1、第 18 讲 排列、组合与二项式定理1.(1)2017全国卷 安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有 ( )A.12 种 B.18 种C.24 种 D.36 种(2)2018全国卷 从 2 位女生、 4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 试做 命题角度 排列组合应用问题 关键一:确定完成一件事需要分类还是分步 ;关键二:在综合应用两个计数原理时 ,一般先分类再分步;关键三:确定是排列问题还是组合问题 . 注意题目中是否有特殊条件限制.2.(1)2018全国卷 的展开
2、式中 x4 的系数为 ( )(2+2)5A.10 B.20C.40 D.80(2)2017全国卷 (1+x)6 展开式中 x2 的系数为 ( )(1+12)A.15 B.20C.30 D.35(3)2015全国卷 (a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= . 试做 命题角度 二项式定理 解决二项式的有关问题,关键是熟练掌握二项式展开式的正用和逆用. 在求特定项时,先准确写出通项公式,再把系数和字母分离出来(特别注意符号), 列出方程或不等式求解即可.小题 1 排列、组合的基本问题1 (1)甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中,到东亚文化之都 泉州“二日游
3、”, 若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有 ( )A.16 种 B.18 种C.20 种 D.24 种(2)某校举办了主题为“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛,高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6 名学生中选派 4 名学生参加比赛,且当甲、乙、丙都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么不同的朗诵顺序的种数为 ( )A.320 B.324C.410 D.416听课笔记 【考场点拨】排列、组合问题的失分点:(1)分类不能做到“不重不漏”;(2)分步不能做到“步骤完整”,即步与步之间不能做到连续独立;(3)对于既需要“分步” 又需要 “分类” 的综合问题,理不清先后关系;(4)不熟悉一些计数
4、技巧,如: 插入法、捆绑法、特殊元素分析法、特殊位置分析法等.【自我检测】1.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A,B,C 三个不同的社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.若甲必须去 A 社区,乙不去 B 社区,则不同的安排方法的种数为 ( )A.8 B.7C.6 D.52.六本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )A.24 种 B.36 种C.48 种 D.60 种3.从 2 个不同的红球、2 个不同的黄球和 2 个不同的蓝球中任取 2 个,放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中,每个袋子中至多放入 1 个
5、球,且球的颜色与袋子的颜色不同,那么不同的放法有 ( )A.42 种 B.36 种C.72 种 D.46 种小题 2 二项式定理及其应用2 (1)在(1 -x)5(2x+1)的展开式中,含 x4 项的系数为 ( )A.-5 B.-15C.-25 D.25(2)在 的二项展开式中 ,只有第 5 项的二项式系数最大 ,则二项展开式中的常数项为 (3-2). 听课笔记 【考场点拨】(1)对于“多项式乘二项式”型的二项式问题,通用的解法是系数配对法,即将多项式中的每一项 xk 的系数与后面二项式展开式中 xr-k 的系数相乘,然后把所有这些满足条件的情况相加,即得到 xr 项的系数.(2)常失分点:混
6、淆“ 项的系数”与“二项式系数”概念,项的系数与 a,b 有关,可正可负,二项式系数只与 n 有关,恒为正;注意 “常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念.【自我检测】1.在 的展开式中,含 x5 项的系数为 ( )(+1-1)6A.6 B.-6C.24 D.-242.已知(1+x )(a-x)6=a0+a1x+a7x7,若 a0+a1+a7=0,则 a3= ( )A.-5 B.-20C.15 D.353.在 的展开式中,x -3 的系数为 . (2+12)64.在 的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和的比值为 64,则 x3 的系数为 .(+3)模块六 概率与统计第 18 讲 排列、组
7、合与二项式定理典型真题研析1.(1)D (2)16 解析 (1)把 4 项工作分成 3 组,分法为 种,再分配给 3 名志愿者,分配方法24有 种 ,故不同的安排方式共有 =36(种).33 2433(2)方法一:分两种情况,即 3 人中 1 女 2 男的选法有 种,3 人中 2 女 1 男的选法有 种.1224 2214据分类加法计数原理知,不同的选法共有 + =16(种 ).12242214方法二:从 6 人中任选 3 人有 种选法,若 3 人均为男生有 种选法,所以至少有 1 位女生入36 34选的不同选法有 - =16(种) .36342.(1)C (2)C (3)3 解析 (1)二项
8、式的通项为 Tr+1= (x2)5-r =2r x10-3r,令 10-3r=4,得5 (2) 5r=2,所以 x4 的系数为 22 =40.25(2)(1+x)6 的展开式中 x2 的系数为 ,x4 的系数为 ,所以 (1+x)6 展开式中 x2 的系数为26 46 (1+12)+ =30.2646(3)(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项一部分来自第一个因式取 a,第二个因式取 x 及14x3;另一部分来自第一个因式取 x,第二个因式取 x0, x2 及 x4.所以系数之和为34 04 24 44a +a + + + =8a+8=32,所以 a=3.14 34042444考
9、点考法探究小题 1例 1 (1)C (2)B 解析 (1)任意相邻两天组合在一起,一共有 6 种情况: , , , , , .若甲选 或 ,则乙有 4 种选择,若甲选 或 或 或 ,则乙有 3 种选择,故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有 24+43=20(种).(2)方法一(直接法 ):分三种情况 ,一是甲、乙、丙中只有 1 人参加,不同的朗诵顺序有 种;1344二是甲、乙、丙中有 2 人参加,不同的朗诵顺序有 种; 三是甲、乙、丙都参加,不同的232344朗诵顺序有 种.综上可知不同的朗诵顺序共有 + + =324(种) .132223 1344232344132223方法二(间接法):
10、6 名学生中选派 4 名参加,不同的朗诵顺序共有 =360(种),当甲、乙、丙都46参加且甲、乙朗诵顺序相邻时,不同的朗诵顺序共有 =36(种),所以所求的不同的朗诵132233顺序的种数为 360-36=324.【自我检测】1.B 解析 据题意,因为乙不去 B 社区,所以乙有两种去法.若乙去 A 社区,则丙、丁就去B,C 社区,有 种方法;若乙去 C 社区,则丙、丁一个去 A 社区一个去 B 社区或都去 B 社区或22一个去 B 社区一个去 C 社区,有( +1+ )种方法.所以共有 + +1+ =7(种) 方法.22 22 2222 222.A 解析 第一步 :甲、乙两本书必须摆放在两端,
11、有 种排法;22第二步:丙、丁两本书必须相邻 ,可视为整体与其他两本书全排列,有 种排法.2233所以不同的摆放方法共有 =24(种).2233223.A 解析 分以下两种情况: 取出的 2 个球同色,有 3 种可能,取出球后只能将 2 个球放在不同颜色的袋子中,有 种不22同的放法,故不同的放法有 3 =6(种) .22 取出的 2 个球不同色时,取球的方法数为 =12,取球后将 2 个球放在袋子中的放法有2312123 种,故不同的放法有 123=36(种).综上可得不同的放法有 42 种,故选 A.小题 2例 2 (1)B (2)112 解析 (1)依题意有 x4+ (-x)32x=-1
12、5x4,故含 x4 项的系数为-15,故选45 35B.(2) 的二项展开式中 ,只有第 5 项的二项式系数最大 , n=8, 展开式的通项为(3-2)Tr+1= (-2)r ,令 =0,得 r=2,故所求常数项为 (-2)2x0=112.8 8-43 8-43 28【自我检测】1.B 解析 展开式中含 x5 的项为 x5 (-1)1=-6x5,故选 B.56 (1)02.A 解析 在 (1+x)(a-x)6=a0+a1x+a7x7 中,令 x=1,得 2(a-1)6=a0+a1+a7=0, a=1. (1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6,又(1-x) 6 的展开式的通项为 Tr+1
13、= (-x)6r=(-1)r xr,6 a3=(-1)3 +(-1)2 =-5.故选 A.36 263.160 解析 展开式的通项为 Tr+1= (2x)6-r = 26-rx6-3r,令 6-3r=-3,得 r=3,所以 x-3 的系6 126数为 23=160.364.135 解析 在 的展开式中,令 x=1,得各项系数的和为 4n,(+3)又展开式的二项式系数的和为 2n, =64,42解得 n=6. 二项式 的展开式的通项为 Tr+1= 3r ,(+3)6 6 6-32令 6- r=3,得 r=2,故展开式中含 x3 项的系数为 32=135.32 26备选理由 例 1 为涉及立体几何
14、图形的染色问题,需要分类分析 ,容易出现计数的重复与遗漏,要能结合图形掌握分类与分步的标准;例 2 是一道常见的组合问题,可直接求解或用间接法求解;例 3 考查二项展开式的赋值法 ;例 4 为三项展开式的指定项的系数问题 ,有难度,要学会转化为两个二项式来处理.例 1 配例 1 使用 用 6 种不同的颜色对正四棱锥 P-ABCD 的 8 条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有 ( )A.14 400 种 B.28 800 种C.38 880 种 D.43 200 种解析 C 从 P 点出发的 4 条侧棱一定要用 4 种不同的颜色,有 =360(种)不同的方案,接下46来底
15、面 4 条棱的染色根据是否使用剩下的 2 种颜色分类计数. 不使用新的颜色,有 2 种颜色方案. 使用 1 种新的颜色,分为两类:第一类,染 1 条棱,有 244=32(种)方案;第二类,染 2 条对棱 ,有 224=16(种)方案. 使用 2 种新的颜色,分为四类:第一类,染 2 条相邻的棱,有 423=24(种)方案;第二类,染 2 条对棱,有 224=16(种)方案;第三类,染 3 条棱,有 422=16(种)方案;第四类,染 4 条棱,有 2 种方案.因此不同的染色方案总数为 3602+(32+16)+(24+16+16+2)=38 880,故选 C.例 2 配例 1 使用 某医院响应
16、国家精准扶贫号召,准备从 3 名护士和 6 名医生中选取 5 人组成一个医疗小组到扶贫一线工作,要求医疗小组中既有医生又有护士,则不同的选择方案种数是 .(用数字作答) 答案 120解析 根据题意可知从 3 名护士和 6 名医生中选取 5 人组成一个医疗小组 ,有 =126(种)选59取方法,其中只有医生的选取方法有 =6(种), 则医疗小组中既有医生又有护士的选取方法有56126-6=120(种).例 3 配例 2 使用 设 (4x-1)9= +a0+a1x+a2x2+a10x10,则 a0+ + + = (2+1) 12222 10210. 答案 5解析 由题易知,b= (-1)9=-1,
17、99令 x= ,可得 3=2b+a0+ + + ,12 12222 10210所以 a0+ + + =5.12222 10210例 4 配例 2 使用 (2 x-1)n 的展开式中 ,二项式系数的和为 32,则(2x 2+x-1)n 的展开式中 x3 的系数为 . 答案 -30解析 由(2 x-1)n 的展开式中, 二项式系数的和为 32,可得 2n=32,解得 n=5.(2x2+x-1)5=(x+1)5(2x-1)5,所以(2x 2+x-1)5 的展开式中,含 x3 的项为 x3 (-1)5+ x2 2x(-1)4+ x (2x)2(-1)25 55 35 45 45353+ (2x)3(-1)2=-30x3,5525所以所求系数为-30.
