2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入同步学案（打包5套）新人教B版选修1-2.zip

13.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一)学习目标 1.了解引入虚数单位 i 的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程 x2＝2 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝－1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．梳理 (1)复数的概念设 a， b 都是实数，形如 a＋ bi 的数叫做复数．(2)复数的表示复数通常用小写字母 z 表示，即 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，其中 a 叫做复数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部，i 称作虚数单位．知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件思考 1 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，当 b＝0 时， z 是什么数？答案 实数．思考 2 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时， z 是什么数？答案 纯虚数．梳理 (1)复数的分类①复数( a＋ bi， a， b∈R)Error!②集合表示：(2)复数相等的充要条件如果 a， b， c， d 都是实数，那么 a＋ bi＝ c＋ di⇔a＝ c，且 b＝ d； a＋ bi＝0⇔ a＝0，且b＝0.21．若 a， b 为实数，则 z＝ a＋ bi 为虚数．( × )2．复数 z＝ bi 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 复数的概念与分类例 1 当实数 m 满足什么条件时，复数 lg(m2－2 m－7)＋( m2＋5 m＋6)i：(1)是纯虚数；(2)是实数；(3)是虚数．解 (1)当Error!时，复数 lg(m2－2 m－7)＋( m2＋5 m＋6)i 是纯虚数，解得 m＝4.(2)当Error! 时，复数 lg(m2－2 m－7)＋( m2＋5 m＋6)i 是实数，解得 m＝－2 或 m＝－3.(3)当Error! 时，复数 lg(m2－2 m－7)＋( m2＋5 m＋6)i 是虚数，解得 m1＋22且 m≠－2 且 m≠－3.2反思与感悟 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为 0.跟踪训练 1 实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋( m2＋2 m－3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；mm＋ 2m－ 1(3)纯虚数．解 (1)要使 z 是实数， m 需满足 m2＋2 m－3＝0，且 有意义，mm＋ 2m－ 1即 m－1≠0，解得 m＝－3.(2)要使 z 是虚数， m 需满足 m2＋2 m－3≠0，且 有意义，mm＋ 2m－ 1即 m－1≠0，解得 m≠1 且 m≠－3.(3)要使 z 是纯虚数， m 需满足 ＝0， m－1≠0，mm＋ 2m－ 1且 m2＋2 m－3≠0，解得 m＝0 或 m＝－2.类型二 复数相等例 2 (1)已知 x2－ y2＋2 xyi＝2i，求实数 x， y 的值；(2)关于 x 的方程 3x2－ x－1＝(10－ x－2 x2)i 有实根，求实数 a 的值．a23解 (1)∵ x2－ y2＋2 xyi＝2i，∴Error!解得Error! 或Error!(2)设方程的实数根为 x＝ m，则原方程可变为3m2－ m－1＝(10－ m－2 m2)i，a2∴Error!解得 a＝11 或 a＝－ .715反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练 2 已知 M＝{1，( m2－2 m)＋( m2＋ m－2)i}， P＝{－1,1,4i}，若 M∪ P＝ P，求实数m 的值．解 ∵ M∪ P＝ P，∴ M⊆P，∴( m2－2 m)＋( m2＋ m－2)i＝－1 或( m2－2 m)＋( m2＋ m－2)i＝4i.由( m2－2 m)＋( m2＋ m－2)i＝－1，得Error!解得 m＝1；由( m2－2 m)＋( m2＋ m－2)i＝4i，得Error!解得 m＝2.综上可知 m＝1 或 m＝2.1．下列复数中，满足方程 x2＋2＝0 的是( )A．±1 B．±iC．± i D．±2i2答案 C2．若( x2－1)＋( x2＋3 x＋2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．以上都不对答案 A解析 因为( x2－1)＋( x2＋3 x＋2)i 是纯虚数，所以 x2－1＝0 且 x2＋3 x＋2≠0，解得x＝1，故选 A.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；4②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－ ai(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于 0；⑤－1 的平方根只有一个，即为－i；⑥i 是方程 x4－1＝0 的一个根；⑦ i 是一个无理数．2其中真命题的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．复数 4－3 a－ a2i 与复数 a2＋4 ai 相等，则实数 a＝________.答案 －4解析 根据复数相等的充要条件，有Error!解得 a＝－4.5．以 2i－ 的虚部为实部，以 i＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．5答案 2－2i解析 2i－ 的虚部为 2，i＋2i 2＝－2＋i，其实部为－2.5∴新复数 z＝2－2i.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数 bi(b≠0， b∈R)不要只记形式，要注意 b≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.一、选择题1．设 a， b∈R， “a＝0”是“复数 a＋ bi 是纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B5解析 因为 a， b∈R，当“ a＝0”时“复数 a＋ bi 不一定是纯虚数，也可能 b＝0，即a＋ bi＝0∈R” ．而当“复数 a＋ bi 是纯虚数” ，则“ a＝0”一定成立．所以 a， b∈R， “a＝0”是“复数 a＋ bi 是纯虚数”的必要不充分条件．2．下列命题中，真命题的个数是( )①若 x， y∈C，则 x＋ yi＝1＋i 的充要条件是 x＝ y＝1； ②若 a， b∈R 且 ab，则a＋i b＋i；③若 x2＋ y2＝0，则 x＝ y＝0.A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析 对于①，由于 x， y∈C，所以 x， y 不一定是 x＋ yi 的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如 12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.3．已知复数 z1＝1＋3i 的实部与复数 z2＝－1－ ai 的虚部相等，则实数 a 等于( )A．－3 B．3 C．－1 D．1答案 C4．若 sin 2θ －1＋i( cos θ ＋1)是纯虚数，则 θ 的值为( )2A．2 kπ－ (k∈Z) B．2 kπ＋ (k∈Z)π 4 π 4C．2 kπ± (k∈Z) D. π＋ (k∈Z)π 4 k2 π 4考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，得Error!解得Error! (k∈Z)，∴ θ ＝2 kπ＋ ， k∈Z.π 45．若( x＋ y)i＝ x－1( x， y∈R)，则 2x＋ y的值为( )A. B．2 C．0 D．112答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error!∴ x＋ y＝0.∴2 x＋ y＝2 0＝1.6．若复数 z＝ ＋ i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan 的值为(cos θ －45) (sin θ － 35) (θ － π 4)6( )A．7 B．－17C．－7 D．－7 或－17答案 C解析 ∵复数 z＝ ＋ i 是纯虚数，∴cos θ － ＝0，sin (cos θ －45) (sin θ － 35) 45θ － ≠0，∴sin θ ＝－ ，∴tan θ ＝－ ，则 tan ＝ ＝ ＝－7.35 35 34 (θ － π 4) tan θ － 11＋ tan θ－ 34－ 11－ 347．已知关于 x 的方程 x2＋( m＋2i) x＋2＋2i＝0( m∈R)有实数根 n，且 z＝ m＋ ni，则复数 z等于( )A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知 n2＋( m＋2i) n＋2＋2i＝0，即Error! 解得Error!∴ z＝3－i，故选 B.二、填空题8．设 m∈R， m2＋ m－2＋( m2－1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m＝________.答案 －2解析 由题意可得Error!解得 m＝－2.9．若复数 z＝ m2＋ m－2＋( m2－ m－2)i 为实数，则实数 m 的值为________．答案 2 或－1解析 ∵复数 z＝ m2＋ m－2＋( m2－ m－2)i 为实数，∴ m2－ m－2＝0，解得 m＝2 或 m＝－1.10．复数 z＝( a2－2 a－3)＋(| a－2|－1)i 不是纯虚数，则实数 a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析 若复数 z＝( a2－2 a－3)＋(| a－2|－1)i 是纯虚数，则a2－2 a－3＝0，| a－2|－1≠0，解得 a＝－1，∴当 a≠－1 时，复数 z＝( a2－2 a－3)＋(| a－2|－1)i 不是纯虚数．711．已知 z1＝( m2＋ m＋1)＋( m2＋ m－4)i， m∈R， z2＝3－2i.则 m＝1 是 z1＝ z2的________条件．考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当 z1＝ z2时，必有 m2＋ m＋1＝3， m2＋ m－4＝－2，解得 m＝－2 或 m＝1，显然 m＝1是 z1＝ z2的充分不必要条件．12．已知 1log(m＋ n)－( m2－3 m)i≥－1，且 m∈R， n∈N ＋ ，则 m＋ n＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得12log(),30.mn①②由②，得 m＝0 或 m＝3. 当 m＝0 时，由 12log(m＋ n)≥－1，得 0－ a2＋3 a－2≠0，解得 a1 或 az2的 m 值的集合是什么？使 z1z2时， m 值的集合为空集；当 z1z2时， m 值的集合为{0}．13.1.2 复数的引入(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念．知识点一 复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴， x 轴的单位是 1， y 轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数 0.知识点二 复数的几何意义思考 1 复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)与复平面上的点 Z(a， b)具有怎样的对应关系？答案 一一对应．思考 2 复平面内的点 Z 与向量 有怎样的对应关系？OZ→ 答案 一一对应．梳理 复数 z＝ a＋ bi 有序实数对( a， b) 点 Z(a， b)．← ― ― ― ― →一 一 对 应 ← ― ― ― ― →一 一 对 应 知识点三 复数的模设 ＝ a＋ bi(a， b∈R)，则向量 的长度叫做复数 a＋ bi 的模(或绝对值)，记作| a＋ bi|，OZ→ OZ→ 且| a＋ bi|＝ .a2＋ b2知识点四 共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数 z 的共轭复数用 表示，即当 z＝ a＋ bi 时，则 ＝ a－ bi，任一实数的共轭复数仍是它本身．z z1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )3．若| z1|＝| z2|，则 z1＝ z2.( × )2类型一 复数的几何意义命 题 角 度 1 复 数 与 复 平 面 内 点 的 对 应 关 系例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝( x2＋ x－6)＋( x2－2 x－15)i 对应的点 Z 在：(1)第三象限；(2)直线 x－ y－3＝0 上．解 因为 x 是实数，所以 x2＋ x－6， x2－2 x－15 也是实数．(1)当实数 x 满足Error!即当－3| x－ yi||y＋2i|解析 ∵3－4i＝ x＋ yi，∴ x＝3， y＝－4.则|1－5i|＝ ，| x－ yi|＝|3＋4i|＝5，26|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2 ，5∴|1－5i|| x－ yi||y＋2i|.5．在复平面内， O 是原点， ， ， 对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么 对应OA→ OC→ AB→ BC→ 的复数为________．答案 4－4i解析 由复数的几何意义可知， ＝(－2,1)， ＝(3,2)， ＝(1,5)，OA→ OC→ AB→ ＝ ＋ ＝(－2,1)＋(1,5)＝(－1,6)，OB→ OA→ AB→ ＝ － ＝(3,2)－(－1,6)＝(4，－4)，BC→ OC→ OB→ ∴ 对应的复数为 4－4i.BC→ 1．复数的几何意义6(1)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)的对应点的坐标为( a， b)，而不是( a， bi)．(2)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)的对应向量 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，OZ→ 因为在复平面内与 相等的向量有无数个．OZ→ 2．复数的模(1)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)的模| z|＝ .a2＋ b2(2)从几何意义上理解，复数 z 的模表示复数 z 对应的点 Z 和原点间的距离．3．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．一、选择题1．复数 z＝( a2－2 a)＋( a2－ a－2)i( a∈R)对应的点在虚轴上，则 a 的值为( )A． a＝0 或 a＝2 B． a＝0C． a≠1 且 a≠2 D． a≠1 或 a≠2答案 A解析 ∵复数 z＝( a2－2 a)＋( a2－ a－2)i 对应的点在虚轴上，∴ a2－2 a＝0，∴ a＝0 或 a＝2.2．已知 z＝( m＋3)＋( m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)答案 A解析 由题意得Error!解得－30，－ b2＋2 b－6＝－( b－1) 2－5 ，即 A － B，sin Acos B，cos π 2 π 2B－tan A＝cos B－ 0，所以点(cos B－tan A，tan B)在sin Acos A第二象限，故选 B.15．设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，若 1≤| z|≤ ，判断复数 w＝ x＋ y＋( x－ y)i 的对应点的集合2表示什么图形，并求其面积．解 | w|＝ ＝ ＝ |z|，而 1≤| z|≤ ，故 ≤| w|≤2.所以 wx＋ y2＋ x－ y2 2x2＋ y2 2 2 2对应点的集合是以原点为圆心，半径为 和 2 的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其2面积 S＝π[2 2－( )2]＝2π.213.2.1 复数的加法和减法学习目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一 复数的加法和减法思考 1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即( a＋ bi)±(c＋ di)＝( a±c)＋( b±d)i.思考 2 复数的加法满足交换律和结合律吗？答案 满足．梳理 复数的加法与减法(1)运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R)，定义 z1＋ z2＝( a＋ bi)＋( c＋ di)＝( a＋ c)＋( b＋ d)i，z1－ z2＝( a＋ bi)－( c＋ di)＝( a－ c)＋( b－ d)i.(2)加法运算律对任意 z1， z2， z3，有 z1＋ z2＝ z2＋ z1，( z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．知识点二 复数加减法的几何意义如图 ， 分别与复数 a＋ bi， c＋ di 对应．OZ1― → OZ2― → 思考 1 试写出 ， ， ＋ ， － 的坐标．OZ1― → OZ2― → OZ1― → OZ2― → OZ1― → OZ2― → 答案 ＝( a， b)， ＝( c， d)，OZ1― → OZ2― → ＋ ＝( a＋ c， b＋ d)， － ＝( a－ c， b－ d)．OZ1― → OZ2― → OZ1― → OZ2― → 思考 2 向量 ＋ ， － 对应的复数分别是什么？OZ1― → OZ2― → OZ1― → OZ2― → 答案 ( a＋ c)＋( b＋ d)i，( a－ c)＋( b－ d)i.2梳理 复数加减法的几何意义复数加法的几何意义 复数 z1＋ z2是以 ， 为邻边的平行四边形的OZ1― → OZ2― → 对角线 所对应的复数OZ→ 复数减法的几何意义 复数 z1－ z2是从向量 的终点指向向量 的终OZ2― → OZ1― → 点的向量 所对应的复数Z2Z1― ― → 1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )3．复数的减法不满足结合律，即( z1－ z2)－ z3＝ z1－( z2＋ z3)可能不成立．( × )类型一 复数的加减法运算例 1 (1)若 z1＝2＋i， z2＝3＋ ai(a∈R)，复数 z1＋ z2所对应的点在实轴上，则a＝________.(2)已知复数 z 满足| z|i＋ z＝1＋3i，则 z＝________.答案 (1)－1 (2)1＋ i43解析 (1) z1＋ z2＝(2＋i)＋(3＋ ai)＝5＋( a＋1)i，由题意得 a＋1＝0，则 a＝－1.(2)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，则| z|＝ ，x2＋ y2∴| z|i＋ z＝ i＋ x＋ yi＝ x＋( ＋ y)ix2＋ y2 x2＋ y2＝1＋3i，∴Error! 解得Error!∴ z＝1＋ i.43反思与感悟 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有| z|与 z 时，一般用待定系数法，设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)．跟踪训练 1 (1)若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝________.(2)(a＋ bi)－(2 a－3 bi)－3i＝________( a， b∈R)．(3)已知复数 z 满足| z|＋ z＝1＋3i，则 z＝________.答案 (1)6－2i (2)－ a＋(4 b－3)i (3)－4＋3i解析 (1)∵ z＋i－3＝3－i，3∴ z＝6－2i.(2)(a＋ bi)－(2 a－3 bi)－3i＝( a－2 a)＋( b＋3 b－3)i＝－ a＋(4 b－3)i.(3)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，| z|＝ ，x2＋ y2∴| z|＋ z＝( ＋ x)＋ yi＝1＋3i，x2＋ y2∴Error!解得Error!∴ z＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 分别对应的复数为 0，3＋2i，－2＋4i.求：① 表示的复数；② 表示的复数；③ 表示的复数．AO→ CA→ OB→ 解 因为 A， C 对应的复数分别为 3＋2i，－2＋4i，由复数的几何意义知， 与 表示的复数分别为 3＋2i，－2＋4i.OA→ OC→ ①因为 ＝－ ，所以 表示的复数为－3－2i.AO→ OA→ AO→ ②因为 ＝ － ，CA→ OA→ OC→ 所以 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.CA→ ③ ＝ ＋ ，OB→ OA→ OC→ 所以 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.OB→ 反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常 见 结 论 ： 在 复 平 面 内 ， z1， z2对 应 的 点 分 别 为 A， B， z1＋ z2对 应 的 点 为 C， O 为 坐 标 原点．①四边形 OACB 为平行四边形．②若| z1＋ z2|＝| z1－ z2|，则四边形 OACB 为矩形．③若| z1|＝| z2|，则四边形 OACB 为菱形．④若| z1|＝| z2|且| z1＋ z2|＝| z1－ z2|，则四边形 OACB 为正方形．4跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量 ， 表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则OA→ AB→ | |＝________.OB→ (2)若 z1＝2＋i， z2＝3＋ ai，复数 z2－ z1所对应的点在第四象限内，则实数 a 的取值范围是__________．答案 (1) (2)(－∞，1)10解析 (1)∵ ＝ ＋ ，OB→ OA→ AB→ ∴ 表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，OB→ ∴| |＝ ＝ .OB→ 12＋ 32 10(2)z2－ z1＝1＋( a－1)i，由题意知 a－10，即 a1.1．已知实数 x， y 满足(1＋i) x＋(1－i) y＝2，则 xy 的值是( )A．1 B．2 C．－2 D．－1答案 A解析 ∵(1＋i) x＋(1－i) y＝ x＋ y＋( x－ y)i＝2，∴由Error! 得 x＝ y＝1，则 xy＝1.2．设 z1＝3－4i， z2＝－2＋3i，则 z1－ z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析 ∵ z1－ z2＝5－7i，∴ z1－ z2在复平面内对应的点位于第四象限．3．设 z1＝2＋ bi， z2＝ a＋i，当 z1＋ z2＝0 时，复数 a＋ bi 为( )A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i答案 D解析 由Error!得Error! ，∴ a＋ bi＝－2－i.4．设 f(z)＝| z|， z1＝3＋4i， z2＝－2－i，则 f(z1－ z2)等于( )A. B．510 5C. D．52 25考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 因为 z1－ z2＝5＋5i，所以 f(z1－ z2)＝ f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5 .25．已知复数 z1＝( a2－2)＋( a－4)i， z2＝ a－( a2－2)i( a∈R)，且 z1－ z2为纯虚数，则a＝________.答案 －1解析 ∵ z1－ z2＝( a2－ a－2)＋( a－4＋ a2－2)i( a∈R)为纯虚数，∴Error!解得 a＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1．已知复数 z 满足 z＋(－3＋i)＝3－i，则 z 等于( )A．0 B．2iC．6 D．6－2i答案 D解析 z＝(3－i)－(－3＋i)＝6－2i.2．已知复数 z1＝( a2－2)－3 ai， z2＝ a＋( a2＋2)i，若 z1＋ z2是纯虚数，那么实数 a 的值为( )A．1 B．2C．－2 D．－2 或 1答案 C解析 z1＋ z2＝( a2＋ a－2)＋( a2－3 a＋2)i，由题意知Error! 得 a＝－2.3．设复数 z 满足关系式 z＋| z|＝2＋i，那么 z 等于( )A．－ ＋i B. －i34 34C．－ －i D. ＋i34 346答案 D解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z＋| z|＝( a＋ )＋ bi＝2＋i，a2＋ b2则Error! 解得Error!∴ z＝ ＋i.344．复数 z1＝2－ i， z2＝ －2i，则 z1＋ z2等于( )12 12A．0 B. ＋ i32 52C. － i D. － i52 52 52 32答案 C解析 z1＋ z2＝ － i＝ － i.(2＋12) (12＋ 2) 52 525．在复平面内点 A， B， C 所对应的复数分别为 1＋3i，－i，2＋i，若 ＝ ，则点 D 表示AD→ BC→ 的复数是( )A．1－3i B．－3－iC．3＋5i D．5＋3i答案 C解析 ∵点 A， B， C 对应的复数分别为 1＋3i，－i,2＋i，∴ 对应的复数为 2＋2i.设 D(x， y)，BC→ ∵ ＝ ，∴( x－1， y－3)＝(2,2)，AD→ BC→ ∴Error! 解得Error!∴点 D 表示的复数为 3＋5i.6．已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z＋1 所对应的向量正确的是( )答案 A解析 由图知 z＝－2＋i，则 z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A 正确．7．复数 z1＝1＋icos θ ， z2＝sin θ －i，则| z1－ z2|的最大值为( )7A．3－2 B. －12 2C．3＋2 D. ＋12 2答案 D解析 | z1－ z2|＝|(1－sin θ )＋(cos θ ＋1)i|＝ 1－ sin θ 2＋ 1＋ cos θ 2＝ 3＋ 2cos θ － sin θ ＝ .3＋ 22cos(θ ＋ π 4)∵ max＝1，|cos(θ ＋π 4)|∴| z1－ z2|max＝ ＝ ＋1.3＋ 22 2二、填空题8．已知| z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.答案 3i解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z＋3i＝ a＋ bi＋3i＝ a＋( b＋3)i 为纯虚数，∴ a＝0， b＋3≠0，又| b|＝3，∴ b＝3， z＝3i.9．已知 z1＝(3 x＋ y)＋( y－4 x)i(x， y∈R)， z2＝(4 y－2 x)－(5 x＋3 y)i(x， y∈R)．设z＝ z1－ z2，且 z＝13－2i，则 z1＝________， z2＝________.答案 5－9i －8－7i解析 ∵ z＝ z1－ z2＝(3 x＋ y－4 y＋2 x)＋( y－4 x＋5 x＋3 y)i＝(5 x－3 y)＋( x＋4 y)i＝13－2i，∴Error!解得Error!∴ z1＝5－9i， z2＝－8－7i.10.如图所示，在复平面内的四个点 O， A， B， C 恰好构成平行四边形，其中 O 为原点，A， B， C 所对应的复数分别是 zA＝4＋ ai， zB＝6＋8i， zC＝ a＋ bi(a， b∈R)，则zA－ zC＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应8答案 2－4i解析 因为 ＋ ＝ ，OA→ OC→ OB→ 所以 4＋ ai＋( a＋ bi)＝6＋8i.因为 a， b∈R，所以Error! 所以Error!所以 zA＝4＋2i， zC＝2＋6i，所以 zA－ zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.三、解答题11．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.12．设 O 为坐标原点．已知向量 ， 分别对应复数 z1， z2，且 z1＝ ＋(10－ a2)OZ1→ OZ2→ 3a＋ 5i， z2＝ ＋(2 a－5)i(其中 a∈R)，若 1＋ z2可以与任意实数比较大小，求 z1与 z2的21－ a z值．解 因为 1＋ z2可以与任意实数比较大小，所以 1＋ z2∈R.z z1＋ z2＝ －(10－ a2)i＋ ＋(2 a－5)i＝ ＋(2 a＋ a2－15)i∈R，z3a＋ 5 21－ a ( 3a＋ 5＋ 21－ a)所以Error!解得 a＝3，所以 z1＝ ＋i， z2＝－1＋i.3813．已知复平面内平行四边形 ABCD， A 点对应的复数为 2＋i，向量 对应的复数为 1＋2i，BA→ 向量 对应的复数为 3－i，求：BC→ (1)点 C， D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积．解 (1)因为向量 对应的复数为 1＋2i，向量 对应的复数为 3－i，BA→ BC→ 所以向量 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC→ 又 ＝ ＋ ，OC→ OA→ AC→ 9所以点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为 ＝ ，AD→ BC→ 所以向量 对应的复数为 3－i，AD→ 即 ＝(3，－1)．AD→ 设 D(x， y)，则 ＝( x－2， y－1)＝(3，－1)，AD→ 所以Error! 解得Error!所以点 D 对应的复数为 5.(2)因为 · ＝| || |cos B，BA→ BC→ BA→ BC→ 所以 cos B＝ ＝ ＝ .BA→ ·BC→ |BA→ ||BC→ | 3－ 25×10 210所以 sin B＝ .7210所以 S＝| || |sin B＝ × × ＝7，BA→ BC→ 5 10 7210所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.四、探究与拓展14．复数 z＝ x＋ yi(x， y∈R)满足条件| z－4i|＝| z＋2|，则 2x＋4 y的最小值为( )A．2 B．4 C．4 D．162答案 C解析 ∵| z－4i|＝| z＋2|， z＝ x＋ yi，∴| x＋( y－4)i|＝|( x＋2)＋ yi|，∴ ＝ ，x2＋ y－ 42 x＋ 22＋ y2∴ x＋2 y＝3.则 2x＋4 y＝2 x＋2 2y≥2 ＝2 ＝4 .2x＋ 2y 23 215．集合 M＝{ z||z－1|≤1， z∈C}， N＝{ z||z－1－i|＝| z－2|， z∈C}，集合 P＝ M∩ N.(1)指出集合 P 在复平面上所表示的图形；(2)求集合 P 中复数模的最大值和最小值．解 (1)由| z－1|≤1 可知，集合 M 在复平面内所对应的点集是以点 E(1,0)为圆心，以 1 为10半径的圆的内部及边界；由| z－1－i|＝| z－2|可知，集合 N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线 l，因此集合 P 是圆面截直线 l 所得的一条线段AB，如图所示．(2)圆的方程为 x2＋ y2－2 x＝0，直线 l 的方程为 y＝ x－1.由Error!得 A ， B .(2＋ 22 ， 22) (2－ 22 ， － 22)∴| OA|＝ ，| OB|＝ .2＋ 2 2－ 2∵点 O 到直线 l 的距离为 ，且过 O 向 l 作垂线，垂足在线段 BE 上，∴ .22 22 2－ 2∴集合 P 中复数模的最大值为 ，最小值为 .2＋ 22213.2.2 复数的乘法和除法学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质．知识点一 复数的乘法思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)复数的乘法设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di， a， b， c， d∈R，定义 z1z2＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i.(2)复数乘法的运算律①对任意复数 z1， z2， z3，有交换律 z1·z2＝ z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋ z3)＝ z1·z2＋ z1·z3②对复数 z， z1， z2和自然数 m， n 有 zm·zn＝ zm＋ n，( zm)n＝ zmn，( z1·z2)n＝ z ·z .n1 n2(3)共轭复数的性质设 z 的共轭复数为 ，则：z① z· ＝| z|2＝| |2.z z② ＝( )2.z2 z③ ＝ · .z1·z2 z1 z2知识点二 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如 ＝ ，你能写出复数的除法法则1＋ 33－ 2 1＋ 33＋ 23－ 23＋ 2吗？答案 设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(c＋ di≠0)，则 ＝ ＝ ＋ i.z1z2 a＋ bic＋ di ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d22梳理 (1)复数的倒数已知 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，如果存在一个复数 z′，使 z·z′＝1，则 z′叫做 z 的倒数，记作 .1z(2)复数的除法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(c＋ di≠0)，则 ＝ ＝ ＋ i(a， b， c， d∈R 且z1z2 a＋ bic＋ di ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d2c＋ di≠0)．特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．1．复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )3．若 z1， z2∈C，且 z ＋ z ＝0，则 z1＝ z2＝0.( × )21 2类型一 复数的乘除运算例 1 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2) (1＋i) ；(－12＋ 32i)(32＋ 12i)(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4) － .3＋ 2i2－ 3i 3－ 2i2＋ 3i解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2) (1＋i)(－12＋ 32i)(32＋ 12i)＝ (1＋i)[(－34－ 34)＋ (34－ 14)i]＝ (1＋i)(－32＋ 12i)＝ ＋ i(－32－ 12) (12－ 32)3＝－ ＋ i.1＋ 32 1－ 32(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－ 2＋ 3i1＋ 2i＝－ 2＋ 3i1－ 2i1＋ 2i1－ 2i＝ ＝ ＋ i.－ 2＋ 6＋ 3＋ 4i12＋ 22 45 75(4)方法一 －3＋ 2i2－ 3i 3－ 2i2＋ 3i＝3＋ 2i2＋ 3i－ 3－ 2i2－ 3i2－ 3i2＋ 3i＝ ＝ ＝2i.6＋ 13i－ 6－ 6＋ 13i＋ 64＋ 9 26i13方法二 － ＝ －3＋ 2i2－ 3i 3－ 2i2＋ 3i i2－ 3i2－ 3i － i2＋ 3i2＋ 3i＝i＋i＝2i.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行．(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行．跟踪训练 1 计算：(1)(1－i) (1＋i)；(－12＋ 32i)(2) ；2＋ 3i3－ 2i(3) .i－ 2i－ 11＋ ii－ 1＋ i解 (1)原式＝(1－i)(1＋i) (－12＋ 32i)＝2 ＝－1＋ i.(－12＋ 32i) 3(2)原式＝ ＝ ＝i.2＋ 3ii3－ 2ii 2＋ 3ii2＋ 3i(3)原式＝ ＝i－1.i－ 2i－ 1i－ 2类型二 共轭复数的性质及应用例 2 已知复数 z 满足： z· ＋2i z＝8＋6i，求复数 z 的实部与虚部的和．z解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，4则 z· ＝ a2＋ b2，z∴ a2＋ b2＋2i( a＋ bi)＝8＋6i，即 a2＋ b2－2 b＋2 ai＝8＋6i，∴Error! 解得Error!∴ a＋ b＝4，∴复数 z 的实部与虚部的和是 4.反思与感悟 (1) z· ＝| z|2＝| |2是共轭复数的常用性质．z z(2)实数的共轭复数是它本身，即 z∈R⇔ z＝ ，利用此性质可以证明一个复数是实数．z(3)若 z≠0 且 z＋ ＝0，则 z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．z跟踪训练 2 已知复数 z 满足| z|＝1，且(3＋4i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＝ a－ bi 且| z|＝ ＝1，即 a2＋ b2＝1.①z a2＋ b2因为(3＋4i) z＝(3＋4i)( a＋ bi)＝(3 a－4 b)＋(3 b＋4 a)i，而(3＋4i) z 是纯虚数，所以 3a－4 b＝0，且 3b＋4 a≠0.②由①②联立，解得Error!或Error!所以 ＝ － i 或 ＝－ ＋ i.z45 35 z 45 35类型三 i n的周期性例 3 计算：(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)；(2) － ；－ 1＋ 3i31＋ i6 － 2＋ i1＋ 2i(3) ＋ 2 016＋ .－ 23＋ i1＋ 23i ( 21＋ i) 4－ 8i2－ － 4＋ 8i211－ 7i解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i 2)＋(28－4i－21i＋3i 2)＝47－39i.(2)原式＝ －－ 1＋ 3i3[1＋ i2]3 － 2＋ i1－ 2i5＝ － ＝ 3－i＝i－i＝0.－ 1＋ 3i32i3 － 2＋ 4i＋ i＋ 25 (3＋ i2 )(3)原式＝ ＋ 1 008＋0＝ ＋(－i) 1 008＝i＋1.－ 23＋ i1－ 23i1＋ 23i1－ 23i [( 21＋ i)2] 13i1＋ 12反思与感悟 (1)i n的周期性①i 4n＋1 ＝i，i 4n＋2 ＝－1，i 4n＋3 ＝－i，i 4n＝1( n∈N ＋ )．②i n＋i n＋1 ＋i n＋2 ＋i n＋3 ＝0( n∈N ＋ )．(2)记住以下结果，可提高运算速度5①(1＋i) 2＝2i，(1－i) 2＝－2i.② ＝－i， ＝i.1－ i1＋ i 1＋ i1－ i③ ＝－i.1i④设 ω ＝－ ＋ i，则 ω 2＝－ － i， ω 3＝1,1＋ ω ＋ ω 2＝0.12 32 12 32跟踪训练 3 计算：1＋i＋i 2＋i 3＋…＋i 2 012.解 ∵i 2＝－1，i 3＝i·i 2＝－i，i 4＝(i 2)2＝1，i 5＝i 4·i＝i，∴i 4n＋1 ＝i，i 4n＋2 ＝－1，i 4n＋3 ＝－i，i 4n＝1 且 i＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴1＋i＋i 2＋i 3＋…＋i 2 012＝1＋(i＋i 2＋i 3＋i 4)×503＝1.1．若复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则 等于( )21－ i zA．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案 B解析 ∵ z＝ ＝ ＝ ＝1＋i，21－ i 21＋ i1－ i1＋ i 21＋ i2∴ ＝1－i，故选 B.z2．设复数 z1＝1＋i， z2＝ m－i，若 z1·z2为纯虚数，则实数 m 可以是( )A．i B．i 2 C．i 3 D．i 4答案 B解析 z1·z2＝(1＋i)( m－i)＝ m＋1＋( m－1)i.∵ z1·z2为纯虚数，∴Error! 即Error!得 m＝－1，∵i 2＝－1，∴实数 m 可以是 i2，故选 B.3.已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数 z，则表示复数 的点是( )z1＋ iA． M B． N6C． P D． Q答案 D解析 由图可知 z＝3＋i.∴复数 ＝ ＝ ＝ ＝2－i 表示的点是 Q(2，－1)．故选 D.z1＋ i 3＋ i1＋ i 3＋ i1－ i1＋ i1－ i 4－ 2i24．复数 z 的共轭复数记作 .已知(1＋2i)( －3)＝4＋3i，则 z＝________.z z答案 5＋i解析 ∵(1＋2i)( －3)＝4＋3i，z∴ －3＝ ， ＝3＋ ，z4＋ 3i1＋ 2i z 4＋ 3i1＋ 2i＝3＋ ＝3＋ ＝5－i，z4＋ 3i1－ 2i1＋ 2i1－ 2i 10－ 5i5则 z＝5＋i.5．已知复数 z 的共轭复数为 ，且 z·( －3i)＝ ，求 z.z z101－ 3i解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＝ a－ bi，z由 z·( －3i)＝ ，得 z －3 zi＝1＋3i，z101－ 3i z即 a2＋ b2＋3 b－3 ai＝1＋3i，由复数相等的充要条件，得Error!解得Error! 或Error!所以 z＝－1 或 z＝－1－3i.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.7一、选择题1．设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数．若 z＝1＋i，则 ＋i· 等于( )zzi zA．－2 B．－2i C．2 D．2i答案 C解析 ∵ z＝1＋i，∴ ＝1－i，z则 ＋i ＝ ＋i·(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.zi z 1＋ ii2．若复数 z 满足(3－4i) z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )A．－4 B．－ C．4 D.45 45答案 D解析 ∵(3－4i) z＝|4＋3i|，∴ z＝ ＝|4＋ 3i|3－ 4i 53－ 4i＝ ＝ ＋ i，53＋ 4i3－ 4i3＋ 4i 35 45则 z 的虚部是 .453．若 z＋ ＝6， z· ＝10，则 z 等于( )z zA．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－i答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，由题意得Error!得 Error!或Error!∴ z＝3±i.4．已知复数 z＝ ， 是 z 的共轭复数，则 z· 等于 ( )3＋ i1－ 3i2 z zA. B. C．1 D．214 12答案 A解析 z＝ ＝3＋ i1－ 3i1－ 3i 3＋ ii1－ 3ii1－ 3i8＝ ＝ ＝ .3＋ ii3＋ i1－ 3i i1－ 3i － 3＋ i4z· ＝ · ＝ .z－ 3＋ i4 － 3－ i4 145．已知复数 z＝ (b∈R)的实部为－1，则复数 － b 在复平面内对应的点位于( )4＋ bi1－ i zA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析 z＝ ＝4＋ bi1－ i 4＋ bi1＋ i1－ i1＋ i＝ ＝ ＋ i，4－ b＋ 4＋ bi2 4－ b2 4＋ b2又复数 z＝ (b∈R)的实部为－1，4＋ bi1－ i则 ＝－1，即 b＝6.4－ b2∴ z＝－1＋5i，则 ＝－1－5i.z复数 － b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面内对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象z限．故选 C.6．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )A．i B．－i C．1 D．－1答案 A7．当 z＝ 时， z100＋ z50＋1 的值等于( )1－ i2A．1 B．－1 C．i D．－i答案 D解析 z2＝ ＝－i，1－ i22则 z100＋ z50＋1＝(－i) 50＋(－i) 25＋1＝i 12×4＋2 ＋(－1) 25·i6×4＋1 ＋1＝－1－i＋1＝－i.二、填空题8．已知 ＝ b＋i( a， b∈R)，其中 i 为虚数单位，则 a＋ b＝________.a＋ 2ii答案 1解析 ＝2－ ai＝ b＋i，a＋ 2ii9即Error! 得Error! ∴ a＋ b＝1.9．设复数 z1＝2－i， z2＝1－3i，则复数 ＋ 的虚部为________．iz1 z25答案 1解析 ∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ i＝－ ＋ i＋ ＋ i＝i，∴虚部为 1.iz1 z25 i2－ i 1＋ 3i5 i2＋ i5 15 35 15 25 15 3510．定义一种运算： ＝ ad－ bc，则复数 的共轭复数是________．[a bc d] [1＋ i － 12 3i]考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，[1＋ i － 12 3i]∴其共轭复数为－1－3i.11．如图，在复平面内，复数 z1， z2对应的向量分别是 ， ，则复数 对应的点位于第OA→ OB→ z1z2________象限．答案 二解析 由复数的几何意义知， z1＝－2－i， z2＝i，所以 ＝ ＝－1＋2i，对应的点在第二象限．z1z2 － 2－ ii三、解答题12．已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足( z－3)(2－i)＝5.(1)求 z 及| z－2＋3i|；(2)若 z·(a＋i)是纯虚数，求实数 a 的值．解 (1)∵( z－3)(2－i)＝5，∴ z＝ ＋3＝ ＋352－ i 52＋ i2－ i2＋ i＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴| z－2＋3i|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋ 42(2)由(1)可知， z＝5＋i，∴ z·(a＋i)＝(5＋i)( a＋i)＝(5 a－1)＋( a＋5)i.10又 z·(a＋i)是纯虚数，∴5 a－1＝0 且 a＋5≠0，解得 a＝ .1513．已知 z 是复数， z＋2i 与 均为实数(i 为虚数单位)，且复数( z＋ ai)2在复平面内对z1－ i应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围．解 z 是复数， z＋2i 与 均为实数，z1－ i可设 z＝ x－2i( x∈R)，＝x－ 2i1－ i x－ 2i1＋ i2＝ ，2＋ x＋ x－ 2i2可得 x＝2.因为复数( z＋ ai)2＝(2－2i＋ ai)2＝－ a2＋4 a＋4( a－2)i，因为复数( z＋ ai)2在复平面内对应的点在第一象限，所以Error!所以Error!即 2a4.所以实数 a 的取值范围为(2,4)．四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n，则复数( m＋ ni)(n－ mi)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知( m＋ ni)(n－ mi)＝ mn－ m2i＋ n2i＋ mn＝2 mn＋( n2－ m2)i.若复数( m＋ ni)(n－ mi)为实数，则 m2＝ n2，即( m， n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6 种情况，所以所求概率为 ＝ .636 1615．已知 z， ω 为复数，(1＋3i) z 为纯虚数， ω ＝ ，且| ω |＝5 ，求 ω .z2＋ i 2解 设 z＝ m＋ ni(m， n∈R)，11因为(1＋3i) z＝(1＋3i)( m＋ ni)＝ m－3 n＋(3 m＋ n)i 为纯虚数，所以 m－3 n＝0，且 3m＋ n≠0，①ω ＝ ＝ ＝ .z2＋ i m＋ ni2＋ i 2m＋ n＋ 2n－ mi5由| ω |＝5 ，得2＋ ＝(5 )2，2m＋ n225 2n－ m225 2即 m2＋ n2＝250.②由①②可得Error!或Error!代入 ω ＝ ，得 ω ＝±(7－i)．2m＋ n＋ 2n－ mi5