1、1第 30 练 坐标系与参数方程明晰考情1.命题角度：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.2.题目难度：中档难度.考点一 曲线的极坐标方程方法技巧 (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x cos ， y sin ， 2 x2 y2，tan (x0)，要注意 ， 的取值范围及其yx影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决
2、，可先转化为直角坐标方程，然后求解.1.已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 ，求 CP 的长.(4， 3)解 由 4cos ，得 24 cos ，即 x2 y24 x，即( x2) 2 y24，圆心 C(2,0)，又由点 P 的极坐标为 ，(4， 3)可得点 P 的直角坐标为(2,2 )，3| CP| 2 .2 22 23 02 32.在极坐标系中，曲线 C1： ( cos sin )1 与曲线 C2： a(a0)的一个交点在极2轴上，求 a 的值.解 ( cos sin )1，2即 cos sin 1 对应的普通方程为 x y10，2 2 a(a0)对应的普通方
3、程为 x2 y2 a2.在 x y10 中，令 y0，得 x .222将 代入 x2 y2 a2，得 a .(22， 0) 2223.在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 cos 3( 4)和 sin2 8cos ，直线 l 与曲线 C 交于点 A， B，求线段 AB 的长.2解 cos cos cos sin sin( 4) 4 4 cos sin 3 ，22 22 2直线 l 对应的直角坐标方程为 x y6.又 sin2 8cos ， 2sin2 8 cos ，曲线 C 对应的直角坐标方程是 y28 x.解方程组Error!得Error! 或Error!不
4、妨取 A(2，4)， B(18,12)，| AB| 16 .18 22 12 42 2即线段 AB 的长为 16 .2考点二 参数方程及其应用要点重组 过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为Error!( t 为参数)，t 的几何意义是 的数量，即| t|表示 P0到 P 的距离， t 有正负之分.使用该式时直线上任P0P 意两点 P1， P2对应的参数分别为 t1， t2，则| P1P2| t1 t2|， P1P2的中点对应的参数为(t1 t2).12方法技巧 (1)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法
5、、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对 x， y 的限制.(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.4.已知曲线 C： 1，直线 l：Error!( t 为参数).x24 y29(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值.解 (1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数).直线 l 的普通方程为 2x y60.3(2)曲线 C
6、 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为d |4cos 3sin 6|，55则| PA| |5sin( )6|，dsin30255其中 为锐角，且 tan .43当 sin( )1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .2255当 sin( )1 时，| PA|取得最小值，最小值为 .2555.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 经过点 P(1,2)，倾斜角 . 6(1)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程；(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求| PA|PB|的值.解 (1)圆 C 的标准方程为 x2
7、 y216.直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，即Error! (t 为参数).(2)把直线 l 的参数方程Error!( t 为参数)代入 x2 y216，得 2 216，(132t) (2 12t)即 t2( 2) t110.3所以 t1t211，即| PA|PB| t1t2|11.6.已知椭圆 C： 1，直线 l：Error!( t 为参数).x24 y23(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程；(2)设 A(1,0)，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 的坐标.解 (1)椭圆 C 的参数方程为Error!( 为
8、参数)，直线 l 的普通方程为 x y90.3(2)设 P(2cos ， sin )，3则| AP| 2cos ，2cos 12 3sin 2点 P 到直线 l 的距离d .|2cos 3sin 9|2 2cos 3sin 92由| AP| d，得 3sin 4cos 5，4又 sin2 cos 2 1，得 sin ，cos .35 45故 P .(85， 335)考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用方法技巧 (1)解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的
9、最值求解.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.7.(2017全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error! ( 为参数)，直线 l的参数方程为Error!( t 为参数).(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a.17解 (1)曲线 C 的普通方程为 y21.x29当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4 y30.由Error!解得Error! 或Error!从而 C 与 l 的交点坐标是(3,0)， .(2125， 2425)(2)直线 l 的普通方程是 x4 y4 a0，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 距离 d.|3cos 4sin a 4|17当 a4 时， d 的最大值为 .a 917由题设得 ，所以 a8；a 917 17当 a0， t1， t2同号， .1|PA| 1|PB| 1|t1| 1|t2| |t1| |t2|t1t2| |t1 t2|t1t2| 335
