1、1第 18 练 导数与函数的单调性、极值、最值明晰考情 1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题.考点一 利用导数研究函数的单调性方法技巧 (1)函数单调性的判定方法：在某个区间( a， b)内，如果 f( x)0，那么函数y f(x)在此区间内单调递增；如果 f( x)0；当 x(2,0)时， h( x)e x.证明 原题即证 ex xsin x0，e x xsin xe x x1，令 g(x)e x x1，则 g( x)e x1，当 x0 时，有 g( x)0， g(x)单调递增；当 x0， f(x)e x.3.已知函数 f(x)
2、lnx ，其中常数 k0，讨论 f(x)在(0,2)上的单调性.(k4k) 4 x2x解 因为 f( x) 1k 4kx 4x2 (x0， k0).(k 4k)x 4 x2x2x k(x 4k)x2当 0k0，且 2，4k 4k所以当 x(0， k)时， f( x)0，所以函数 f(x)在(0， k)上是减函数，在( k,2)上是增函数；当 k2 时， k2， f( x)2 时，0 ，4k 4k所以当 x 时， f( x)0，(0，4k) (4k， 2)所以函数 f(x)在 上是减函数，在 上是增函数.(0，4k) (4k， 2)综上可知，当 02 时， f(x)在 上是(0，4k)减函数，在
3、 上是增函数.(4k， 2)考点二 利用函数的单调性求参数范围方法技巧 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f( x)0(或 f( x)0)，x( a， b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是 f( x)不恒等于 0 的参数的范围.(2)若函数 y f(x)在区间( a， b)上不单调，则转化为 f( x)0 在( a， b)上有解.4.设函数 f(x) ，其中 a 为正实数，若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围.ex1 ax23解 对 f(x)求导得 f( x)e x .1 ax2 2ax1 ax22若 f(x)为
4、 R 上的单调函数，则 f( x)在 R 上不变号.结合与条件 a0 知， ax22 ax10 在 R 上恒成立，即 4 a24 a4 a(a1)0，由此并结合 a0 知，00)，12则 f( x) x 3 .2x x2 3x 2x x 1x 2x当 02 时， f( x)0， f(x)单调递增；当 10 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 a0， x0， 0，令 f( x)0，即 x10，得 x1，2ax 1x f(x)的单调递增区间为(1，).(2)由(1)可得 f( x) ，2a(x 1 2a)x 1x a1，即 1.(1)求证：函数 f(x)在(0，)上单调递增；(2)对任意
5、 x1， x21,1，| f(x1) f(x2)|e1 恒成立，求实数 a 的取值范围.(1)证明 f( x) axlna2 xln a2 x( ax1)ln a，由于 a1，故当 x(0，)时，ln a0， ax10，所以 f( x)0，故函数 f(x)在(0，)上单调递增.(2)解 由(1)可知，当 x(，0)时， f( x)1)，1x7则 g( x)1 20，1x2 2x (1x 1)所以 g(x) x 2ln x 在(1，)上单调递增，1x故 f(1) f(1) a 2ln a0，1a所以 f(1)f(1)，于是 f(x)max f(1) a1ln a，故对任意 x1， x21,1，|
6、 f(x1) f(x2)|max| f(1) f(0)| aln a，即 aln ae1 成立，设 h(a) aln a，则 h( a)1 ，1a a 1a所以当 a1 时， h( a)0， h(a)单调递增.又 aln ae1 h(e)，所以 10 分 a 0， a0， a0， 利 用 导 数 ， 求 出 hx的 最 大 值 为 1e解 不 等 式 a2 1e， 可 求 得 a的 取 值 范 围规范解答评分标准解 (1) f( x) a2x (x0). 1 分1x当 a0 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减.8当 a0 时， f( x) ，a2x2 1x a2(x2 1a2
7、)x由 f( x)0，得 x ；由 f( x)0，得 0 x .1a 1a所以 f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 4 分(0，1a) 1a， )当 a0 时， h(x)0；当 x0， g(x)单调递增；当 x( a,0)时， x a0，g( x)0， g( x)0， g(x)单调递增.所以当 x a 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(a) a3sin a；16当 x0 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(0) a.当 a0 时， g( x) x(xsin x)，当 x(，)时， g( x)0， g(x)单调递增；所以 g(x)在(，)上单调递增， g(x)无极大值也无极
8、小值.当 a0 时， g( x)( x a)(xsin x)，当 x(，0)时， x a0， g(x)单调递增；当 x(0， a)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递增.所以当 x0 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(0) a；当 x a 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(a) a3sin a.1612综上所述，当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和( a，)上单调递增，在(0， a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) a3sin a.164.已知函数 f(x) x2 ax2ln x.(1)若函数 y f(x)在定义域上
9、单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)设 f(x)有两个极值点 x1， x2，若 x1 ，且 f(x1) t f(x2)恒成立，求实数 t 的取(0，1e值范围.解 (1)因为函数 y f(x)在定义域上单调递增，所以 f( x)0，即 2x a 0 在(0，)上恒成立，2x所以 a2 x (x(0，).2x而 2x 22x 2x2x4 ，(当 且 仅 当 2x2x， 即 x 1时 等 号 成 立 )所以 a4，所以实数 a 的取值范围是(，4.(2)因为 f( x) (x0)，2x2 ax 2x由题意可得 x1， x2为方程 f( x)0，即 2x2 ax20( x0)的两个不同实根，所以
10、 ax12 x 2， ax22 x 2， x1,2 ，21 2aa2 164所以 x1x21.由已知 0 x1 ，则 x2 e.1e 1x1而 f(x1) f(x2)( x ax12ln x1)( x ax22ln x2)21 2 x (2 x 2)2ln x1 x (2 x 2)2ln x221 21 2 2( x 22ln x1)( x 22ln x2)21 2 x x 2(ln x1ln x2)2 21 x x 2ln2 21x1x213 x 2ln21x2 1x2 x 2ln x (x2e).21x2 2设 p(x) x 2ln x(xe 2)，1x则 p( x)1 1x2 2xx2 2x 1x2 ，x 12x2显然当 xe 2时， p( x)0，函数 p(x)单调递增，故 p(x) p(e2)e 2 2lne 2e 2 4.1e2 1e2故 f(x1) f(x2)e 2 4，1e2故 te 2 4.1e2所以实数 t 的取值范围是 .( ， e21e2 4
