1、京翰高考网：http:/ P 从右至左运动时， 由锐角变成直角，又变成钝角，过了 Y 轴之后，对称地21PF由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点 P 与短轴端点重合时， 达到最大。21PF3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？（面对 cos = 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均21PF| 21121F值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是 ，分母变化的部分是 ，二者的关系是221| |21PF，于是目标式可 |4|2| 21121 aPPF 分成两部分 ，最后对 利用均值不等式，即可大功告成。|21b|21F问题 5
2、：由上面的分析，你能得出 cos 与离心率 e 的关系吗？21P性质二：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中),0(2bayx ,21F21FP_ _（当且仅当动点为短轴端点时取等号）,21PF.1cose设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高， “看似一小步，其实一大步”！题 2：已知 、 是椭圆 的两个焦点，椭圆上一12 )0(2bayx点 使 ，求椭圆离心率 的取值范围。P9021Fe1 由椭圆定义，有 平方后得12aPF|4 2821221212aFPFc|(|)|得 c2所 以 有 ， ）e2 e1变式 1：已知椭圆 的两焦点分别为 若椭圆上存在一点 使得
3、)0(2bayx ,21F,P京翰高考网：http:/ 的取值范围。,120PFe.1,23变式 2：若椭圆 的两个焦点 、 ，试问：椭圆上是否存在点 ，使 ？存1342yx1F2 P9021F在，求出点 的纵坐标；否则说明理由。P方法二： ，但椭圆离心率为 ，不在范围2190cosee121内，故不存在。性质三：若 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，1F2 )0(12bayx P21PF则 的面积 _21P性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 。ab2题 5：已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的弦长1C21(0)yxab(1,0)A1C为
4、求椭圆 的方程；1【课堂测试】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 322.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围1F2 120MF20090423京翰高考网：http:/ c ） A B C D(0,1)1(0,22(,),1)4.已知矩形 ABCD， AB4， BC3，则以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为 12。5.若椭圆 )0(,12bayax短轴端点为 P满足 21F，则椭圆的离心率为 e。6,已知 F1为椭圆的左焦点， A、 B 分别为椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭圆上的点，当PF1 F1A， PO
5、 AB（ O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为 e。7.已知 21、 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,15122FF， 则椭圆的离心率为 368.椭圆 2byax（ab0 ）的两顶点为 A（a,0）B(0,b), 若右焦点 F 到直线 AB 的距离等于 21AF，则椭圆的离心率是 36。 一、选择题1(09浙江)已知椭圆 1(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BFx 轴，x2a2 y2b2直线 AB 交 y 轴于点 P，若 2 ，则椭圆的离心率是 ( )AP PB A. B. C. D.32 22 13 12答案 D解析 由题意知：F (c,0) ，A(a
6、,0)BFx 轴， .又 2 ，APPB ac AP PB 2，e .故选 D.ac ca 122已知 P 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆 1(ab0)上一点，若 0，tanPF 1F2 ，则x2a2 y2b2 PF1 PF2 12椭圆的离心率为 ( )京翰高考网：http:/ B. C. D.12 23 13 53答案 D解析 由 0 知F 1PF2为直角，PF1 PF2 设|PF 1| x，由 tanPF 1F2 知， |PF2|2x ，12a x，32由|PF 1|2| PF2|2|F 1F2|2 得 c x，52e .ca 533(文)( 北京西城区 )已知圆(x2) 2y 236
7、的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 ( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案 B解析 点 P 在 线段 AN 的垂直平分线上，故| PA|PN|，又 AM 是圆的半径，|PM |PN|PM |PA| AM|6|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆(理)(浙江台州 )已知点 M( ，0) ，椭圆 y 21 与直线 yk (x )交于点 A、B，则ABM 的周长3x24 3为 ( )A4 B8 C12 D16答案 B解析 直线 yk (x )过定点 N( ，0)，而 M、N 恰为椭圆 y 21 的两个焦点，由 椭圆
8、定义知3 3x24ABM 的周长为 4a42 8.5(文)椭圆 1 的焦点为 F1、F 2，椭圆上的点 P 满足F 1PF260，则F 1PF2 的面积是x2100 y264( )A. B. C. D.6433 9133 1633 643答案 A解析 由余弦定理：|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|cos60|F 1F2|2.又|PF 1| |PF2| 20，代入化简得|PF 1|PF2| ，2563SF 1PF2 |PF1|PF2|sin60 .12 6433(理)已知 F 是椭圆 1 的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则ABF 的面积最大值为x225 y29( )A6 B
9、15 C20 D12答案 D解析 S |OF|y1y 2| |OF|2b12.12 126(2010山东济南)设 F1、F 2 分别为椭圆 1 的左、右焦点，c ，若直线 x 上存x2a2 y2b2 a2 b2 a2c在点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是( )京翰高考网：http:/ B.(0，22 33，1)C. D.22，1) (0，33答案 B解析 直线 x 上存在点 P，使 线段 PF1 的中垂线过 F2，|F 1F2| PF2|，设直线 x 与 x 轴交a2c a2c于 Q 点，则易知| PF2| QF2|，即 |F1F2| QF2|，2c c，a2
10、cc 0，3c 2a 2，即 e2 ，a2 b213e ， eb0)的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以| OF1|为半径的圆x2a2 y2b2与该左半椭圆的两个交点，且F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 132 12 22 3答案 D解析 连结 AF1，由圆的性质知，F 1AF290，又F 2AB 是等 边三角形，AF 2F130， AF 1c， AF2 c，e 1.故选3ca 2c2a 2cc 3c 3D.9(杭州五校)椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为( )A. B. C2 D414 12答案 A解
11、析 由题意 x 21，且 2，y21m 1mm .故选 A.14二、填空题11(文) 已知 F1、F 2 为椭圆 1(ab0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1 垂直于 x 轴，且x2a2 y2b2F 1MF260，则椭圆的离心率为 _答案 33解析 令 xc ， 1.c2a2 y2b2京翰高考网：http:/ .|F 1M| .b2a b2aF 1MF260，|MF 2|2|MF 1| .2b2a又|MF 1|MF 2|2a， 2a.3b2aa 23c 2.e 2 ，0b0)的焦距为 2c.以点 O 为圆心，a 为x2a2 y2b2半径作圆 M.若过点 P 作圆 M 的两条切线互相垂直，则该
12、(a2c，0) 椭圆的离心率为_答案 22解析 设切点为 Q、B，如图所示切线 QP、PB 互相垂直，又半径 OQ 垂直于 QP，所以OPQ 为等腰直角三角形，可得 a ，2a2ce .ca 2212在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 A(4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆 1 上，x225 y29则 _.sinA sinCsinB答案 54解析 1 的焦点是 A(4,0)、C (4,0)，点 B 在椭圆上，BABC2a10，x225 y29AC8，由正弦定理得 .sinA sinCsinB BC ABAC 5414若右顶点为 A 的椭圆 1(ab0) 上存在点 P(x
13、，y)，使得 0，则椭圆离心率的范围x2a2 y2b2 OP PA 是_答案 ，0b0）的左、右焦点，过 1F斜率为 1 的直线 l与 E 相交于 ,AB两点，且 2, AB, 2F成等差数列.（)求 E 的离心率；（）设点 P（0,-1）满足 P,求 E 的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出 2AF, B, 2满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】 （)由椭圆的定义知， 24a，又 2ABF得 43ABa，l的方程为 yxc，其中 2b京翰高考网：http:/ 12,AxyB，则 ,AB两点坐标满足方程组2cab化简得， 222()()0abxacb则 212cx，21()ab.因为直线 AB 斜率为 1，所以 22111()4ABxxx得 243ab，故 2ab,所以 E 的离心率 cabe.（）设 ,AB两点的中点为 0,Nxy，由（)知2120 3xc， 03cyx.由 P，可知 1Pk.即 0，得 3c，从而 ,ab.椭圆 E 的方程为289xy.
