2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明同步学案（打包5套）新人教B版选修1-2.zip

12.1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一 推理1．推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征．梳理 归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的.12可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，2(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 .13该推理属于什么推理？答案 类比推理．梳理 类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × )2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )类型一 归纳推理命 题 角 度 1 数 、 式 中 的 归 纳 推 理例 1 (1)观察下列等式：1－ ＝ ，12 121－ ＋ － ＝ ＋ ，12 13 14 13 141－ ＋ － ＋ － ＝ ＋ ＋ ，12 13 14 15 16 14 15 16…，据此规律，第 n(n∈N ＋ )个等式可为_____________________________________________．(2)已知 f(x)＝ ，设 f1(x)＝ f(x)， fn(x)＝ fn－1 (fn－1 (x))(n1，且 n∈N ＋ )，则 f3(x)的x1－ x表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N ＋ )的表达式为________．答案 (1)1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋12 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n(2)f3(x)＝ fn(x)＝x1－ 4x x1－ 2n－ 1x解析 (1)等式左边的特征：第 1 个有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，3故第 n(n∈N ＋ )个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 1－ ＋ － ＋…＋ － ；等式右12 13 14 12n－ 1 12n边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n(n∈N ＋ )个等式右边有 n项，且由前几个等式的规律不难发现，第 n(n∈N ＋ )个等式右边应为 ＋ ＋…＋ .1n＋ 1 1n＋ 2 12n(2)∵ f(x)＝ ，∴ f1(x)＝ .x1－ x x1－ x又∵ fn(x)＝ fn－1 (fn－1 (x))，∴ f2(x)＝ f1(f1(x))＝ ＝ ，x1－ x1－ x1－ x x1－ 2xf3(x)＝ f2(f2(x))＝ ＝ ，x1－ 2x1－ 2× x1－ 2x x1－ 4xf4(x)＝ f3(f3(x))＝ ＝ ，x1－ 4x1－ 4× x1－ 4x x1－ 8xf5(x)＝ f4(f4(x))＝ ＝ ，x1－ 8x1－ 8× x1－ 8x x1－ 16x∴根据前几项可以猜想 fn(x)＝ (n∈N ＋ )．x1－ 2n－ 1x引申探究 在本例(2)中，若把“ fn(x)＝ fn－1 (fn－1 (x))”改为“ fn(x)＝ f(fn－1 (x))”，其他条件不变，试猜想 fn(x) (n∈N ＋ )的表达式．解 ∵ f(x)＝ ，∴ f1(x)＝ .x1－ x x1－ x又∵ fn(x)＝ f(fn－1 (x))，∴ f2(x)＝ f(f1(x))＝ ＝ ，x1－ x1－ x1－ x x1－ 2xf3(x)＝ f(f2(x))＝ ＝ ，x1－ 2x1－ x1－ 2x x1－ 3x4f4(x)＝ f(f3(x))＝ ＝ .x1－ 3x1－ x1－ 3x x1－ 4x因此，可以猜想 fn(x)＝ (n∈N ＋ )．x1－ nx反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和；②根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式．跟踪训练 1 (1)已知 x1，由不等式 x＋ 2； x2＋ 3； x3＋ 4；…，可以推广为( )1x 2x 3xA． xn＋ n B． xn＋ n＋1nx nxC． xn＋ n＋1 D． xn＋ nn＋ 1x n＋ 1x(2)观察下列等式：－2 ＋ －2 ＝ ×1×2；(sin π 3) (sin 2π3) 43－2 ＋ －2 ＋ －2 ＋ －2 ＝ ×2×3；(sin π 5) (sin 2π5) (sin 3π5) (sin 4π5) 43－2 ＋ －2 ＋ －2 ＋…＋ －2 ＝ ×3×4；(sin π 7) (sin 2π7) (sin 3π7) (sin 6π7) 43－2 ＋ －2 ＋ －2 ＋…＋ －2 ＝ ×4×5；(sin π 9) (sin 2π9) (sin 3π9) (sin 8π9) 43…，照此规律，－2 ＋ －2 ＋ －2 ＋…＋ －2 ＝__________.(sin π2n＋ 1) (sin 2π2n＋ 1) (sin 3π2n＋ 1) (sin 2nπ2n＋ 1)答案 (1)B (2) ×n×(n＋1)43解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是 x， x2， x3，…，右边的数是 2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成 xn＋ n＋1 的形式，从而归纳出一般性结论：nx5xn＋ n＋1，故选 B.nx(2)观察等式右边的规律：第 1 个数都是 ，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n＋1.43命 题 角 度 2 几 何 中 的 归 纳 推 理例 2 如图，第 n 个图形是由正 n＋2 边形“扩展”而来( n＝1,2,3，…)，则第 n 个图形中顶点的个数为( )A．( n＋1)( n＋2) B．( n＋2)( n＋3)C． n2 D． n答案 B解析 由已知图形我们可以得到：当 n＝1 时，顶点共有 12＝3×4(个)，当 n＝2 时，顶点共有 20＝4×5(个)，当 n＝3 时，顶点共有 30＝5×6(个)，当 n＝4 时，顶点共有 42＝6×7(个)，…，则第 n 个图形共有顶点( n＋2)( n＋3)个，故选 B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练 2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5 n＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的块数为 6＋( n－1)×5＝5 n＋1.6类型二 类比推理例 3 如图所示，面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i＝1,2,3,4)，若 ＝ ＝ ＝ ＝ k，则a11 a22 a33 a44h1＋2 h2＋3 h3＋4 h4＝ ，2Sk类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i＝1,2,3,4)，若 ＝ ＝ ＝ ＝ K，则S11 S22 S33 S44H1＋2 H2＋3 H3＋4 H4等于多少？解 对平面凸四边形：S＝ a1h1＋ a2h2＋ a3h3＋ a4h412 12 12 12＝ (kh1＋2 kh2＋3 kh3＋4 kh4)12＝ (h1＋2 h2＋3 h3＋4 h4)，k2所以 h1＋2 h2＋3 h3＋4 h4＝ ；2Sk类比在三棱锥中，V＝ S1H1＋ S2H2＋ S3H3＋ S4H413 13 13 13＝ (KH1＋2 KH2＋3 KH3＋4 KH4)13＝ (H1＋2 H2＋3 H3＋4 H4)．K3故 H1＋2 H2＋3 H3＋4 H4＝ .3VK反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形的类比如下：7平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体跟踪训练 3 (1)若数列{ an}(n∈N ＋ )是等差数列，则有数列 bn＝ (n∈N ＋ )也a1＋ a2＋ …＋ ann是等差 数 列 ； 类 比 上 述 性 质 ， 相 应 地 ： 若 数 列 {cn}是 等 比 数 列 ， 且 cn0， 则 有 数 列dn＝ ___(n∈N ＋ )也是等比数列．答案 nc1c2c3…cn解析 数列{ an}(n∈N ＋ )是等差数列，则有数列 bn＝ (n∈N ＋ )也是等差数a1＋ a2＋ …＋ ann列．类比猜想：若数列{ cn}是各项均为正数的等比数列，则当 dn＝ 时，数列{ dn}也nc1c2c3…cn是等比数列．(2)如图所示，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a＝ b·cos C＋ c·cos B，其中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解 如图所示，在四面体 P－ ABC 中，设 S1， S2， S3， S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA，△ABC 的面积， α ， β ， γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S＝ S1·cos α ＋ S2·cos β ＋ S3·cos γ .1．有一串彩旗， 代表蓝色， 代表黄色．两种彩旗排成一行：…，那么在前 200 个彩旗中黄旗的个数为( )A．111 B．89 C．133 D．67答案 D解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为 9，每 9 个旗子中有 3 个黄旗．则 200÷9＝22 余 2，则 200 个旗子中黄旗的个数为 22×3＋1＝67.故选 D.2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A．三角形 B．梯形8C．平行四边形 D．矩形答案 C解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选 C.3．观察下列各式：1＝1 2,2＋3＋4＝3 2,3＋4＋5＋6＋7＝5 2,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7 2，…，可以得到的一般结论是( )A． n＋( n＋1)＋( n＋2)＋…＋(3 n－2)＝ n2B． n＋( n＋1)＋( n＋2)＋…＋(3 n－2)＝(2 n－1) 2C． n＋( n＋1)＋( n＋2)＋…＋(3 n－1)＝ n2D． n＋( n＋1)＋( n＋2)＋…＋(3 n－1)＝(2 n－1) 2答案 B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为 V1， V2，则 V1∶ V2＝ S1h1∶ S2h2＝ S1h1∶ S2h2＝1∶8.13 135.在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 α ， β ，cos 2α ＋cos 2β ＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．解 在长方形 ABCD 中，cos2α ＋cos 2β ＝ 2＋ 2＝ ＝ ＝1.(ac) (bc) a2＋ b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α ， β ， γ ，则cos2α ＋cos 2β ＋cos 2γ ＝1.证明如下：cos2α ＋cos 2β ＋cos 2γ ＝ 2＋ 2＋ 2(ml) (nl) (gl)9＝ ＝ ＝1.m2＋ n2＋ g2l2 l2l21．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A．若“ a·3＝ b·3，则 a＝ b”类比出“若 a·0＝ b·0，则 a＝ b”B． “若( a＋ b)c＝ ac＋ bc”类比出“( a·b)c＝ ac·bc”C． “若( a＋ b)c＝ ac＋ bc”类比出“ ＝ ＋ (c≠0)”a＋ bc ac bcD． “(ab)n＝ anbn”类比出“( a＋ b)n＝ an＋ bn”答案 C解析 显然 A，B，D 不正确，只有 C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B.C. D.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．103．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( )A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．4．根据给出的数塔猜测 123 456×9＋7 等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111.5．用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示．按照图中所示的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6 n－2 B．8 n－2C．6 n＋2 D．8 n＋2答案 C解析 从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n＋2.6．已知{ bn}为等比数列， b5＝2，则 b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝2 9.若{ an}为等差数列， a5＝2，则{ an}的类似结论为( )A． a1a2a3…a9＝2 9B． a1＋ a2＋ a3＋…＋ a9＝2 911C． a1a2a3…a9＝2×9D． a1＋ a2＋ a3＋…＋ a9＝2×9答案 D7．设△ ABC 的三边长分别为 a， b， c，△ ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则r＝ ，类比这个结论可知：四面体 A－ BCD 的四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，2Sa＋ b＋ c内切球半径为 R，四面体 A－ BCD 的体积为 V，则 R 等于( )A. B.VS1＋ S2＋ S3＋ S4 2VS1＋ S2＋ S3＋ S4C. D.3VS1＋ S2＋ S3＋ S4 4VS1＋ S2＋ S3＋ S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．则四面体的体积为 V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4)R，13∴ R＝ .3VS1＋ S2＋ S3＋ S48．已知 f(1)＝1， f(2)＝3， f(3)＝4， f(4)＝7， f(5)＝11，…，则 f(10)等于( )A．28 B．76 C．123 D．199答案 C解析 由题意可得 f(3)＝ f(1)＋ f(2)，f(4)＝ f(2)＋ f(3)， f(5)＝ f(3)＋ f(4)，则 f(6)＝ f(4)＋ f(5)＝18， f(7)＝ f(5)＋ f(6)＝29，f(8)＝ f(6)＋ f(7)＝47， f(9)＝ f(7)＋ f(8)＝76，f(10)＝ f(8)＋ f(9)＝123.二、填空题9．正整数按下表的规律排列，则上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为________________．考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用12答案 2 017×2 018解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加 1，根据题意，左起第 2 018 列的第一个数为 2 0172＋1，由连线规律可知，上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为 2 0172＋2 017＝2 017×2 018.10．经计算发现下列不等式：＋ 0，且 a≠1， f(x)＝ .1ax＋ a(1)求值： f(0)＋ f(1)， f(－1)＋ f(2)；13(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数 x 都成立的一个等式，并加以证明．解 (1) f(0)＋ f(1)＝ ＋ ＝ ＝ ，11＋ a 1a＋ a 1a aaf(－1)＋ f(2)＝ ＋ ＝ ＝ .1a－ 1＋ a 1a2＋ a 1a aa(2)由(1)归纳得对一切实数 x，有 f(x)＋ f(1－ x)＝ .aa证明： f(x)＋ f(1－ x)＝ ＋1ax＋ a 1a1－ x＋ a＝ ＋ ＝ ＝ ＝ .1ax＋ a axaa＋ ax a＋ axaa＋ ax 1a aa四、探究与拓展14．对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂” ，仿此，记 53的“分裂”中的最小数为 a,52的“分裂”中的最大数是 b，则 a＋ b＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 30解析 观察题图易得∴ a＝21， b＝9，∴ a＋ b＝30.15．如图(1)，在平面内有面积关系 ＝ · ，写出图(2)中类似的体积关S△ PA′ B′S△ PAB PA′PA PB′PB系，并证明你的结论．解 类比 ＝ · ，S△ PA′ B′S△ PAB PA′PA PB′PB14有 ＝ · ·VP—A′ B′ C′VP—ABC PA′PA PB′PB PC′PC证明如下：如图(2)，设 C′， C 到平面 PAB 的距离分别为 h′， h.则 ＝ ，h′h PC′PC故 ＝VP—A′ B′ C′VP—ABC13·S△ PA′ B′ ·h′13S△ PAB·h＝ ＝ .PA′ ·PB′ ·h′PA·PB·h PA′ ·PB′ ·PC′PA·PB·PC12.1.2 演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．知识点一 演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被 2 整除，(2 100＋1)是奇数，所以(2 100＋1)不能被 2 整除．答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论．梳理 演绎推理的含义(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．知识点二 演绎推理规则思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段．大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电．梳理 演绎推理的规则一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 所以， S 是 P1．演绎推理的结论一定正确．( × )2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．( √ )23．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．( √ )类型一 三种演绎推理的形式例 1 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程．(1)函数 y＝sin x(x∈R)是周期函数；(2)当 k1 时， － － ；k k－ 1 k＋ 1 k(3)若 n∈Z，求证 n2－ n 为偶数．解 (1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提∴ y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论(2)传递性关系推理：当 k1 时， －k k－ 1＝ ＝ － .1k＋ k－ 1 12k 1k＋ k＋ 1 k＋ 1 k(3)完全归纳推理：∵ n2－ n＝ n(n－1)，∴当 n 为偶数时， n2－ n 为偶数，当 n 为奇数时， n－1 为偶数， n2－ n 为偶数，∴当 n∈Z 时， n2－ n 为偶数．反思与感悟 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理．跟踪训练 1 选择合适的推理规则写出下列推理过程．(1)75 是奇数；(2)平面 α ， β ，已知直线 l∥ α ， l∥ β ， α ∩ β ＝ m，则 l∥ m.解 (1)三段论推理：一切奇数都不能被 2 整除．大前提75 不能被 2 整除．小前提75 是奇数．结论(2)传递性关系推理：如图，在平面 α 内任取一点 P(P∉m)，∵ l∥ α ，∴ P∉l，则 l 与点 P 确定一平面与 α 相交，设交线为 a，则 a∥ l，同理，在 β 内任取一点Q(Q∉m)， l 与点 Q 确定一平面与 β 交于 b，则 l∥ b，从而 a∥ b.3由 P∈ a， P∉m，∴ a⊄β ，而 b⊂β ，∴ a∥ β .又 a⊂α ， α ∩ β ＝ m，∴ a∥ m，∴ l∥ m.类型二 三段论的应用命 题 角 度 1 用 三 段 论 证 明 几 何 问 题例 2 如图， D， E， F 分别是 BC， CA， AB 上的点，∠ BFD＝∠ A， DE∥ BA，求证： ED＝ AF，写出三段论形式的演绎推理．证明 因为同位角相等，两直线平行，大前提∠ BFD 与∠ A 是同位角，且∠ BFD＝∠ A，小前提所以 FD∥ AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥ BA，且 FD∥ AE，小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，小前提所以 ED＝ AF.结论反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式×××××× 大前提×××××× 小前提×××××× 结论(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路．②找出每一个结论得出的原因．③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，如图所示，求证： EF∥平面 BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，小前提4所以 EF∥ BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面 BCD， BD⊂平面 BCD， EF∥ BD，小前提所以 EF∥平面 BCD.结论命 题 角 度 2 用 三 段 论 解 决 代 数 问 题例 3 设函数 f(x)＝ ，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范exx2＋ ax＋ a围．解 若函数的定义域为 R，则函数对任意实数恒有意义，大前提因为 f(x)的定义域为 R，小前提所以 x2＋ ax＋ a≠0 恒成立，结论所以 Δ ＝ a2－4 a0.∴在(－∞，0)和(2－ a，＋∞)上， f′( x)0.∴ f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－ a，＋∞)．当 a＝2 时， f′( x)≥0 恒成立，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当 20，∴ f(x)的单调增区间为(－∞，2－ a)，(0，＋∞)．综上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函x－ 2x＋ 1数．5证明 f(x)＝ ax＋ ＝ ax＋1－ .x＋ 1－ 3x＋ 1 3x＋ 1所以 f′( x)＝ axln a＋ .3x＋ 12因为 x－1，所以( x＋1) 20，所以 0.3x＋ 12又 a1，所以 ln a0， ax0，所以 axln a0，所以 f′( x)0.于是， f(x)＝ ax＋ 在(－1，＋∞)上是增函数.x－ 2x＋ 11．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠ A 与∠ B 是两条平行直线的同旁内角，则∠ A＋∠ B＝180°B．某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D．在数列{ an}中， a1＝1， an＝ (n≥2)，由此归纳出{ an}的通项公式12(an－ 1＋ 1an－ 1)答案 A解析 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理．2．指数函数 y＝ ax(a1)是 R 上的增函数， y＝2 |x|是指数函数，所以 y＝2 |x|是 R 上的增函数．以上推理( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结论错误答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数 y＝2 |x|不是指数函数，所以小前提错误，故选 B.3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的” ，其中的“小前提”是( )A．① B．② C．①② D．③答案 D4．把“函数 y＝ x2＋ x＋1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________；6小前提：______________________________________；结论：__________________________________________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y＝ x2＋ x＋1 是二次函数 函数 y＝ x2＋ x＋1 的图象是一条抛物线5．设 m 为实数，利用三段论证明方程 x2－2 mx＋ m－1＝0 有两个相异实根．证明 因为如果一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)的判别式 Δ ＝ b2－4 ac0，那么方程有两个相异实根，大前提方程 x2－2 mx＋ m－1＝0 的判别式Δ ＝(－2 m)2－4( m－1)＝4 m2－4 m＋4＝(2 m－1) 2＋30，小前提所以方程 x2－2 mx＋ m－1＝0 有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1． 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足． ”上述推理用的是( )A．类比推理 B．归纳推理C．演绎推理 D．一次三段论答案 C2．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．7A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案 D解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论” ，但推理形式错误D．使用了“三段论” ，但小前提错误答案 C解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4． “所有 9 的倍数( M)都是 3 的倍数( P)，某奇数( S)是 9 的倍数( M)，故某奇数( S)是 3 的倍数( P)． ”上述推理是( )A．小前提错 B．结论错C．正确的 D．大前提错答案 C解析 由三段论推理概念知推理正确．5．在证明 f(x)＝2 x＋1 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数 f(x)＝2 x＋1 满足增函数的定义是大前提；④函数 f(x)＝2 x＋1 满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A．①④ B．②④C．①③ D．②③考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 A解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是 f(x)＝2 x＋1 满足增函数的定义；结论是 f(x)＝2 x＋1 为增函数，故①④正确．6．下面几种推理中是演绎推理的是( )A．因为 y＝2 x是指数函数，所以函数 y＝2 x经过定点(0,1)8B．猜想数列 ， ， ，…的通项公式为 an＝ (n∈N ＋ )11×2 12×3 13×4 1nn＋ 1C．由圆 x2＋ y2＝ r2的面积为 π r2，猜想出椭圆 ＋ ＝1 的面积为 π abx2a2 y2b2D．由平面直角坐标系中圆的方程为( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为( x－ a)2＋( y－ b)2＋( z－ c)2＝ r2答案 A7．自主招生联盟成形于 2009 年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟， “华约”联盟， “卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时，得到如下结果：a．报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟；b．报考“华约”联盟的学生也报考了“京派”联盟；c．报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；d．不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约”联盟．根据上述调查结果，下列结论错误的是( )A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的学生一样多C．报考“北约”联盟的学生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派”联盟的学生也报考了“北约”联盟答案 D解析 令集合 U 表示调查的全体学生．集合 E 表示报考“北约”联盟的学生，集合 F 表示报考“华约”联盟的学生，集合 G 表示报考“京派”联盟的学生，集合 H 表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得 Error!A 中， F∩ H＝∅，结论正确；B 中， F＝ G，结论正确；C 中，E⊆H，结论正确．8．在 R 上定义运算⊗： x⊗y＝ x(1－ y)．若不等式( x－ a)⊗(x＋ a)0 对任意实数 x 都成立，则 Δ ＝1－4(－ a2＋ a＋1)0 且 a≠1)．ax＋ a－ x2 ax－ a－ x2(1)5＝2＋3，请你推测 g(5)能否用 f(2)， f(3)， g(2)， g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．11解 (1)由题知， f(3)g(2)＋ g(3)f(2)＝ × ＋ × ＝ .a3＋ a－ 32 a2－ a－ 22 a3－ a－ 32 a2＋ a－ 22 a5－ a－ 52又 g(5)＝ ，a5－ a－ 52因此， g(5)＝ f(3)g(2)＋ g(3)f(2)．(2)由 g(5)＝ f(3)g(2)＋ g(3)f(2)，即 g(2＋3)＝ f(3)g(2)＋ g(3)f(2)，推测 g(x＋ y)＝ f(x)g(y)＋ g(x)f(y)．证明：因为 f(x)＝ ， g(x)＝ ，大前提ax＋ a－ x2 ax－ a－ x2所以 g(x＋ y)＝ ，ax＋ y－ a－ x＋ y2g(y)＝ ， f(y)＝ ，小前提及结论ay－ a－ y2 ay＋ a－ y2所以 f(x)g(y)＋ g(x)f(y)＝ × ＋ ×ax＋ a－ x2 ay－ a－ y2 ax－ a－ x2 ay＋ a－ y2＝ ＝ g(x＋ y)．ax＋ y－ a－ x＋ y212.2.1 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．知识点二 综合法阅读下列证明过程，已知实数 x， y 满足 x＋ y＝1，求证：2 x＋2 y≥2 .2证明：因为 x＋ y＝1，所以 2x＋2 y≥2 ＝2 ＝2 ，当且仅当 x＝ y＝ 时，等号2x·2y 2x＋ y 212成立．故 2x＋2 y≥2 成立．2思考 该题的证明顺序是什么？答案 从已知利用基本不等式到待证结论．梳理 综合法(1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)逻辑关系： P0(已知)⇒ P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒Q(结论)．(3)特点：从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知 a， b0，求证 ≥ .a＋ b2 ab证明：要证 ≥ ，a＋ b2 ab只需证 a＋ b≥2 ，ab只需证 a＋ b－2 ≥0，ab2只需证( － )2≥0，a b因为( － )2≥0 显然成立，所以原不等式成立．a b答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件．梳理 分析法(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(2)逻辑关系： B(结论)⇐ B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．(3)特点：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．(4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立．1．综合法是执果索因的逆推证法．( × )2．分析法就是从结论推向已知．( × )3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例 1 在△ ABC 中，三个内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列，a， b， c 成等比数列，求证：△ ABC 为等边三角形．证明 在△ ABC 中， A＋ B＋ C＝π，由 A， B， C 成等差数列，得 2B＝ A＋ C，因此， B＝ ，π 3由 a， b， c 成等比数列，得 b2＝ ac.又∵ b2＝ a2＋ c2－2 accos B＝ a2＋ c2－ ac，∴ a2＋ c2－ ac＝ ac，即( a－ c)2＝0，因此 a＝ c.故△ ABC 是等边三角形．反思与感悟 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论．其适用范围为(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法3证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．跟踪训练 1 已知 a， b， c 为不全相等的正实数．求证： ＋ ＋ 3.b＋ c－ aa c＋ a－ bb a＋ b－ cc证明 因为 ＋ ＋b＋ c－ aa c＋ a－ bb a＋ b－ cc＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ －3，ba ab cb bc ac ca又 a， b， c 为不全相等的正实数，而 ＋ ≥2， ＋ ≥2， ＋ ≥2，ba ab cb bc ac ca且上述三式等号不能同时成立，所以 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ －36－3＝3，ba ab cb bc ac ca即 ＋ ＋ 3.b＋ c－ aa c＋ a－ bb a＋ b－ cc类型二 分析法的应用例 2 设 a， b 为实数，求证： ≥ (a＋ b)．a2＋ b222证明 当 a＋ b≤0 时，因为 ≥0，a2＋ b2所以 ≥ (a＋ b)成立．a2＋ b222当 a＋ b0 时，用分析法证明如下：要证 ≥ (a＋ b)，a2＋ b222只需证( )2≥ 2，a2＋ b2 [22a＋ b]即证 a2＋ b2≥ (a2＋ b2＋2 ab)，12即证 a2＋ b2≥2 ab.由于 a2＋ b2≥2 ab 对一切实数恒成立，所以 ≥ (a＋ b)．a2＋ b222综上，对任意实数 a， b， ≥ (a＋ b)．a2＋ b222反思与感悟 (1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证” “只需证” “即证”这些词语必不可少，否则会出现错误．(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．4跟踪训练 2 求证： － abc.a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2由公式知 ≥ 0， ≥ 0， ≥ 0.a＋ b2 ab b＋ c2 bc a＋ c2 ac因为 a， b， c 不全相等，上面三式相乘，得· · ＝ abc，a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2 a2b2c2即 · · abc 成立．a＋ b2 b＋ c2 a＋ c2所以 logx ＋log x ＋log x 0)．12 12证明 要证 12log(a＋ b)≥ 12l(a2＋1)＋ 12l(b2＋1)成立，12 12只需证 2 (a＋ b)≥ (a2＋1)＋ og(b2＋1)，只需证 12l(a＋ b)2≥ 1l(a2＋1)( b2＋1)( a＋ b0)．5由于函数 y＝ 12logx 在(0，＋∞)内是减函数，所以只需证( a＋ b)2≤( a2＋1)( b2＋1)，即证 a2＋2 ab＋ b2≤ a2b2＋ a2＋ b2＋1，即证 a2b2－2 ab＋1≥0，即证( ab－1) 2≥0，上式显然成立，所以原不等式成立．反思与感悟 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．跟踪训练 3 设实数 a， b， c 成等比数列，非零实数 x， y 分别为 a 与 b， b 与 c 的等差中项，求证： ＋ ＝2.ax cy证明 由已知条件得b2＝ ac，①2x＝ a＋ b,2y＝ b＋ c.②要证 ＋ ＝2，只要证 ay＋ cx＝2 xy，ax cy只要证 2ay＋2 cx＝4 xy.由①②得 2ay＋2 cx＝ a(b＋ c)＋ c(a＋ b)＝ ab＋2 ac＋ bc，4xy＝( a＋ b)(b＋ c)＝ ab＋ b2＋ ac＋ bc＝ ab＋2 ac＋ bc，所以 2ay＋2 cx＝4 xy.命题得证.1．若 ab0，则下列不等式中不正确的是( )A． a2ab B． abb2C. D． a2b21a1b答案 C解析 若 ab0，则 b0 时，才有 a2b2，只需证 ＋ 2 ＝ a，x 2x∵ －( x＋1)＝ ＝ 0，∴ cba.11－ x 1－ 1－ x21－ x x21－ x4．要证明 ＋ 1， x＋ y≥0，则( )A． x0， y0 B． x0， y0答案 A解析 Error! ⇒Error!2．在非等边三角形 ABC 中， A 为钝角，则三边 a， b， c 满足的条件是( )A． b2＋ c2≥ a2 B． b2＋ c2a2C． b2＋ c2≤ a2 D． b2＋ c24ab， aba2＋ b22 a2＋ b24 a2＋ b24＋ ＝ ＝1，故 B 正确．a2＋ b24 2ab4 a＋ b245．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设 abc，且 a＋ b＋ c＝0，求证：0 B． a－ c0C．( a－ b)(a－ c)0 D．( a－ b)(a－ c)0，即证( a－ c)(a－ b)0.6．若 A， B 为△ ABC 的内角，则 AB 是 sin Asin B 的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理知 ＝ ＝2 R(R 为△ ABC 的外接圆半径)，又 A， B 为三角形的内角，asin A bsin B∴sin A0，sin B0，∴sin Asin B⇔2Rsin A2Rsin B⇔ab⇔AB.7．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)单调递减．若 x1＋ x20，则 f(x1)＋ f(x2)的值( )A．恒为负 B．恒等于零C．恒为正 D．无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题9答案 A解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时， f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的减函数．由 x1＋ x20，可知 x1－ x2，所以 f(x1)0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 综合法9．设 a＝ － ， b＝ － ， c＝ － ，则 a， b， c 的大小顺序是________．3 2 6 5 7 6答案 abc解析 ∵ a＝ ， b＝ ， c＝ ，∴ abc.13＋ 2 16＋ 5 17＋ 610.如图所示， SA⊥平面 ABC， AB⊥ BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证： AF⊥ SC.证明：要证 AF⊥ SC，只需证 SC⊥平面 AEF，只需证 AE⊥ SC(因为____________)，只需证____________，只需证 AE⊥ BC(因为____________)，只需证 BC⊥平面 SAB，只需证BC⊥ SA(因为______________)．由 SA⊥平面 ABC 可知，上式成立．答案 EF⊥ SC AE⊥平面 SBC AE⊥ SB AB⊥ BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明 BC⊥平面 SAB，可得 AE⊥ BC，进而 AE⊥平面 SBC， SC⊥平面 AEF，问题得证．1011．设 a0， b0，则下面两式的大小关系为 ln(1＋ )________ [lg(1＋ a)＋lg(1＋ b)]ab12．答案 ≤解析 ∵(1＋ )2－(1＋ a)(1＋ b)＝2 －( a＋ b)≤0，ab ab∴(1＋ )2≤(1＋ a)(1＋ b)，ab则 lg(1＋ )2≤lg(1＋ a)(1＋ b)，ab即 lg(1＋ )≤ [lg(1＋ a)＋lg(1＋ b)]．ab12三、解答题12．如果 a， b 都是正数，且 a≠ b，求证： ＋ ＋ .ab ba a b证明 方法一 (综合法)＋ － － ＝ab ba a b aa＋ bb－ ab－ baab＝ ＝ 0，a－ ba－ bab a－ b2a＋ bab故 ＋ ＋ .ab ba a b方法二 (分析法)要证 ＋ ＋ ，ab ba a b只需证 ＋ ＋2 a＋ b＋2 ，a2b b2a ab ab即证 a3＋ b3a2b＋ ab2，只需证( a＋ b)(a2－ ab＋ b2)ab(a＋ b)，即需证 a2－ ab＋ b2ab，只需证( a－ b)20，因为 a≠ b，所以( a－ b)20 恒成立，所以 ＋ ＋ 成立．ab ba a b13．在△ ABC 中，三边 a， b， c 成等比数列，求证： acos2 ＋ ccos2 ≥ b.C A 32证明 ∵左边＝ ＋a1＋ cos C2 c1＋ cos A2＝ (a＋ c)＋ (acos C＋ ccos A)12 12＝ (a＋ c)＋12 12(a·a2＋ b2－ c22ab ＋ c·b2＋ c2－ a22bc )11＝ (a＋ c)＋ b≥ ＋ ＝ b＋ ＝ b＝右边，12 12 ac b2 b2 32∴ acos2 ＋ ccos2 ≥ b.C A 32四、探究与拓展14．如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1－ ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件________时，有 A1C⊥ B1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证 A1C⊥ B1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1⊥ CC1，故只需证 B1D1⊥ A1C1即可．15．某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：① ＋ 1.41，∴2 2.82，∴ ＋ 2 .2 2 1 3 2(2)一般结论为：若 n∈N ＋ ，则 ＋ 2 .n n＋ 2 n＋ 1证明如下：要证 ＋ 2 ，n n＋ 2 n＋ 1只需证( ＋ )2(2 )2，n n＋ 2 n＋ 1即证 2n＋2＋2 4n＋4，nn＋ 212也就是证 n＋1，nn＋ 2只需证 n(n＋2) n2＋2 n＋1，即证 01，显然成立，故 ＋ 2 (n∈N ＋ )．n n＋ 2 n＋ 1