1、2.4 质点的圆周运动刚体平面平行运动与定轴转动241、质点的圆周运动(1)匀速圆周运动 如图 2-4-1 所示，质点 P 在半径为 R 的圆周上运动时，它的位置可用角度 表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负） ，转动的快慢用角速度表示：tt0lim质点 P 的速度方向在圆的切线方向，大小为 Rttlvtt 00ii（或 v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度） 。vRvn22/向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(2)变速圆周运动 （或
2、 v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度 tt0lim质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量 v分解为与 2平行的分量 /v和 2垂直的分量 1v，如图 2-4-2。 1v相当于匀速圆周运动个的 , 1的大小为R221= 质点 P 的加速度为 tvttvattt 0/00 limlilimn其中 r,就是切向加速度和法向加速度。 Rarvn22/xyOPR l1v2图 2-4-1PR图 2-4-21v12v/ 为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有 t021Rv0tavtr0(3)圆周运动也可以分解为二个
3、互相垂直方向上的分运动。参看图 2-4-3 一个质点 A 在 t=0时刻从 x 正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在 x 方向上tRcostvx siniRtacocs2在 y 方向上： )(inttRy2sincosttvy )co(i2Ra从 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度时间 t 表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差 2242、刚体的平面平行运动刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。刚体的平面平行运动，
4、常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心 S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。确定瞬心的方法有两种：如图 2-4-4(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图 2-4-4(b)所示，xyO AvtRxyv图 2-4-3A BSvvASvwA/（a ） （b）图 2-4-4已知截面转动的角速度及截面上某一点 A 的速度 Av，则在与速度垂直的直线上，与 A 点距离为/Av的点即为瞬心。注意，瞬心的速度为零，
5、加速度不一定为零。243、刚体的定轴转动刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。244、一些求曲率半径的特殊方法先看椭圆曲线12ByAx，要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法：(1)将椭圆看成是半径 R=A（设 AB）的圆在 平面上的投影，圆平面和 平面的夹角 满足关系式（如图 2-4-5） ARBcos设一个质点以速率 v 在圆上做
6、匀速圆周运动，则向心加速度a2，从上图中可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x 轴）上的 P 点时，其速率和加速度分别为：vABvxcos， ax2当质点的投影在椭圆的短轴（y 轴）上的 Q 点时，其速率和加速度分别为：vy2cosvay。因此椭圆曲线在 P、 Q 的曲率半径分别为： ABaxp2xy pQ如图 2-4-5BAavyQ2 (2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭圆的参数方程（设 A B） （如图 2-4-6）sincoyx可改写为 )2cos(wtByAx即可进一步写出 x， y 二个方程的速度 v 和加速度 a：wtAavxcosi2那么在长轴端点 P 处（ 0）的曲率半径： ABavp22)(在短轴端点 Q 处（ 2t）的曲率半径 Bav2)(再把抛物线 y=Ax2，要求其任意一点的曲率半径（如图2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程 201atyvx其中Avao2，这样就可以导出 atvyxyox0和对任意一个 t 值： v=2202）（xa N=acos=a220）（ atvx所以这一点的曲率半径)2cos(in2tay Q PAB xy图 2-4-6xy vaynt图 2-4-70232avtN）（ 将 t= 0vx代入，可得 203402/1x）（因为 20aA，所以抛物线 y=Ax2上任意一点的曲率半径 Ax/413）（
