1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 33 炼 向量的模长问题代数法一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过 可得： ，将模长问题转化为数量积问题，22cos0aa2a从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若 ，则 。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，,axy2axy则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值
2、问题二、典型例题例 1：在 中， 为 中点，若 ，则 _ABCO1,3,60ABCAO思路：题目条件有 ，进而1,3,60可求，且 可用 表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解： 为 中点 可得： OBC12AOBC2 214AA 3cos2代入可求出： 21=4AO1答案： 32例 2：若 均为单位向量，且 ，则 的最大值为（ ,abc0,0abcbabc）A. B. C. D. 1 22OB CA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将 平方，转化abc为数量积问题，再求最值。解： 200acbabc转化
3、为,111bca2222ccca3b1abc答案：B例 3：平面上的向量 满足 ，且 ，若,MAB24B0MAB，则 的最小值为_12CC思路：发现所给条件均与 相关，且 可以用 表示，所以考虑 进行,MC模长平方，然后转化为 的运算。从而求出最小值,AB解： 22 2211439MCMAB，代入可得：0AB24222116317499896Bmin7MC答案： 4例 4：已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则,232150的最小值是（ ）32ttRA. B. C. D. 4333高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -思路：题目所给条件围绕着 与 ，所以考虑所求向
4、量用这两个向量进行表示：2，从而模长平方变成数量积问题，可得：312tt，将 视为一个223134ttt12t整体，则可配方求出最小值解： 3122tttt2211112t t 23cos504t t221134tt23246tt答案：A小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是 ,例 5：已知平面向量 的夹角 ，且 ，若,OAB2,33OAB，则 的取值范围是_123PP思路：由 和夹角范围即可得到 的范围，从而可想到将 模长平方，3OP再利用 转变为关于 的问题，从而得到关于夹角 的函数，求得范OAB,OAB围。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高
5、考资源网- 4 -解：22 22114399OPABOABO54cos2,31,22,7OP3,7OP答案： 例 6：已知 ， ，则 的最小值是（ ）2,6,2abaRabA. B. C. D. 4323思路：由条件可得 ，所以考虑将 模长平方，从而6bab转化为数量积问题，代入 的值可得到关于 的二次函数，进而求出最小值,a解： 2ab2a2223614b361461minab答案：D例 7：已知直角梯形 中， ， 为腰 上ABCD,90,2,1BADCBC PD的动点，则 的最小值为_23P思路：所求 难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点 的纵坐B标与梯形的
6、高相关，可设高为 ， ，h0,Py，则 ，所2,01,ABh2,1Ah以 ， ，即37,5Py 2237357Bymin高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -答案： 7例 8：如图，在边长为 的正三角形 中， 分别是边 上的动点，且满足1ABC,EF,ABC，其中 ，,AEmBFn,0,1mnn分别是 的中点，则 的最小值为（ ）,MNCMNA. B. C. D. 2433453思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将进行表示，从而模长平方后 可写成关于 的表N2N,mn达式，再利用 即可消元。1mn解： 122MEBFEABC 1 12 2AFACnABC1
7、1nm22 244NBm1n222 21134416Mm34N答案：C例 9：已知 与 的夹角为 ， ， ，且 ， , OAB=2OA1BOPtA1QtOB（在 时取到最小值。当 时， 的取值范围是（ ）PQ0t 015tA. B. C. D. ,3,32,2320,3思路：本题含两个变量 ，且已知 范围求 的范围，所以考虑建立 和 的关系式，0,t0t0t，从而考虑模长平方，向 靠拢，可得：1PQOBOA ,OABNMAB CEF高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -，所以当 达到最小222154cos4cos1PQtOBtAtt 2PQ值时， ，由 可得 解得 ，即
8、0cos5401t5cos023解： 1PQOtBtOA222 21t tAOBt24cos4tt5s时， 取得最小值 01co4tPQ015t，所以不等式等价于：2s554cosco1102ss2,3答案：C例 10：已知 中， ，点 是线段 （含端点）上的一点，AB,2ACBMBC且 ，则 的范围是_1MM思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设，则 ，设 ，0,BbCc,ADBCcb,xy则由 可得 ，已知条件11xy，所求 模长平方后可得24AcM，所以问题转化为已知 求22Mxy 24cxby的最大值。考虑 ，22222xyxbcy高考资源网（
9、） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -，寻找两个式子的联系，有 ，所以22cxbyxbycx22xbcyx，即 ，从而 ，222c22214AMxy 12AM而另一方面：由 及 （ 符合直线 的方程）可得：1xbyxycBC，所以 （ 时取等号） ，所21c b 21xy0xy以综上可得： 1AM答案： 2三、历年好题精选（模长综合）1、点 是 的重心，若 ，则 的最小值为_GABC120,2ABCAG2、已知 是两个互相垂直的单位向量，且 ，则对任意的正实数 ，,ab 1,cabc t的最小值为_ct3、已知 是单位向量，且 ，若 满足 ，则 的范围是_,ab0abc1abc4、
10、在 中， ，如果不等式 恒成立，则实ABC1,23,6CBAtC数 的取值范围是_t5、设直角 的三个顶点都在单位圆 上，点 ，则21xy1(,)2M的最大值是（ ）| |MABCA B C D212312326、已知向量 满足 与 的夹角为 ， ，则,abc4,bab4()1cab的最大值为（ ）cA. B. C. D. 122121217、 （2016，上海五校联考）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点xOy:650Cxy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -在圆上，且 ，则 的取值范围是_,AB23OAB8、 （2015，湖南）已知点 在圆 上运动，且 ，若点 的坐
11、标为,C21xyABCP，则 的最大值为（ ）2,0PA. B. C. D. 67899、已知 为非零向量， ，若 ，当且仅当 时， 取,abmatbR1,2ab14tm到最小值，则向量 的夹角为_,10、 （2016，重庆万州二中）已知单位向量 满足 ，且 ，则,025cab的取值范围是（ ）2caA. B. C. D. 1,32,365,26,3511、 （2016，贵阳一中四月考）已知点 是 的重心，若 ， ，GABC10A2BC则 的最小值是（ ）AGA B C D 322334高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -习题答案：1、答案： 23解析： cos24A
12、BCAABC为 的重心，延长 交 于 ，则 是中线GGM21133MB2222214=9999ACACABAC228B84G3G2、答案：解析： ，代入已知条件可得：22112ctabctabtcabt2 22 1ttttttR1t2218,ctabtt1t3、答案： 2,解析：设 ，因为 是单位向量，且 ，所以 为模长是 的向mcab,0abab2量，由已知可得 ，所以数形结合可知： ，从而 的范围是1cmc21,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -4、答案： 1,2解析：由余弦定理可得： 22cos7ABCABCABAtCt222t9BCAB2227181860
13、310ttt5、答案：C解析：由题意， ，当且仅当 共22MABCAMOMOA， ，线同向时，取等号，即 取得最大值，最大值是 ，3216、答案：D解析：设 ；,OAaBbCc以 所 在 直 线 为 轴 ， 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，x 与 的夹角为 ，4,2,4则 ， 设0,y ()1cab2690xy，即 表 示 以 为 圆 心 ， 以 1 为 半 径 的 圆 ，23（ ） （ ） 3,1表 示 点 A， C 的 距 离 即 圆 上 的 点 与 点 的 距 离 ；ca 4,0A 圆 心 到 B 的 距 离 为 ，2)1()43(2 的 最 大 值 为 c7、
14、答案： 4,8高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -解析：设 ， 中点12,AxyBA0,Mxy201y2OABM由圆 可得： :650Cxy234xy3,0r221AB在以 为圆心，半径 的圆上MCr2,4OrOC即 248AB8、答案：B解析：由 可知 为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以 关于原点C ,AB对称，设 ，则 ，设 ，所以可得：,mn,n,Cxy，所以 ，22,2PABP 6,PCxy则 ，因为 在圆上，所以 ，代6Cxy2221xy入可得 ，故237149P 7AB9、答案： 3解析： ，设22 21matbtabtabt，因为 时， 取得最
15、小值，所以 的对称轴41ft4mft，所以 ，所以 夹角为28tabcos,2ab,ab2310、答案：D高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -解析：以 为基底建立直角坐标系，可知 ，设,ab 1,0,ab,cxy222215cxyxy即 到 的距离和为 ，,Cxy,0,ABAB在线段 上， 直线方程为20xy，即线段 上动点 到定点 的距离22caxy C2,D通过数形结合可得： min65DABcad max3cA所以 的取值范围是2ca65,311、答案：C解析： ，可知 ，设 为底边 上的中线，2cos2ABbA 4bcADBC由重心性质可得： 1133GDCB22 2 214999ABAACcb8bc214G3A
