1、1第 3 练 不等式与线性规划明晰考情 1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.考点一 不等关系与不等式的性质要点重组 不等式的常用性质(1)如果 ab0， cd0，那么 acbd.(2)如果 ab0，那么 anbn(nN， n1).(3)如果 ab0，那么 (nN， n2).nanb1.若 ab0， c B. D. 0，1d 1c又 ab0， ， 4C.x|x4 D.x|x5答案 D解析 画出 y x3 与 y x23 x6 的图象如图所示，由图易得 f(x)Error!3故 f(x)的图象如图中的粗线部分所示，由 f(x)4，则由不等式 f(
2、x1)4，得 x5，故选 D.6.已知 x(，1，不等式 12 x( a a2)4x0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A. B.( 2，14) ( ， 14C. D.(，6(12， 32)答案 C解析 令 2x t (00a a2 ，故只要求解 h(t)1 tt2 (0 ，所以 4a24 a30， b0a b2 ab(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致.9.(2018大庆模拟)设 a， bR， a22 b26，则 a b 的最小值为( )2A.2 B.3533C.3 D.3723答案 A解析 因为由基本
3、不等式 a22 b22 ab，2所以 2(a22 b2) a22 b22 ab( a b)2.2 2又因为 a22 b26，则有 26( a b)2，2即2 a b2 .3 2 310.若正数 x， y 满足 x26 xy10，则 x2 y 的最小值是( )A. B.223 235C. D.33 233答案 A解析 由 x26 xy10，可得 x26 xy1，即 x(x6 y)1.因为 x， y 都是正数，所以 x6 y0.故 2x( x6 y)2 2 ，2xx 6y 2即 3x6 y2 ，2故 x2 y (当且仅当 2x x6 y，即 x6 y0 时等号成立).故选 A.22311.如图，在
4、 Rt ABC 中， P 是斜边 BC 上一点，且满足 ，点 M， N 在过点 P 的直线上，BP 12PC 若 ， ( 0， 0)，则 2 的最小值为( )AM AB AN AC A.2 B.83C.3 D.103答案 B解析 ( ) ，AP AB BP AB 13BC AB 13AC AB 23AB 13AC 23 AM 13 AN 因为 M， N， P 三点共线，所以 1.23 13因此 2 ( 2 )(23 13 ) 2 ，43 43 3 43 43 3 83当且仅当 ， 时“”成立，43 23故选 B.612.(2017天津)若 a， bR， ab0，则 的最小值为_.a4 4b4
5、1ab答案 4解析 a， bR， ab0， 4 ab 2 4，a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab 4ab1ab当且仅当Error!即Error! 且 a， b 同号时取得等号.故 的最小值为 4.a4 4b4 1ab考点四 简单的线性规划问题方法技巧 (1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.(2)常见的目标函数截距型： z ax by；距离型： z( x a)2( y b)2；斜率型： z .y bx a13.(2018天津)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z3 x5 y 的最大值为( )A.6 B.19C.21 D.45答案 C解析 画出可行域如图中
6、阴影部分所示(含边界)，由 z3 x5 y，得 y x .35 z5设直线 l0为 y x，平移直线 l0，当直线 y x 过点 P(2,3)时， z 取得最大值，35 35 z5zmax325321.故选 C.14.(2018安徽省“皖南八校”联考)设 x， y 满足约束条件Error!则 z| x3 y|的最大值为( )A.15B.13C.3D.27答案 A解析 画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，设 z1 x3 y，可化为 y x ，13 z13当直线 y x 经过点 A 时，13 z13直线在 y 轴上的截距最大，此时 z1取得最大值，当直线 y x 经过点 B 时
7、，13 z13直线在 y 轴上的截距最小，此时 z1取得最小值，由Error! 解得 A(3,4)，此时最大值为 z133415；由Error! 解得 B(2,0)，此时最小值为 z12302，所以目标函数 z| x3 y|的最大值为 15.15.(2016山东)若变量 x， y 满足Error!则 x2 y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12答案 C解析 满足条件Error!的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2 y2是可行域上动点( x， y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当 x3， y1 时， x2 y2取最大值，最大值为 10.故选 C.16.(2018永州模拟)设实数
8、x， y 满足约束条件Error!则 z 的最大值是_.yx答案 1解析 满足条件Error!的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.8z 表示可行域内的点( x， y)与(0,0)连线的斜率，yx由图可知，最大值为 kOA 1.221.若不等式(2) na3 n1 (2) n0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A. B.(1，43) (12， 43)C. D.(1，74) (12， 74)答案 D解析 当 n 为奇数时，要满足 2n(1 a)3 n1 恒成立，即 1 a n恒成立，13 (32)只需 1 a 1，13 (32)解得 a ；12当 n 为偶数时，要满足 2
9、n(a1)3 n1 恒成立，即 a1 n恒成立，13 (32)只需 a1 2，解得 a .13 (32) 74综上， a ，故选 D.12 742.已知实数 x， y 满足不等式组Error!则( x3) 2( y2) 2的最小值为_.答案 13解析 画出不等式组Error!表示的平面区域(图略)，易知( x3) 2( y2) 2表示可行域内的点( x， y)与(3，2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当( x， y)为直线 x y2 与y1 的交点(1,1)时，( x3) 2( y2) 2取得最小值，为 13.3.设实数 x， y 满足条件Error!若目标函数 z ax by(a0，
10、b0)的最大值为 12，则 3a9的最小值为_.2b答案 4解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ax by(a0， b0)过直线 x y20 与直线 3x y60 的交点(4,6)时，目标函数z ax by(a0， b0)取得最大值 12，即 2a3 b6，则 2 3a 2b 2a 3b2a 2a 3b3b 3b2a4，当且仅当 ，即Error!时取等号.2a3b 3b2a 2a3b解题秘籍 (1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决.(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式： a2 b22 ab(a， bR)，当且仅
11、当 a b 时取等号； a b2 (a0， b0)，当且仅当 a b 时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条ab件.(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义.1.若 x y0， m n，则下列不等式正确的是( )A.xm ym B.x m y nC. D.xxn ym xy答案 D2.已知 a0， b0，且 a1， b1，若 logab1，则( )A.(a1)( b1)0 B.(a1)( a b)0C.(b1)( b a)0 D.(b1)( b a)0答案 D解析 取 a2， b4，则( a1)( b1)30，排除 A；则( a1)( a b)20，排除B；( b1)( b a)60，排
12、除 C，故选 D.3.设函数 f(x)Error!则不等式 f(x)f(1)的解集是( )A.(3,1)(3，) B.(3,1)(2，)10C.(1,1)(3，) D.(，3)(1,3)答案 A解析 f(1)3.由题意得Error!或Error!解得33.4.下列函数中， y 的最小值为 4 的是( )A.y x4xB.ylog 3x4log x3C.ysin x (0 x)4sinxD.ye x4e x答案 D5.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 ACB60， BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为(
13、 )A. 米 B.2 米(132)C.(1 )米 D.(2 )米3 3答案 D解析 由题意设 BC x(x1)米， AC t(t0)米，依题意知 AB AC0.5 t0.5(米)，在ABC 中，由余弦定理得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos60，即( t0.5) 2 t2 x2 tx，化简并整理得 t (x1)，即 t x1 2，又 x1，故 t x1 22x2 0.25x 1 0.75x 1 0.75x 1 3，此时 t 取最小值 2 ，故选 D.(当 且 仅 当 x 132时 取 等 号 ) 36.已知圆 C：( x a)2( y b)21，平面区域 ：Error!若圆心 C ，且
14、圆 C 与 x 轴相切，则 a2 b2的最大值为( )A.5B.29C.37D.49答案 C解析 如图，由已知得平面区域 为 MNP 内部及边界.圆 C 与 x 轴相切， b1.11显然当圆心 C 位于直线 y1 与 x y70 的交点(6,1)处时，| a|max6. a2 b2的最大值为 621 237.故选 C.7.实数 x， y 满足Error!且 z2 x y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是( )A. B. C. D.211 14 12 34答案 B解析 在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数 z2 x y 经过可行域中的点
15、 B(1,1)时有最大值 3，当目标函数 z2 x y 经过可行域中的点 A(a， a)时有最小值 3a，由 343 a，得 a .148.若对任意的 x， yR，不等式 x2 y2 xy3( x y a)恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A.(，1 B.1，)C.1，) D.(，1答案 B解析 不等式 x2 y2 xy3( x y a)对任意的 x， yR 恒成立等价于不等式 x2( y3)x y23 y3 a0 对任意的 x， yR 恒成立，所以 ( y3) 24( y23 y3 a)3 y26 y912 a3( y1) 212(1 a)0 对任意的 yR 恒成立，所以 1 a0，即
16、a1，故选 B.9.设函数 f(x) 12logx，则不等式 f( 12logx) f 的解集是_.(12)答案 (12， 2)解析 函数 f(x)的定义域为(1,1)且在(1,1)上单调递增， f( x) f(x)，所以 f(12log) f f( 12logx) f 12logx1，解得 x .(12) ( 12) 12 (12， 2)1210.(2018天津)已知 a， b R，且 a3 b60，则 2a 的最小值为_.18b答案 14解析 a3 b60， a3 b6，2 a 2 a2 3 b2 2 218b 2a2 3b 2a 3b22 3 ，当且仅当Error! 即Error!时取到
17、等号，则最小值为 .2 614 1411.若变量 x， y 满足条件Error!则( x2) 2 y2的最小值为_.答案 5解析 如图所示，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).设 z( x2) 2 y2，则 z 的几何意义为可行域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方，由图象可知， C， D 两点间的距离最小，此时 z 最小，由Error! 可得Error!即 C(0,1).所以 zmin(02) 21 2415.12.不等式组Error!所表示的平面区域的面积为 S，则当不等式 a 恒成立时，实数 a 的S 3m 1取值范围是_.答案 (，6解析 画出满足不等式组的平面区域，如图所示(阴影部分含边界)，则 S m|AB| m2，12所以 S 3m 1 m2 3m 1 m2 1 4m 1 m1 m1 24m 1 4m 1132 26(当且仅当 m3 时等号成立)，m 14m 1则由题意知实数 a 的取值范围是 a6.
