1、12.1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用知识点一 推理1推理的概念与分类(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论(3)推理一般分为合情推理与演绎推理2合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理常用的合情推理有归纳推理和类比推理知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于
2、什么推理？答案 属于归纳推理符合归纳推理的定义特征梳理 归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程(2)归纳推理的一般步骤通过观察个别情况发现某些相同性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：三角形的两边之和大于第三边，三角形面积等于高与底乘积的.12可推测出四面体具有如下性质：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，2(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 .13该推理属于什么推理？答案 类比推理梳理 类比推理(1)定
3、义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)(2)类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)1类比推理得到的结论可作为定理应用( )2由个别到一般的推理为归纳推理( )3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )类型一 归纳推理命 题 角 度 1 数 、 式 中 的 归 纳 推 理例 1 (1)观察下列等式：1 ，12 121 ，12 13 14 13 141 ，12 13 14 15 16 14 15
4、16，据此规律，第 n(nN )个等式可为_(2)已知 f(x) ，设 f1(x) f(x)， fn(x) fn1 (fn1 (x)(n1，且 nN )，则 f3(x)的x1 x表达式为_，猜想 fn(x)(nN )的表达式为_答案 (1)1 12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n(2)f3(x) fn(x)x1 4x x1 2n 1x解析 (1)等式左边的特征：第 1 个有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，3故第 n(nN )个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 1 ；等式右12 13 14 12n 1 12n边的特征：第 1 个有
5、 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n(nN )个等式右边有 n项，且由前几个等式的规律不难发现，第 n(nN )个等式右边应为 .1n 1 1n 2 12n(2) f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) fn1 (fn1 (x)， f2(x) f1(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f2(f2(x) ，x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x) f3(f3(x) ，x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x) f4(f4(x) ，x1 8x1 8 x1 8x x1 16x根据前几项可以猜想 fn(x) (nN
6、 )x1 2n 1x引申探究 在本例(2)中，若把“ fn(x) fn1 (fn1 (x)”改为“ fn(x) f(fn1 (x)”，其他条件不变，试猜想 fn(x) (nN )的表达式解 f(x) ， f1(x) .x1 x x1 x又 fn(x) f(fn1 (x)， f2(x) f(f1(x) ，x1 x1 x1 x x1 2xf3(x) f(f2(x) ，x1 2x1 x1 2x x1 3x4f4(x) f(f3(x) .x1 3x1 x1 3x x1 4x因此，可以猜想 fn(x) (nN )x1 nx反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等
7、式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和；根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式跟踪训练 1 (1)已知 x1，由不等式 x 2； x2 3； x3 4；，可以推广为( )1x 2x 3xA xn n B xn n1nx nxC xn n1 D xn nn 1x n 1x(2)观察下列等式：2 2
8、12；(sin 3) (sin 23) 432 2 2 2 23；(sin 5) (sin 25) (sin 35) (sin 45) 432 2 2 2 34；(sin 7) (sin 27) (sin 37) (sin 67) 432 2 2 2 45；(sin 9) (sin 29) (sin 39) (sin 89) 43，照此规律，2 2 2 2 _.(sin 2n 1) (sin 22n 1) (sin 32n 1) (sin 2n2n 1)答案 (1)B (2) n(n1)43解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是 x， x2， x3，右边的数是 2,3,4，利用此规律观察所
9、给不等式，都是写成 xn n1 的形式，从而归纳出一般性结论：nx5xn n1，故选 B.nx(2)观察等式右边的规律：第 1 个数都是 ，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n1.43命 题 角 度 2 几 何 中 的 归 纳 推 理例 2 如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来( n1,2,3，)，则第 n 个图形中顶点的个数为( )A( n1)( n2) B( n2)( n3)C n2 D n答案 B解析 由已知图形我们可以得到：当 n1 时，顶点共有 1234(个)，当 n2 时，顶点共有 2045(个)，当 n3 时，顶点共有 3056(个)，当 n4 时，顶点共有
10、 4267(个)，则第 n 个图形共有顶点( n2)( n3)个，故选 B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练 2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是_答案 5 n1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的块数为 6( n1)55 n1.6类型二 类比推理例 3 如图所示，面积为 S 的平
11、面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i1,2,3,4)，若 k，则a11 a22 a33 a44h12 h23 h34 h4 ，2Sk类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i1,2,3,4)，若 K，则S11 S22 S33 S44H12 H23 H34 H4等于多少？解 对平面凸四边形：S a1h1 a2h2 a3h3 a4h412 12 12 12 (kh12 kh23 kh34 kh4)12 (h12 h23
12、 h34 h4)，k2所以 h12 h23 h34 h4 ；2Sk类比在三棱锥中，V S1H1 S2H2 S3H3 S4H413 13 13 13 (KH12 KH23 KH34 KH4)13 (H12 H23 H34 H4)K3故 H12 H23 H34 H4 .3VK反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形的类比如下：7平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体跟踪训练 3 (1)若数列 an(
13、nN )是等差数列，则有数列 bn (nN )也a1 a2 ann是等差 数 列 ； 类 比 上 述 性 质 ， 相 应 地 ： 若 数 列 cn是 等 比 数 列 ， 且 cn0， 则 有 数 列dn _(nN )也是等比数列答案 nc1c2c3cn解析 数列 an(nN )是等差数列，则有数列 bn (nN )也是等差数a1 a2 ann列类比猜想：若数列 cn是各项均为正数的等比数列，则当 dn 时，数列 dn也nc1c2c3cn是等比数列(2)如图所示，在 ABC 中，射影定理可表示为 a bcos C ccos B，其中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边类比上述定理，
14、写出对空间四面体性质的猜想解 如图所示，在四面体 P ABC 中，设 S1， S2， S3， S 分别表示 PAB， PBC， PCA，ABC 的面积， ， ， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos .1有一串彩旗， 代表蓝色， 代表黄色两种彩旗排成一行：，那么在前 200 个彩旗中黄旗的个数为( )A111 B89 C133 D67答案 D解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为 9，每 9 个旗子中有 3 个黄旗则 200922 余 2，则 2
15、00 个旗子中黄旗的个数为 223167.故选 D.2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A三角形 B梯形8C平行四边形 D矩形答案 C解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选 C.3观察下列各式：11 2,2343 2,345675 2,456789107 2，可以得到的一般结论是( )A n( n1)( n2)(3 n2) n2B n( n1)( n2)(3 n2)(2 n1) 2C n( n1)( n2)(3 n1) n2D n( n1)( n2)(3 n1)(2 n1) 2答案 B4在平面上，若两个正三角形的边长的比
16、为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_答案 18解析 设两个正四面体的体积分别为 V1， V2，则 V1 V2 S1h1 S2h2 S1h1 S2h218.13 135.在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 ， ，cos 2 cos 2 1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明解 在长方形 ABCD 中，cos2 cos 2 2 2 1.(ac) (bc) a2 b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 ， ， ，则cos2 cos 2 cos 2 1.证明如下：c
17、os2 cos 2 cos 2 2 2 2(ml) (nl) (gl)9 1.m2 n2 g2l2 l2l21用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明2进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误3多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面一、选择题1下面使用类
18、比推理，得出的结论正确的是( )A若“ a3 b3，则 a b”类比出“若 a0 b0，则 a b”B “若( a b)c ac bc”类比出“( ab)c acbc”C “若( a b)c ac bc”类比出“ (c0)”a bc ac bcD “(ab)n anbn”类比出“( a b)n an bn”答案 C解析 显然 A，B，D 不正确，只有 C 正确2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B.C. D.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果
19、103平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( )A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比4根据给出的数塔猜测 123 45697 等于( )192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111.5用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示
20、按照图中所示的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A6 n2 B8 n2C6 n2 D8 n2答案 C解析 从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.6已知 bn为等比数列， b52，则 b1b2b3b4b5b6b7b8b92 9.若 an为等差数列， a52，则 an的类似结论为( )A a1a2a3a92 9B a1 a2 a3 a92 911C a1a2a3a929D a1 a2 a3 a929答案 D7设 ABC 的三边长分别为 a， b，
21、 c， ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则r ，类比这个结论可知：四面体 A BCD 的四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，2Sa b c内切球半径为 R，四面体 A BCD 的体积为 V，则 R 等于( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V (S1 S2 S3 S4)R，13 R .3VS1 S2 S3
22、S48已知 f(1)1， f(2)3， f(3)4， f(4)7， f(5)11，则 f(10)等于( )A28 B76 C123 D199答案 C解析 由题意可得 f(3) f(1) f(2)，f(4) f(2) f(3)， f(5) f(3) f(4)，则 f(6) f(4) f(5)18， f(7) f(5) f(6)29，f(8) f(6) f(7)47， f(9) f(7) f(8)76，f(10) f(8) f(9)123.二、填空题9正整数按下表的规律排列，则上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为_考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用12答案 2
23、 0172 018解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加 1，根据题意，左起第 2 018 列的第一个数为 2 01721，由连线规律可知，上起第 2 017 行，左起第 2 018 列的数应为 2 01722 0172 0172 018.10经计算发现下列不等式： 0，且 a1， f(x) .1ax a(1)求值： f(0) f(1)， f(1) f(2)；13(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数 x 都成立的一个等式，并加以证明解 (1) f(0) f(1) ，11 a 1a a 1a aaf(1) f(2) .1a 1 a
24、1a2 a 1a aa(2)由(1)归纳得对一切实数 x，有 f(x) f(1 x) .aa证明： f(x) f(1 x) 1ax a 1a1 x a .1ax a axaa ax a axaa ax 1a aa四、探究与拓展14对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂” ，仿此，记 53的“分裂”中的最小数为 a,52的“分裂”中的最大数是 b，则 a b_.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 30解析 观察题图易得 a21， b9， a b30.15如图(1)，在平面内有面积关系 ，写出图(2)中类似的体积关S PA BS PAB PAP
25、A PBPB系，并证明你的结论解 类比 ，S PA BS PAB PAPA PBPB14有 VPA B CVPABC PAPA PBPB PCPC证明如下：如图(2)，设 C， C 到平面 PAB 的距离分别为 h， h.则 ，hh PCPC故 VPA B CVPABC13S PA B h13S PABh .PA PB hPAPBh PA PB PCPAPBPC12.1.2 演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理知识点一 演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一
26、切奇数都不能被 2 整除，(2 1001)是奇数，所以(2 1001)不能被 2 整除答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论梳理 演绎推理的含义(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理(2)特征：当前提为真时，结论必然为真知识点二 演绎推理规则思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电梳理 演绎推理的规则一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理
27、，对特殊情况做出的判断 所以， S 是 P1演绎推理的结论一定正确( )2在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断( )23大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的( )类型一 三种演绎推理的形式例 1 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程(1)函数 ysin x(xR)是周期函数；(2)当 k1 时， ；k k 1 k 1 k(3)若 nZ，求证 n2 n 为偶数解 (1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提ysin x(xR)是三角函数，小前提 ysin x(xR)是周期函数结论(2)传递性关系推
28、理：当 k1 时， k k 1 .1k k 1 12k 1k k 1 k 1 k(3)完全归纳推理： n2 n n(n1)，当 n 为偶数时， n2 n 为偶数，当 n 为奇数时， n1 为偶数， n2 n 为偶数，当 nZ 时， n2 n 为偶数反思与感悟 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理跟踪训练 1 选择合适的推理规则写出下列推理过程(1)75 是奇数；(2)平面 ， ，已知直线 l ， l ， m
29、，则 l m.解 (1)三段论推理：一切奇数都不能被 2 整除大前提75 不能被 2 整除小前提75 是奇数结论(2)传递性关系推理：如图，在平面 内任取一点 P(Pm)， l ， Pl，则 l 与点 P 确定一平面与 相交，设交线为 a，则 a l，同理，在 内任取一点Q(Qm)， l 与点 Q 确定一平面与 交于 b，则 l b，从而 a b.3由 P a， Pm， a ，而 b ， a .又 a ， m， a m， l m.类型二 三段论的应用命 题 角 度 1 用 三 段 论 证 明 几 何 问 题例 2 如图， D， E， F 分别是 BC， CA， AB 上的点， BFD A， D
30、E BA，求证： ED AF，写出三段论形式的演绎推理证明 因为同位角相等，两直线平行，大前提 BFD 与 A 是同位角，且 BFD A，小前提所以 FD AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE BA，且 FD AE，小前提所以四边形 AFDE 为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，小前提所以 ED AF.结论反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式 大前提 小前提 结论(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路找出每一个结论得出的原因把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练 2 已知：在
31、空间四边形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，如图所示，求证： EF平面 BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提点 E， F 分别是 AB， AD 的中点，小前提4所以 EF BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面 BCD， BD平面 BCD， EF BD，小前提所以 EF平面 BCD.结论命 题 角 度 2 用 三 段 论 解 决 代 数 问 题例 3 设函数 f(x) ，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范exx2 ax a围解 若函数的定义域为 R，则函数对任意实数恒有意义，大前
32、提因为 f(x)的定义域为 R，小前提所以 x2 ax a0 恒成立，结论所以 a24 a0.在(，0)和(2 a，)上， f( x)0. f(x)的单调增区间为(，0)，(2 a，)当 a2 时， f( x)0 恒成立， f(x)的单调增区间为(，)当 20， f(x)的单调增区间为(，2 a)，(0，)综上所述，当 01)，证明：函数 f(x)在(1，)上为增函x 2x 1数5证明 f(x) ax ax1 .x 1 3x 1 3x 1所以 f( x) axln a .3x 12因为 x1，所以( x1) 20，所以 0.3x 12又 a1，所以 ln a0， ax0，所以 axln a0，
33、所以 f( x)0.于是， f(x) ax 在(1，)上是增函数.x 2x 11下面几种推理过程是演绎推理的是( )A两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，则 A B180B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D在数列 an中， a11， an (n2)，由此归纳出 an的通项公式12(an 1 1an 1)答案 A解析 A 是演绎推理，B，D 是归纳推理，C 是类比推理2指数函数 y ax(a1)是 R 上的增函数， y2 |x|是指数函数，所以 y
34、2 |x|是 R 上的增函数以上推理( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D正确考点 “三段论”及其应用题点 小前提或推理形式错误导致结论错误答案 B解析 此推理形式正确，但是，函数 y2 |x|不是指数函数，所以小前提错误，故选 B.3三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的” ，其中的“小前提”是( )A B C D答案 D4把“函数 y x2 x1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；6小前提：_；结论：_.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y x2 x1 是二次函数 函数 y x2 x1 的图象是一条抛物线5
35、设 m 为实数，利用三段论证明方程 x22 mx m10 有两个相异实根证明 因为如果一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的判别式 b24 ac0，那么方程有两个相异实根，大前提方程 x22 mx m10 的判别式 (2 m)24( m1)4 m24 m4(2 m1) 230，小前提所以方程 x22 mx m10 有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现
36、主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1 论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足 ”上述推理用的是( )A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论答案 C2下列表述正确的是( )归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理7A BC D答案 D解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道正确3命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有
37、理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论” ，但推理形式错误D使用了“三段论” ，但小前提错误答案 C解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误4 “所有 9 的倍数( M)都是 3 的倍数( P)，某奇数( S)是 9 的倍数( M)，故某奇数( S)是 3 的倍数( P) ”上述推理是( )A小前提错 B结论错C正确的 D大前提错答案 C解析 由三段论推理概念知推理正确5在证明 f(x)2 x1 为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数 f(x)2 x1 满
38、足增函数的定义是大前提；函数 f(x)2 x1 满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是( )A BC D考点 “三段论”及其应用题点 三段论的结构答案 A解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是 f(x)2 x1 满足增函数的定义；结论是 f(x)2 x1 为增函数，故正确6下面几种推理中是演绎推理的是( )A因为 y2 x是指数函数，所以函数 y2 x经过定点(0,1)8B猜想数列 ， ， ，的通项公式为 an (nN )112 123 134 1nn 1C由圆 x2 y2 r2的面积为 r2，猜想出椭圆 1 的面积为 abx2a2 y2b2D由平面直角坐标系中圆的方
39、程为( x a)2( y b)2 r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为( x a)2( y b)2( z c)2 r2答案 A7自主招生联盟成形于 2009 年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟， “华约”联盟， “卓越”联盟和“京派”联盟在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时，得到如下结果：a报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟；b报考“华约”联盟的学生也报考了“京派”联盟；c报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；d不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是( )A没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B报考“华约”和“京派”联盟
40、的学生一样多C报考“北约”联盟的学生也报考了“卓越”联盟D报考“京派”联盟的学生也报考了“北约”联盟答案 D解析 令集合 U 表示调查的全体学生集合 E 表示报考“北约”联盟的学生，集合 F 表示报考“华约”联盟的学生，集合 G 表示报考“京派”联盟的学生，集合 H 表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得 Error!A 中， F H，结论正确；B 中， F G，结论正确；C 中，EH，结论正确8在 R 上定义运算： xy x(1 y)若不等式( x a)(x a)0 对任意实数 x 都成立，则 14( a2 a1)0 且 a1)ax a x2 ax a x2(1)523，请你推测 g(5)能否
41、用 f(2)， f(3)， g(2)， g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广11解 (1)由题知， f(3)g(2) g(3)f(2) .a3 a 32 a2 a 22 a3 a 32 a2 a 22 a5 a 52又 g(5) ，a5 a 52因此， g(5) f(3)g(2) g(3)f(2)(2)由 g(5) f(3)g(2) g(3)f(2)，即 g(23) f(3)g(2) g(3)f(2)，推测 g(x y) f(x)g(y) g(x)f(y)证明：因为 f(x) ， g(x) ，大前提ax a x2 ax a x2所以 g(x y) ，ax y
42、a x y2g(y) ， f(y) ，小前提及结论ay a y2 ay a y2所以 f(x)g(y) g(x)f(y) ax a x2 ay a y2 ax a x2 ay a y2 g(x y)ax y a x y212.2.1 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一 直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性常用的直接证明方法有综合法与分析法知识点二 综合法阅读下列证明过程，已知实数 x， y 满足 x y1，求证：2 x2 y2 .2证明：因为 x y1，
43、所以 2x2 y2 2 2 ，当且仅当 x y 时，等号2x2y 2x y 212成立故 2x2 y2 成立2思考 该题的证明顺序是什么？答案 从已知利用基本不等式到待证结论梳理 综合法(1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论(2)逻辑关系： P0(已知) P1P2PnQ(结论)(3)特点：从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知 a， b0，求证 .a b2 ab证明：要证 ，a b2 ab只需证 a b2 ，ab只需证 a b2 0，ab2只需证(
44、 )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件梳理 分析法(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实(2)逻辑关系： B(结论) B1B2BnA(已知)(3)特点：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件(4)证明格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立1综合法是执果索因的逆推证法( )2分析法就是从结论推向已知( )3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )类型一 综合法的应用例 1 在
45、ABC 中，三个内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列，a， b， c 成等比数列，求证： ABC 为等边三角形证明 在 ABC 中， A B C，由 A， B， C 成等差数列，得 2B A C，因此， B ， 3由 a， b， c 成等比数列，得 b2 ac.又 b2 a2 c22 accos B a2 c2 ac， a2 c2 ac ac，即( a c)20，因此 a c.故 ABC 是等边三角形反思与感悟 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论其适用范围为(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等(2)已知条件明确，并且容易通过
46、分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型在使用综合法3证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱跟踪训练 1 已知 a， b， c 为不全相等的正实数求证： 3.b c aa c a bb a b cc证明 因为 b c aa c a bb a b cc 3，ba ab cb bc ac ca又 a， b， c 为不全相等的正实数，而 2， 2， 2，ba ab cb bc ac ca且上述三式等号不能同时成立，所以 3633，ba ab cb bc ac ca即 3.b c aa c a bb a b cc类型二 分析法的应用例 2 设 a， b 为实数，求证： (a b)a2 b222
47、证明 当 a b0 时，因为 0，a2 b2所以 (a b)成立a2 b222当 a b0 时，用分析法证明如下：要证 (a b)，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22a b即证 a2 b2 (a2 b22 ab)，12即证 a2 b22 ab.由于 a2 b22 ab 对一切实数恒成立，所以 (a b)a2 b222综上，对任意实数 a， b， (a b)a2 b222反思与感悟 (1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证” “只需证” “即证”这些词语必不可少，否则会出现错误(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成
48、立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解4跟踪训练 2 求证： abc.a b2 b c2 a c2由公式知 0， 0， 0.a b2 ab b c2 bc a c2 ac因为 a， b， c 不全相等，上面三式相乘，得 abc，a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc 成立a b2 b c2 a c2所以 logx log x log x 0)12 12证明 要证 12log(a b) 12l(a21) 12l(b21)成立，12 12只需证 2 (a b) (a21) og(b21)，只需证 12l(a b)2 1l(a21)( b21)( a b0)5由于函数 y 12
49、logx 在(0，)内是减函数，所以只需证( a b)2( a21)( b21)，即证 a22 ab b2 a2b2 a2 b21，即证 a2b22 ab10，即证( ab1) 20，上式显然成立，所以原不等式成立反思与感悟 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练 3 设实数 a， b， c 成等比数列，非零实数 x， y 分别为
50、a 与 b， b 与 c 的等差中项，求证： 2.ax cy证明 由已知条件得b2 ac，2x a b,2y b c.要证 2，只要证 ay cx2 xy，ax cy只要证 2ay2 cx4 xy.由得 2ay2 cx a(b c) c(a b) ab2 ac bc，4xy( a b)(b c) ab b2 ac bc ab2 ac bc，所以 2ay2 cx4 xy.命题得证.1若 ab0，则下列不等式中不正确的是( )A a2ab B abb2C. D a2b21a1b答案 C解析 若 ab0，则 b0 时，才有 a2b2，只需证 2 a，x 2x ( x1) 0， cba.11 x 1
51、1 x21 x x21 x4要证明 1， x y0，则( )A x0， y0 B x0， y0答案 A解析 Error! Error!2在非等边三角形 ABC 中， A 为钝角，则三边 a， b， c 满足的条件是( )A b2 c2 a2 B b2 c2a2C b2 c2 a2 D b2 c24ab， aba2 b22 a2 b24 a2 b24 1，故 B 正确a2 b24 2ab4 a b245分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设 abc，且 a b c0，求证：0 B a c0C( a b)(a c)0 D( a b)(a c)0，即证( a c)(a b)0.6若 A， B 为
52、 ABC 的内角，则 AB 是 sin Asin B 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理知 2 R(R 为 ABC 的外接圆半径)，又 A， B 为三角形的内角，asin A bsin Bsin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.7设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)单调递减若 x1 x20，则 f(x1) f(x2)的值( )A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题9答案 A解析 由 f(x)是定义在 R 上
53、的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的减函数由 x1 x20，可知 x1 x2，所以 f(x1)0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 综合法9设 a ， b ， c ，则 a， b， c 的大小顺序是_3 2 6 5 7 6答案 abc解析 a ， b ， c ， abc.13 2 16 5 17 610.如图所示， SA平面 ABC， AB BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证： AF SC.证明：要证 AF SC，只需证 SC平
54、面 AEF，只需证 AE SC(因为_)，只需证_，只需证 AE BC(因为_)，只需证 BC平面 SAB，只需证BC SA(因为_)由 SA平面 ABC 可知，上式成立答案 EF SC AE平面 SBC AE SB AB BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明 BC平面 SAB，可得 AE BC，进而 AE平面 SBC， SC平面 AEF，问题得证1011设 a0， b0，则下面两式的大小关系为 ln(1 )_ lg(1 a)lg(1 b)ab12答案 解析 (1 )2(1 a)(1 b)2 ( a b)0，ab ab(1 )2(1 a)(1 b)，ab
55、则 lg(1 )2lg(1 a)(1 b)，ab即 lg(1 ) lg(1 a)lg(1 b)ab12三、解答题12如果 a， b 都是正数，且 a b，求证： .ab ba a b证明 方法一 (综合法) ab ba a b aa bb ab baab 0，a ba bab a b2a bab故 .ab ba a b方法二 (分析法)要证 ，ab ba a b只需证 2 a b2 ，a2b b2a ab ab即证 a3 b3a2b ab2，只需证( a b)(a2 ab b2)ab(a b)，即需证 a2 ab b2ab，只需证( a b)20，因为 a b，所以( a b)20 恒成立，所
56、以 成立ab ba a b13在 ABC 中，三边 a， b， c 成等比数列，求证： acos2 ccos2 b.C A 32证明 左边 a1 cos C2 c1 cos A2 (a c) (acos C ccos A)12 12 (a c)12 12(aa2 b2 c22ab cb2 c2 a22bc )11 (a c) b b b右边，12 12 ac b2 b2 32 acos2 ccos2 b.C A 32四、探究与拓展14如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1C B1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有
57、可能的情形)答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证 A1C B1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1 CC1，故只需证 B1D1 A1C1即可15某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的： 1.41，2 2.82， 2 .2 2 1 3 2(2)一般结论为：若 nN ，则 2 .n n 2 n 1证明如下：要证 2 ，n n 2 n 1只需证( )2(2 )2，n n 2 n 1即证 2n22 4n4，nn 212也就是证 n1，nn 2只需证 n(n2) n22 n1，即证 01，显然成立，故 2 (nN )n n 2 n 1
