1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 32 炼 解三角形中的不等问题一、基础知识：1、正弦定理： ，其中 为 外接圆的半径2sinisinabcRABCABC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1） 22222siisisiabc（2） （恒等式）concocsinbaBA（3） 2insBCaA2、余弦定理： sb变式： 此公式在已知 的情况下，配合均值不等式可得到221cobc,aA和 的最值 c3、三角形面积公式：（1） （ 为三角形的底， 为对应
2、的高）2Sah h（2） 1sinsisin2bCcAacB（3） （其中 为外接圆2siniRCRABCR半径）4、三角形内角和： ，从而可得到：B（1）正余弦关系式： sinisiAcocoCB（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式：sinsincsicABBAcoon6、辅助角公式： ，其中 2sicssinababtanb7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
3、 sincosabABAB其中由 利用的是余弦函数单调性，而 仅在一cosAB sin高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -个三角形内有效。8、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例题精析：例 1： 各角的对应边分别为 ，满足 ，则角 的范围是 ABCcba, 1cabAA B C D(0,3(0,6,)3,)6思路：从所给条件入手，进行不等式化简： 1cab，观察到余弦定理公式特征，进22bacacb而利用余弦定理表示 ： ，可解得：o
4、sA22c2oscaAb0,3A答案：A例 2：在 中，角 所对的边分别为 ，已知 BC,A,abcsin3coaCA（1）求 的大小（2）若 ，求 的取值范围6abc解：（1）由条件 可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”sin3oCA1sini3cocaAtan3A（2）思路：考虑在 中，已经已知 ，从而可求出外接圆半径 ，进而 与BC,aR,BC也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第,bc三边” ，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决60A解： 43sinisincaBC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -43sin,b
5、B43sincC3A23BCBiisnc31314sincosi2icos2in2 6BBB 05,in,666,12bc例 3：在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC, ,abc2osCac（1）求角 （2）求 的取值范围sin解：（1）方法一：使用余弦定理222coscbCacba22bcaca由余弦定理得： 2cosB1s23B方法二：观察等式 齐次，考虑使用正弦定理,b2cossinCsinAbCacin22sincoBC1s3（2） ACA2131sinsincosinsicosin322A1ci2i4464A为锐角三角形 ABC,0,2BC262AA高考资源网（） 您身边的高
6、考专家 版权所有高考资源网- 4 -52,6A1sin2,6A13sin,24AC小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而 用 代换，所以 满C足锐角的条件也由 来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。 例 4：在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，ABC, ,abcsinsinApBR且 21acb（1）当 时，求 的值5,4p,ac（2）若角 为锐角，求 的取值范围Bp解：（1） 5sinsin4ACBb14ac或 514aacc（2）思路：以“角 为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而 也刚好B 21,4acpb得到 与
7、 的关系式，再由 可解得 的范围pcos0cos1Bp解：考虑余弦定理 222 1cosbaacB21csb3sp为锐角， B0oB2,0acpb6,2p例 5：若 的内角满足 ，则 的最小值是 ABCsin2siinABCcos思路：所求 的最值可想到余弦定理用边进行表示， ，考虑cos22abc角化边得到： ，进而消去 计算表达式的最值即可sin2iin2abc解： 由 可得：2coabcCsisiniABC2abc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -2abc22 22 313124cos 84ababaabc bC a3684答案：例 6：在锐角 中 、 的对边
8、长分别是 、 ,则 的取值范围是ABC2,BCbc+( )A B C D1,431(,)312(,)323(,)4思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：，只需求出 的范围即可。条件所给的是 关系，sinsin+1bcCsinB,AB从而 ，利用 减少角的个数：iicocsiABA2,，代入可得：ini2sn,socs1 ，根据锐角三角形求出 的范围即可。4co1siCBB解： sisin+nbCsiiicoicssACBAB由 22ini2in,oscos1B22sincoscossc4iB高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -因为 为锐角三
9、角形 解得： ABC02032BAC64B23cos,2sin4cos1,B1,sin+32bCcB答案：B小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是 ，所以在求B表达式范围时将 均用 来进行表示，以便于求得值域。,ACB例 7：已知 的角 所对的边分别是 ，且 ，若 的,abc223cabAC外接圆半径为 ，则 面积的最大值为_32A思路：由 可联想到余弦定理求 ，所以 ，22abcacosC221cs3ab
10、c从而 ，所求面积可表示为 ，则只需解出 的最大值即可。sin3C1in2ABCSab由外接圆半径 及 可得： ，所以 ，而2Rsinsi4cR2163ba，所以有 ，所以 2ab162123ab42ABCS答案： 4小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出 ，在计算面积时有三组边角可供选择： ，通常是“依角而选” ，从而把11sinsisin22SabCcAacB目标转向求 的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往ab往可以找到最值。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -例 8：设 的内角 所对的边为 ，若 成等比数列，
11、则 的取值范ABC,abc, sinBA围是_思路：由 成等比数列可得： ，也可视为 ，所求表达式,abc22sinisBC也可视为 。如果从角入手，则 无法sinA sininAB与 联系。所以考虑从边入手。由 可得： ，在 中，若 isB2bac2baAabc，则 ，所以 ，即 ，同理，若cab2a215102，则 ，解得： 。综上2bc5basin51,2BbAa答案： ,例 9：已知ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 ，且 BC 边上的高为 ，则 的取,abcabc值范围为_思路：一方面由所求 出发，可用均值不等式得到 ，验证 时bc2ccbc存在这样的三角形，得到最小值；再从
12、另一个角度入手 可联想到余弦定理，而由题目中的底和高可得22cosabA，所以有：21insinABCSabcA，只需求得2csiosi2cosc Ab的范围即可，考虑sino， ，所以122cs5sincos5inAAtan2，综上：sino,b高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -答案： 2,5小炼有话说：（1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的 ） ，从而整理出一个可操作的表达式2a（2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。
13、这种情况下可用 代替俯角，并用 的一个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到 的范围，从而确定 的范围AA能经过 ，所以 能够取到5例 10：（2014，重庆）已知 的内角 满足ABC,，面积 满足 ，记 分别是1sin2i()sin2AS12,abc所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）,BCA. B. 8bc 6abC. D. 612a 124c思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得 ，即sini()sin2ABCAB4siniABC，联想到面积公式 及 可得：8Sr12S，从而 可用 进行表示求出范围，另一方面可由2124rrabc，利用不等式的
14、传递性即可求出 的范围bcabcbc解： 1sin2i()sin2ABCAB21siisin2n2ABA1siisicosinco2BA1c122sinsinAB214co4cosinBA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -1sinsicosinc8ABBA即18isnC由正弦定理可得： 2si,2iaRbcR21 1sinnsisin4ABCSbABABCR所以由 可得：214，所以 均不正确338sii8,6acRBCR,D正确bbcacA同理 ， 不正确bB三、近年好题精选1、 （2016，上海十校联考）设锐角 的三内角 所对边的边长分别为 ，且AC, ,abc
15、，则 的取值范围为（ ）,2aBAbA. B. C. D. 31,32, 0,22、 （2016 江苏高三第一次联考）在 中， 是 的中点，边ABC34ANB（含端点）上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是_ACMNcos3、 （ 2015，新课标 I）在平行四边形 中， ， ，则 的取值D752CA范围是_4、 （2016，哈尔滨六中上学期期末考试）在 中，内角 的对边分别为 ，且ABC,abc，则 的面积最大值为_2,cbaABC5、 （2014，新课标全国卷 I）已知 分别为 三个内角 的对边， 且,abc,ABC2，则 面积的最大值为_sinsinABC6、 （2016，洛阳 12 月月
16、考）在 的内角 所对的边分别为 ，则下列命题正, ,abc确的是_ 若 ，则2sinsinABC04高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 - 若 ，则2abc03C 若 ，则 为锐角三角形44AB 若 ，则c27、 （2014，陕西） 的内角 的对边分别为C, ,abc（1）若 成等差数列，证明： ,abc sin2sinACA（2）若 成等比数列，求 的最小值,coB8、设 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,cba且 bc21os.（1）求角 的大小；（2）若 a，求 的周长 l的取值范围.9、已知 和 满足： 1 111sinco,sinc,sinco,ABC（1）
17、求证： 是钝角三角形，并求最大角的度数ABC（2）求 的最小值222sinii10、 （2016，安徽六校联考）已知函数 .2coscos213fxxx（1）求 的对称中心fx（2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围ABC, ,abc0fAbc习题答案：1、答案：A解析： 2sini2sincoBAcos2baA由锐角 可知： ，解得 ，所以CA02032BA 64A，从而23cos,2cos,b高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -2、答案： 3,18解析：方法一：若 存在点 ，使得 ，则 为锐角或直角ACMBCNB在 中BN22022cosACA
18、BC2cos0BNNBACA代入 ，可得：3,42A916cos9162cos042sA383co,18方法二（向量法）以 为原点，直线 为 轴建系，则 ，设 ，ABx3,0,2BN4cos,inCA04Mtcos,int3cos3,in,4cos,in2MtAtcs4sii02BCNt tA由 和 可得15cos83At0,tcos1,A3co,183、答案： 62,解析：延长 交于点 ，则在 中，,BCDEDA10545,30AE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -设 ，则由正弦定理 可得ADxsinisinADEDA设 ，则由正弦定理： 可得：622,ExCm
19、siinCEB，整理后可得： ，所以sin75sin30mx 62x，由 可知62ABECAE62mx，所以 0,2x,B4、答案：解析：由余弦定理可得： ，代入 可得：22coscabC2,cba，即 ，所以有：224osaC234a42222 421 16sin1cs 168ABC aSba a284所以当 时， 有最大值为1aABCS25、答案： 3解析：由正弦定理可得：2sinsin2bABcbabc2a2244bcbcosA1s23A13sin24ABCSbcbc且 2高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -即 24bcbc3ABCS6、答案：解析： 由正弦定
20、理可知： ，由余弦定理可得 ，整2ac22cosabcabC理可得： ，所以2113cos242bC04 222 2331cos 84ababcabab从而 ，从而313184842Cba 0,C ，所以220cabcab，即 ，则22220abcac，所以 最大角为锐角。即 是锐角三角形cos0CABCABC 取 满足 ，则 ，不符题意2,1abc2abc327、解析：（1） 成等差数列，由正弦定理可得：c2sinisnBACBAC2i2sin（2） 成等比数列 ,abcbac由余弦定理可得：222111cos 22aacBcca等号成立当且仅当 的最小值为 cs128、解析：（1） 1co
21、ssincosini2aCbACB高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -1sincosini2ACACcosincsAcs3A（2） 12sinisin3bcaBCA2si,si3bc1inlaBCsinsisin3BCAB13inicoicos22B3si6203,3BABC解得： 20,5,63sin,BC2,l9、解析：（1）不妨设 ，由ABC可得：1sincoiABC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -11coscos2coscos2ABC若 ，则 0,A,0,2，三式相加可得： ，1122BC113322ABC等式显然不成立若 ，
22、则 ，显然不成立A11cosin02A，此时 ，三式相加可得： ,2112BC112ABCABC，解得： 2A34A（2）由（1）可得： 且 B0,22sinisinAC23co1cs41s24B33coinsin22 4B0,4B2,4B高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -2sin2,14B（在 处取得）222min32iisAC8B10、解析：（1） 1cosincos21fxxx3sin22i6对称中心为：61kxkxZ对称中心为： ,12（2）由已知可得： 1sin10sin266AA（舍）或6A5231sincosini 132ta2CCbBc因为 为锐角三角形A02,623CBtanC1,bc
