1、基础过关1.与直线 2x+y-3=0 平行,且距离为 的直线的方程为 ( ) 5A.2x+y+2=0B.2x+y-8=0C.2x+y+2=0 或 2x+y-8=0D.2x+y-2=0 或 2x+y+8=02.两直线 3x+y-3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为 ( )A.4 B.21313C. D.51326 710 203.已知 p:k= ,q:直线 y=kx+1(kR)与圆 x2+y2+2y=0 相切,则 p 是 q 的 ( )3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.不论实数 m 为何值,直线( m-1)x+(2m-1)y=m-5
2、 恒过定点 ( )A. 1,- B.(-2,0)12C.(2,3) D.(9,-4)5.圆 x2+y2+4x-2y+a=0 截直线 x+y+5=0 所得弦的长为 2,则实数 a=( )A.-4 B.-2C.4 D.26.直线 l 经过点(0, -1),且通过第二、三、四象限,并与坐标轴围成的三角形的面积为 2 的直线方程为 ( )A.x+y+4=0B.x+4y+4=0C.4x+y+16=0D.x+y-4=07.若点(5, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为 ( )A.5 B.-5C.4 D.-48.数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形
3、的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上, 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线 .已知ABC 的顶点 A(2,0),B(0,4),AC=BC,则 ABC 的欧拉线方程为 ( )A.2x+y-3=0B.2x-y+3=0C.x-2y-3=0D.x-2y+3=09.若过点(2,0)有两条直线与圆 x2+y2-2x+2y+m+1=0 相切,则实数 m 的取值范围是 . 10.若直线 l:mx-y=1(mR),则直线 l 被圆 x2+2x+y2-24=0 截得的弦长的最小值为 . 11.已知直线 l 平分圆( x+2)2+(y-1)2=4 的面积,且原点 O 到直
4、线 l 的距离为 2,则直线 l 的方程为 . 12.已知直线 l:x+y=3 与圆 C:(x-a)2+(y-5)2=10(aR)交于 A,B 两点,圆 C 在点 A,B 处的切线l1,l2 相交于点 P - , ,则四边形 ACBP 的面积为 . 1252能力提升13.设直线 l:x+4y=2 与圆 C:x2+y2=1 交于 A,B 两点, O 为坐标原点,若直线 OA,OB 的倾斜角分别为 , ,则 cos + cos = ( )A. B.-1817 1217C.- D.417 41714.已知圆 O:x2+y2=1,若 A,B 是圆 O 上不同的两点,以 AB 为边作等边三角形 ABC,
5、则 |OC|的最大值是 ( )A. B.2+62 3C.2 D. +1315.已知直线 x-2y+a=0(aR)与圆 O:x2+y2=2 相交于 A,B 两点( O 为坐标原点),则“ a= ”是“5 =0”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.从圆 x2+y2=4 内任意取一点 P,则点 P 到直线 x+y=1 的距离小于 的概率为 . 2217.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最小值是 . 1
6、8.已知 AC,BD 是圆 x2+y2=4 内互相垂直的两条弦,垂足为 M(1, ),四边形 ABCD 面积的最大值2为 m,最小值为 n,则 m-n 的值为 . 限时集训(十四)基础过关1.C 解析 设与直线 2x+y-3=0 平行的直线的方程为 2x+y+c=0, 两平行直线之间的距离为 , = ,c= 2 或 c=-8, 与直线 2x+y-3=0 平行且距离为 的直线的方程为5|3|22+12 5 52x+y+2=0 或 2x+y-8=0,故选 C.2.D 解析 把 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0,则所求距离 d= = ,故选 D.|1(6)|62+22710203.A 解析
7、 圆的标准方程为 x2+(y+1)2=1,因为直线与圆相切,所以圆心(0, -1)到直线 kx-y+1=0(kR)的距离为 1,即 =1,解得 k= ,据此可得 p 是 q 的充分不必要条件,故选 A.22+1 34.D 解析 直线方程为( m-1)x+(2m-1)y=m-5, 直线方程可化为( x+2y-1)m+(-x-y+5)=0. 不论实数 m 为何值, 直线( m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过定点, 解得 故选 D.+21=0,+5=0, =9,=4,5.A 解析 圆的标准方程为( x+2)2+(y-1)2=5-a,a , 1-m-1.(21)2+(0+1)2 2 1综上, -
8、1m1, 实数 m 的取值范围是( -1,1).10.2 解析 因为圆的方程可化为( x+1)2+y2=25,所以它表示圆心为 C(-1,0),半径为 5 的23圆 .由于直线 l:mx-y-1=0 过定点 P(0,-1),且 P 在圆内,所以过点 P 且与 PC 垂直的弦的弦长最小,且最小值为 2 =2 .52( 2)2 2311.3x-4y+10=0 或 x=-2 解析 由直线 l 平分圆( x+2)2+(y-1)2=4 的面积,可知直线 l 过圆的圆心( -2,1).当直线的斜率存在时 ,设为 k,则直线 l 的方程为 y-1=k(x+2),即 kx-y+2k+1=0,则原点 O 到直线
9、 l 的距离为 =2,解得 k= ,所以直线 l 的方程为 3x-4y+10=0.当直线的斜率不|2+1|2+1 34存在时,直线为 x=-2,也满足条件 .故答案为 3x-4y+10=0 或 x=-2.12.5 解析 由平面几何知识,得点 P 与圆心 C 的连线 PC 与直线 l 垂直,则 =1,解得 a=2,552+12则 |PC|= = .因为圆心 C(2,5)到直线 l:x+y-3=0 的距离 d= = =2 ,所(2+12)2+(552)2522 |2+53|2 42 2以 |AB|=2 =2 ,则四边形 ACBP 的面积 S= 2 =5.10(22)2 212 2 522能力提升1
10、3.D 解析 由题可得如图所示的直线与圆 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),由三角函数的定义得 cos + cos =x 1+x2.由 消去 y 得 17x2-4x-12=0,则+4=2,2+2=1,x1+x2= ,即 cos + cos = ,故选 D.417 41714.C 解析 不妨设点 A 在第一象限,且直线 AB 与 y 轴平行,点 C 在直线 AB 右侧, 如图所示 .设 A(cos ,sin ),则 B(cos ,-sin ) ,因为 ABC 为等边三角形, 所以点 C 在(02)x 轴上,则 C(cos + sin ,0),则 |OC|= =cos + sin = 2s
11、in ,又3 (+ 3)2 3 (+6)因为 0 ,所以当且仅 = 时, |OC|取得最大值 2.故选 C.2 315.A 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 =0,得 x1x2+y1y2=0,又 y1= ,y2= ,1+2 2+2所以 5x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由 得 5x2+2ax+a2-8=0,则 x1+x2=- ,x1x2= ,2+=0,2+2=2, 25 285代入 5x1x2+a(x1+x2)+a2=0,得 a= ,所以当“ a= ”时,有“ =0”,而当 5 5 “ =0”时, 有“ a= ”,即“ a= ”是“ =0”的充分不必要条件, 故选 A.
12、5 5 16. 解析 圆心为( 0,0),半径为 2,圆心到直线 y=-x+1 的距离为为 = ,圆心到直线 y=-+24 12 22x+2 的距离为 = ,故圆内到直线 x+y=1 的距离小于 的点在直线 y=-x 和直线 y=-x+2 之间, 如22 2 22图中阴影部分所示 .阴影部分的面积等于半圆减去一个弓形的面积,而弓形的面积等于四分之一圆减去一个等腰直角三角形的面积,即弓形的面积为 22- 22= -2,则阴影部14 12分的面积为 22-( -2)= +2,所以所求概率为 .12 +2417.- 解析 因为圆 C 的方程可化为( x-4)2+y2=1,所以圆 C 的圆心为(4,0
13、),半径为 1.依题意43知直线 y=kx+2 上至少存在一点 A(x0,kx0+2),以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,所以存在 x0R,使得 |AC|1 +1 成立,即 |AC|min2 .因为 |AC|min 即为点 C 到直线 y=kx+2 的距离,所以 2,解得 - k0,所以 k 的最小值为 - .|4+2|2+1 |4+2|2+1 43 4318.1 解析 如图所示,作 OF AC,OE BD,垂足分别为 F,E.设 |OF|=d1,|OE|=d2,则四边形 OEMF为矩形,又 M(1, ),所以 + =3,|AC|=2 , |BD|=2 ,则四边形 ABCD 的面积2 2122 421 422S= |AC|BD|=2 ,又 =3- ,所以 S=2 =212 (421)(422) 22 21 (421)(43+21).令 =t,则 0 t3,从而 S=2 =2 (0 t3) .对(421)(1+21) 21 (4)(1+) 2+3+4于函数 y=-t2+3t+4,其对称轴为 t= ,根据二次函数的性质得 ymax= ,ymin=4,即32 254m=Smax=2 =5,n=Smin=2 =4,所以 m-n=1.254 4
