:1tlxlye数，且 ） ，直线 与函数 的图像围成的封闭图形如图01t2,lf中阴影所示，当
12、 变化时阴影部分的面积的最小值为_思路：可解得 与直线 的交点为 ，从而用 可表示出fx2l,1tet阴影部分面积： ，化简后110 1txxttSdedx可得： ，再通过导数分析 单调性即可求出 的最小值3ttteSSt解： 与 的交点为： ，解得： fx2l11txtfxeex所以阴影面积 120 1t xttSded10txxttede023tt ttte设 ，则 231ttSte 1ttSte在 单调递减，在 单调递增t0,22min112Stee答案： 小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法（2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“ ”后面的字母） ，然d后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含参数的表达式。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -
