1、1第 2 章 定积分2.1 定积分的概念和性质例 计算定积分 10dx 2分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间 1,0等分解：将区间 1,0n等分，每个小区间的长度为 n，取 i为每个小区间的右端点，得积分和i1，计算积分和得ini 121 2)(n（等差数列求和公式 ） n2由此得1)(lim1li nn由定积分的定义可知 2d10x2.1.3 牛顿莱布尼兹公式：若 )(xF是 f的一个原函数，则baba xFabFxf )()(d)(简 记 为对于 N-L 公式作几点说明：定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即: 若 )(,G均为)(xf的原函数，则bababaxGF
2、xf)()(d)(在公式)(fba中如果把 换成 ，就得到)(d)(aFxfxa例 1 计算 102x解：因为2)(f，它的一个原函数为31)(xF，得 31d0102x若将原函数换为 31xF，同样得)(d103102例 2 计算 21dex解：因为xf)(，它的一个原函数为xFe)(，得12121eedxx例 3 计算 12e3解：cxx212ede， 1212edexx )e(2例 4 计算 031解：cxx2332)(9d， 203203)1(9d1xx95例 5 计算 1e解： cxx)(d， 2121e)(dexx例 6 计算e1ln解： cx)(， e1e1)(lnlx2.1.4
3、 定积分的性质先回顾不定积分的性质性质 1. xgxfxgf d)()(d)(性质 2. k定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质定积分的性质：性质 1. bababa xgxfxgf d)()(d)(性质 2. k性质 3. bccaba xfxfxf )()()(证：设 F是 的一个原函数，由 N-L 公式)(d)(bxfbaacc)(d)(cFbxfbc)()()( Fxfxfbca baxfd)()这个性质对计算定积分是非常重要的性质中的 c可以在区间 ,内，也可以在区间,b外性质 3. bccaa xfxfxf d)()(d)(4证：设 )(xF是 f的一个原函数，由
4、 N-L 公式)(d)(aFbxfba)(dacfcad)(cFxfbc)()(Fxfxbc baxfd)()(这个性质对计算定积分是非常重要的性质中的 c可以在区间 ,内，也可以在区间,ba外例 1 计算 02d)cos(xx 解： 002dcosx002dcosx003sin2x31例 2 求 d 解： 1,1xx2020 ddx2110d)(d)(xx1102)()(x2.2.1 换元积分法定积分换元积分法若 baba xufxf d)(d)(1，且当 a时， u；当 bx时， u则例 1 计算 21d3x解： 2121d)3(x21)13(dx52d13u52ln3u)ln(5例 2
5、计算 1032d4xx解：令 u3， 921032d4xx14)d(u14du271439例 3 计算002aa 分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方用三角公式替换 解：令 taxsin， taxdcos，且当 0x时， t；当 ax时， 2t得a02d202sintt20dcosta02d)cos1(t（三角公式cos1cs2） 4)in1(202tt2.2.2 分部积分法不定积分分部积分公式： xuvxvudduvd定积分有类似的分部积分公式 baba或 baba例 1 计算 21dex解：)(x 21dexx 212ex例 2 计算 e1ln解：e1e1d
6、)(ldlxxe1dlnx1)e(0例 3 计算 20sin 解： 2020 d)cos1(3dsi xxx 20dcos3cos2xx620sin43x2.3 广义积分定积分是在有限区间 ,ba上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分（或称无穷积分）： abaxfxfd)()(limbbaxfxfd)()(lim在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分发散例 1 计算广义积分 12dx解： 12dxb12limbbx1)(li1)(lim例 2 计算广义积分 0dex解： 02dexbx02li bxb02eli21)e(lib例 3 计算广义积分 de2x 解： 0de2x0lim2ax02)(de1li2ax021liaxa2)e(1li2a
